Cônicas

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Cônicas
Porque Cônicas?
Cônicas6
Cônicas7
Parábola
 Dados um ponto F e uma reta d, 
com , seja p = d(F,d). Chamamos parábola o 
conjunto dos pontos P do plano que são 
equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).
F∉d
Cônicas8
Elementos da Parábola
 Foco: é o ponto F,
 Diretriz: é a reta d,
 Eixo: é a reta que passa pelo foco e é 
perpendicular à diretriz,
 Vértice: é o ponto V de interseção da parábola 
com seu eixo,
 d(V,F) = d(V,A)
Construção da Parábola, dados o foco e a diretrizConstrução da Parábola, dados o foco e a diretriz
Cônicas10
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos y:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada 
para cima e se p<0 a parábola tem concavidade 
voltada para baixo. 
x2=2 py
Cônicas11
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos x:
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a 
direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para 
a esquerda.
y2=2 px
 1. Achar as coordenadas do foco e a equação 
da diretriz das parábolas
a) 
b) 
Cônicas12
EXEMPLO
x2=8 y
y2=−2x
 2. Determine a equação da parábola sabendo 
que:
a) Vértice V(0,0) e foco F(1,0)
b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e 
concavidade voltada para cima.
Cônicas13
EXEMPLO
TRANSLAÇÃO DE EIXOS
Cônicas14
Translação de Eixos
Consideremos no plano 
cartesiano xoy um ponto 
o’(h,k), arbitrário. 
Vamos introduzir m 
novo sistema x’o’y’ tal que os 
eixos o’x’ o’y’ tenham a 
mesma unidade de medida, a 
mesma direção e o mesmo 
sentido dos eixos ox e oy. 
Nestas condições, um 
sistema pode ser obtido do 
outro, através de uma 
translação de eixos.
Cônicas 15
 Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas 
coordenadas são:
x e y em relação ao sistema xoy,
x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’.
Pela figura anterior, obtemos:
x=x’+h e y=y’+k 
Ou
 x’=x-h e y’=y-k 
que são as fórmulas de translação e que permitem 
transformar coordenadas de um sistema para 
outro.
Cônicas16
Translação de Eixos
 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo 
dos y.
A equação da parábola de vértice V(h,k) é:
 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo 
dos x.
Cônicas17
Equação da Parábola de Vértice Fora da 
Origem do Sistema
( x−h)2=2 p ( y−k )
( y−k )2=2 p( x−h)
 Sabemos que a equação da parábola de vértice 
V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma 
padrão: 
 Uma equação nessa forma pode ser escrita como:
que é chamada forma explícita da equação da parábola 
cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.
 Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua 
equação na forma explícita é 
correspondente à forma padrão .
Cônicas18
Equação da Parábola na Forma Explícita
( x−h)2=2 p ( y−k )
y=ax 2+bx+c
x=ay 2+by+c
( y−k )2=2 p( x−h)
Exemplo
 1. Determine a equação da parábola de foco em 
F(1,2) e diretriz d:x=5
 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o 
foco e a equação da diretriz da parábola 
Cônicas19
y2+6 y−8 x+1=0
Cônicas20
DEFINIÇÃO
 Dados dois pontos F1 e F2 chamamos 
elipse o conjunto dos pontos P do plano 
tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a.
Cônicas21
 Focos: são os pontos F1 e F2,
 Distância Focal: é a distância 2c 
entre os focos,
 Centro: é o ponto médio O do 
segmento F1F2,
 Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e 
B2,
 Eixo maior: é o segmento A1A2 de 
comprimento 2a ( o segmento A1A2 
contém os focos e os seus extremos 
pertencem a elipse),
 Eixo menor: é o segmento B1B2 de 
comprimento 2b (B1B2 ḻ A1A2 no seu 
ponto médio).
 Excentricidade: é o número e dado 
por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.
Cônicas 22
Elementos da Elipse
Construção da Elipse, dados dois eixos: por pontosConstrução da Elipse, dados dois eixos: por pontos
•Se hallan los focos F1 y F2, como ya 
se ha explicado.
•Se toma un punto A cualquiera del 
eje mayor, situado entre uno de los 
focos y el centro, y con radio MA y 
centro en F1 se traza el arco 1 y 
con radio NA y centro F2 se traza 
el arco 2; estos dos arcos se cortan 
en el punto V de la elipse. 
Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc., vão-se determinando 
pontos da elipse que posteriormente se unem.
Marcam-se os focos F1 e F2 sobre 
o eixo MN.
Toma-se um ponto A qualquer do 
eixo maior, situado entre um dos 
focos e o centro, e com o raio MA e 
centro em F1 se traça o arco r1 e 
com o raio NA e centro F2 se traça 
o arco r2; estes dois arcos se 
interceptam no ponto V da elipse. 
Cônicas 24
Equação Reduzida da Elipse
 Eixo maior sobre o eixo dos x:
 Eixo maior sobre o eixo dos y
 Relação fundamental:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

