semana15

Prévia do material em texto

Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 15
Temas abordados : Substituição trigonométrica; Volumes ; Comprimento de arco
Seções do livro: 8.5; 6.1; 6.2; 6.3
Questão 1. Para cada a > 0, seja S(a) a área delimitada pelo gráfico da função f(x) =
1/(1+x2), com x ∈ [−a, a], e o eixo Ox (veja figura abaixo). Como f é par, pode-se calcular
a área S(a) como sendo o dobro da área compreendida no primeiro quadrante.
a) Utilize a substituição trigonométria x = tan(θ)
para encontrar uma primitiva para 1/(1 + x2).
b) Determine a área S(a) indicada em função do
número a.
c) Calcule lima→+∞ S(a) verificando que, apesar da
região sob o gráfico de f ser ilimitada quando a →
∞, sua área é finita.
Questão 2. Considere um recipiente ciĺındrico de raio r = 5 cm, inicialmente em repouso
com água até a altura L = 10 cm. Em seguida, o recipiente começa a girar até que,
juntamente com a água, alcance uma velocidade angular constante igual a ω rad/s. Nesse
caso, a superf́ıcie da água corresponde à rotação, em torno do eixo Oy, do gráfico de uma
função f(x), com x ∈ [0, r]. Não havendo perda de água, pode-se mostrar que f(x) =
h + ω2 x2/2g, onde g = 980 cm/s2 é a aceleração da gravidade e h é uma constante que
depende de ω.
r
h L
a) O volume V do sólido de rotação do gráfico de f(x) em
torno do eixo Oy é igual a V =
∫
r
0
2π x f(x) dx. Use essa
informação para calcular o volume de água no recipiente
em termos de ω e h.
b) Usando o item anterior, obtenha h como função de ω.
c) Determine o valor de ω para que h seja igual à metade da
altura da água em repouso.
Questão 3. Para a, b > 0, considere a elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
y
x
 b
 a
a) Determine a função y = f(x) cujo gráfico é a parte superior
da elipse.
b) Determine a área da elipse usando substituição trigo-
nométrica e a identidade cos2(θ) = (1 + cos(2θ))/2.
Questão 4. Considere o problema de calcular a área A do setor circular ilustrado na figura
abaixo, de raio r = 2 e ângulo central α ∈ (0, π/2). Observe que, com a notação da figura,
A = A1 + A2, em que A1 é a área de um triângulo e A2 é a área sob o gráfico da função
f(x) =
√
r2 − x2 com x ∈ [b, r].
b
ar
α
A1 A2
a) Determine os valores de a, b e A1 em termos do raio
r = 2, do ângulo α e das funções trigonométricas.
b) Use a substituição trigonométrica x = r cos(θ), com
θ ∈ [0, α], para calcular a integral indefinida de f(x).
c) Usando o item anterior, calcule a integral
∫
r
b
f(x) dx
em termos do raio r = 2, do ângulo α e das funções
trigonométricas.
d) Use os itens anteriores para determinar o valor de A.
Questão 5. Girando o gráfico da função f : [0, π] → R, f(x) = sen(x), em torno da reta
y = c obtém-se um sólido de volume V (c) = π
∫
π
0
(c − sen(x))2dx. Suponha que c ∈ [0, 1],
conforme ilustra a figura abaixo.
p
 c
a) Mostre que a função G(x) = (1/2)(x− sen(x) cos(x)) é uma
primitiva para sen2(x).
b) Calcule V (0) e V (1) com ajuda do item a).
c) Mostre que o gráfico de V (c) é uma parábola.
d) Determine o ponto c0 ∈ [0, 1] no qual a função V assume
seu menor valor.
Gabarito
1. a)
∫
1/(1 + x2) dx = arc tg(x) +K b) S(a) = 2 arc tg(a) c) a área total é igual a π
2. a) V = πrh2 + (πω2r4)/(4g) b) h(ω) = L− (ω2r2)/(4g) c) ω =
√
2Lg/r
3. a) f(x) = (b/a)
√
a2 − x2 b) a área é igual a πab
4. a) a = r sen (α), b = r cos(α) e A1 = (1/2)r
2 cos(α)sen (α)
b)
∫
f(x)dx = (−r2/2)
[
arc cos(x/r)− (x/r)(
√
r2 − x2/r
]
+K
c)
∫
r
b
f(x)dx = (r2/2) [α− cos(α) sen(α)]
d) A = αr2/2
5. b) V (0) = π2/2, V (1) = π
(
3π
2
− 4
)
c) V (c) = π2c2 − 4πc+ π2/2 d) c0 = 2/π
Exerćıcios recomendados do livro
Seção Assunto Exerćıcios
8.5 Substituições trigonométricas 1, 5, 11, 13, 15, 31, 39, 41
6.1 Volumes por fatiamento e rotação 3, 16, 17, 19, 27
6.2 Volumes por cascas ciĺındricas 7, 15, 19
6.3 Comprimento de curvas planas 1, 2, 7