Transformao Linear - Notas de aula de Álgebra Linear

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Transformação Linear 1
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Transformação Linear
Por: Data de publicação: 
 
📈 Álgebra Linear
📚 Neste resumo você verá: 
O que é uma transformação linear?
Transformação linear nada mais é que função de em , , que satisfaz as 
condições:
1. 
2. 
Basicamente, a função tem como domínio um espaço vetorial , ela recebe um vetor 
deste espaço vetorial e “transforma” para . Ela move o espaço, deixando as linhas do 
plano ainda paralelas e igualmente espaçadas, sem alterar a origem.
@Mateus Pincho @June 
28, 2022
O que é uma transformação linear?
Como determinar o núcleo de T?
Como determinar a imagem de T?
Teorema núcleo-imagem:
Encontrando a matriz associada
Encontrar a transformação a partir da matriz associada
Como construir transformações lineares
Matriz de uma transformação linear em relação as bases α e β
E se ele pedir a expressão e der a matriz? 
V W f : V →W
f(u+ v) = f(u) + f(v)
f(kv) = kf(v)
V u
W
https://www.notion.so/lgebra-Linear-7c2463734a4f4254898612962d590b1c
Transformação Linear 2
Exemplo:
Provamos que a transformação é linear
Como determinar o núcleo de T?
💡 O núcleo é o conjunto de todos os vetores de que tem como imagem o vetor 
nulo 
Núcleo é um subespaço de !
Resolvendo um sistema linear homogêneo
Basicamente o que fazemos acima é: e assim determinamos que e 
Como determinar a imagem de T?
💡 Imagem é o conjunto formado por todos os vetores de que são imagens de 
algum vetor em 
Imagem é um subespaço de !
Encontrando os geradores desse espaço vetorial
T : R →2 R  definada por T (x,y) =2 (x− y,x+ y)
T (x ,y ) +1 1 T (x ,y ) =2 2 T (x +1 x ,y +2 1 y )2
(x −1 y ,x +1 1 y ) +1 (x −2 y ,x +2 2 y ) =2 (x +1 x −2 y −1 y ,x +2 1 x +2 y +1 y )2
(x +1 x −2 y −1 y ,x +2 1 x +2 y +1 y ) =2 (x +1 x −2 y −1 y ,x +2 1 x +2 y +1 y )2
T (λx,λy) = λT (x− y,x+ y)
(λx− λy,λx+ λy) = λ(x− y,x+ y)
λ(x− y,x+ y) = λ(x− y,x+ y)
V
V
N(t) =
⎩
⎨
⎧(x,y) ∈ R /T (x,y) = (0, 0)2
(x,y) ∈ R /(x− y,x+ y) = (0, 0)2
(x,y) ∈ R /(0, 0) = (0, 0)2
{
x− y = 0
x+ y = 0
x = 0
y = 0
W
V
W
Transformação Linear 3
Teorema núcleo-imagem:
A dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem resulta na dimensão de (domínio da 
transformação)
💡 Sobre as transformações:
A transformação será injetora se a dimensão do núcleo for zero
A transformação será sobrejetora se a dimensão da imagem for igual a do 
contradomínio
A transformação será bijetora se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora
Encontrando a matriz associada
Para cada transformação, existe uma matriz que a representa
Exemplo:
1) Encontre a base canônica do domínio (lado esquerdo)
2) Encontre a imagem da base na transformação
3) Jogue os vetores encontrados nas colunas de uma matriz respeitando a ordem da base
Im(t) =
⎩
⎨
⎧(x,y) ∈ R /T (x,y) = (x− y,x+ y)2
(x,y) ∈ R /(x− y,x+ y) = (x,x) + (−y,y)2
(x,y) ∈ R /(x,x) + (−y,y) = x(1, 1) + y(−1, 1)2
Im(t) = {(1, 1), (−1, 1)}
dim N(t) + dim Im(t) = dim V
V
A
T : R →2 R  definada por T (x,y) =3 (x− y,x+ y,x)
β
β = {(1, 0), (0, 1)}
{
T (1, 0) = (1, 1, 1)
T (0, 1) = (−1, 1, 0)
A =
⎣
⎡1
1
1
−1
1
0 ⎦
⎤
Transformação Linear 4
Encontrar a transformação a partir da matriz associada
Sabe-se que : 
Usando no exemplo acima:
Realizando a multiplicação de matrizes, é possível retornar para a expressão analítica
Como construir transformações lineares
A partir das imagens da transformação, iremos encontrar a expressão analítica 
1) Montar uma base para o seu domínio
Podemos escrever qualquer vetor do como combinação linear desta base
2) Faça uma C.L. de um vetor genérico do domínio
3)Encontre 
4) Aplique T dos dois lados
T (v) = A ⋅ v
T (v) = [A] ⋅m×n v
T (v) = ⋅
⎣
⎡1
1
1
−1
1
0 ⎦
⎤
[
x
y
]
T : R →2 R  onde T (1, 0) =3 (2, 1, 1),T (1, 1) = (1,−1, 3)
β =R2 {(1, 0), (1, 1)}
R2
(x,y) = a(1, 0) + b(1, 1)
a e b
(x,y) = (a+ b, b)
{
x = a+ b
y = b
a = x− y
b = y
T (x,y) = aT (1, 0) + bT (1, 1)
T (x,y) = a(2, 1, 1) + b(1,−1, 3)
T (x,y) = (x− y)(2, 1, 1) + (y)(1,−1, 3)
T (x,y) = (2x− 2y,x− y,x− y) + (y,−y, 3y)
T (x,y) = (2x− y,x− 2y,x+ 2y)
Transformação Linear 5
💡 Só é possível fazer este procedimento caso você tenha imagens dessa 
transformação
Matriz de uma transformação linear em relação as bases 
 