a b c2 2 2 
x2
b2
+
y2
a2
=1
Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
Proposição 1. (a) A equação de uma elipse 
cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é
Cônicas25
1
b
y
a
x
2
2
2
2

Cônicas26
Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
a
c
 Proposição 1. (b) A equação de uma elipse 
cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é
Cônicas27
Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:
x2
b2
+
y2
a2
=1
Cônicas28
Equação da Elipse com Centro na Origem e 
Eixo maior sobre o eixo dos y:
a
c
EXEMPLOS
1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um 
esboço do gráfico, os focos e a excentricidade:
(a) 
(b)
Cônicas29
9 x2+25 y2=225
x2
36
+
y2
100
=1
2. Uma elipse de centro na origem tem um foca 
no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. 
Determinar sua equação. 
Cônicas30
EXEMPLOS
 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.
A equação da elipse de centro C(h,k) é:
 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
Cônicas31
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem 
do Sistema
( x-h)2
a2
+
( y-k )2
b2
=1
( x-h)2
b2
+
( y-k )2
a2
=1
 1. Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo 
dos y, tem centro C(4, -2), excentricidade e = ½ 
e eixo menor de medida 6. Qual é a equação 
desta elipse?
Cônicas32
Exemplo
 2. Determinar o centro, os vértices, os focos e a 
excentricidade da elipse de equação
Cônicas33
Exemplo
4 x2+9 y2−8 x−36 y+4=0
Cônicas34
Cônicas35
 Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o 
conjunto dos pontos P do plano tais que 
|d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ).
DEFINIÇÃO
Elementos da Hipérbole
 Focos: são os pontos F1 e F2,
 Distância Focal: é a distância 2c 
entre os focos,
 Centro: é o ponto médio O do 
segmento F1F2,
 Vértices: são os pontos A1 e A2,
 Eixo Real ou transverso: é o 
segmento A1A2 de comprimento 2a,
 Eixo imaginário ou conjugado: é o 
segmento B1B2 de comprimento 2b,
 Excentricidade: é o número e 
dado por e=c/a. Como c>a, temos 
e>1.
Cônicas 36
c2=a2+b2
 
 Eixo real sobre o eixo dos x:
 Eixo real sobre o eixo dos y:
Cônicas38
Equação Reduzida da Hipérbole
x2
a2
−y
2
b2
=1
y2
a2
−x
2
b2
=1
 Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole 
cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é
Cônicas39
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
x2
a2
−y
2
b2
=1
Cônicas40
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
 Proposição 1. (b) A equação de uma 
hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e 
F2 = (0, c) é
Cônicas41
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
y2
a2
−x
2
b2
=1
Cônicas42
Equação da Hipérbole com Centro na 
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
Cônicas 43
Assíntotas
 As retas são chamadas assíntotas da hipérbole.
 São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez 
mais à medida que os pontos se afastam dos focos.
y=±
b
a
x
EXEMPLO
 1. Determinar na hipérbole
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboço gráfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assíntotas 
Cônicas44
9 x2−7 y2−63=0
Cônicas45
EXEMPLO
 2. Determinar na hipérbole
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboçográfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assíntotas 
y2
100
−x
2
64
=1
 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x.
A equação da hipérbole de centro C(h,k) é:
 2º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo y.
Cônicas46
Equação da Hipérbole de Centro Fora da 
Origem do Sistema
( x-h)2
a2
−( y-k)
2
b2
=1
( y-k )2
a2
−( x-h)
2
b2
=1
 1. Encontre uma equação da hipérbole de 
vértices A1(1,-2) e A2(5,-2), sabendo que F(6, -2) 
é um dos seus focos. 
 2. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os 
vértices e os focos da hipérbole de equação:
Cônicas47
Exemplos
9 x2−4 y2−54 x+8 y+113=0