Conceitos Matemáticos em Álgebra Linear

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22/06/2022 14:16 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:740425)
Peso da Avaliação 1,50
Prova 49609067
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito 
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de 
uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., 
como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os 
seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, 
plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - F - F - V.
C V - V - V - F.
D F - V - F - F.
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o 
conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço 
vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as 
opções a seguir: 
I- [(1,1),(1,0)]. 
II- [(1,1),(0,1)]. 
III- [(0,1),(1,0)]. 
IV- [(1,1)]. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção II está correta.
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C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção I está correta.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) u x v = 1. 
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4. 
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D V - F - F - F.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
B [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
C [(0,1,0);(1,0,-1)].
D [(0,-1,0);(1,0,-1)].
O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores 
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto 
ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: 
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I- u x v = (1,8,-4). 
II- u x v = (0,8,4). 
III- u x v = (0,-8,4). 
IV- u x v = (0,8,-4). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção III está correta.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por 
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou 
norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este 
resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do 
triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção I está correta.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor 
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida 
em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou 
módulo) do vetor z = (3,4):
A Raiz de 5.
B 3.
C 5.
D Raiz de 10.
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Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na 
direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se 
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a 
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e 
a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = 
(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9). 
III- R = (-5,2,9). 
IV- R = (5,-2,9). 
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o 
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais 
tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B 
para A:
A u = (-1,-4,2).
B u = (-1,-4,-2).
C u = (-1,-4,-4).
D u = (0,-4,-4).
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se 
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento 
também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como 
sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
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para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F - V.
B F - V - V - F - V.
C F - V - F - V - F.
D V - F - V - V - F.
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