Seja bases para a 
transformação , encontre 
Assim:
1. Descubra a imagem da base do domínio(lado esquerdo)
2. Essa imagem deve ser combinação linear da base do contradomínio(lado direito)
3. Descubra quem são os coeficientes
4. Coloque-os na matriz respeitando a ordem da base
α e β
α = {(1, 1), (0, 1)} e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
T : R →3 R  definada por T (x,y, z) =2 (x+ y,y− z)
[T ]α
β
T (1, 0, 0) = a(1, 1) + b(0, 1) = (1, 0){
a = 1
b = −1
T (0, 1, 0) = c(1, 1) + d(0, 1) = (1, 1){
c = 1
d = 0
T (0, 0, 1) = e(1, 1) + f(0, 1) = (0,−1){
e = 0
f = −1
[T ] =α
β =[
a
b
c
d
e
f
] [
1
−1
1
0
0
−1]
Transformação Linear 6
E se ele pedir a expressão e der a matriz? 
Encontre 
1) Descobrir as imagens da base do domínio (lado esquerdo)
2) Escreva um vetor qualquer como C.L. da base do dominio, a que nós descobrimos as 
imagens
3) Resolva o sistema linear
4) Aplique T dos dois lados
5) Substitua os valores de T que ja encontramos anteriormente
6) Encontre 
[T ] =α
β ,α =
⎣
⎡1
1
0
0
1
−1⎦
⎤
{(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}
T (x,y)
T (1,−1) = 1(1, 0,−1) + 1(0, 1, 2) + 0(1, 2, 0) = (1, 1, 1)
T (0, 2) = 0(1, 0,−1) + 1(0, 1, 2) − 1(1, 2, 0) = (−1,−1, 2)
(x,y) = a(1,−1) + b(0, 2)
(x,y) = (a, 2b− a)
a = x
b =
2
x+ y
(x,y) = x(1,−1) + ( )(0, 2)
2
x+ y
T (x,y) = xT (1,−1) + ( )T (0, 2)
2
x+ y
T (x,y) = x(1, 1, 1) + (−1,−1, 2)
2
x+ y
T (x,y)
T (x,y) = ( , , 2x+
2
x− y
2
x− y
y)