Lista de Exercícios 6 1pdf

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Ministério da Educação
Instituto Federal Sul-Rio-Grandense
Campus Pelotas
Cursos: Engenharia Elétrica / Engenharia Qúımica
Disciplina: Cálculo II
Profa. Lisiane Ramires Meneses
Prof. Odair Noskoski
Lista de Exerćıcios 07 - Multiplicadores de Lagrange
1. Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mı́nimo de f sujeita a restrição
dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
(a) f(x, y) = xy, 4x2 + 8y2 = 16
(b) f(x, y) = 4x3 + y2, 2x2 + y2 = 1
(c) f(x, y, z) = 2x + y − 2z, x2 + y2 + z2 = 4
(d) f(x, y, z) = xyz, x2 + y2 + z2 = 1
2. Determine o ponto da reta 2x − 4y = 3 que está mais próximo da origem. Utilizando multipli-
cadores de Lagrange.
3. Determine o ponto do plano x + 2y + z = 1 que está mais próximo da origem. Utilizando
multiplicadores de Lagrange.
4. Determine os pontos do ćırculo x2 + y2 = 45 que estão mais próximos e afastados de (1, 2).
Utilizando multiplicadores de Lagrange.
5. Determine um vetor no espaço tridimensional cujo comprimento seja 5 e cujos componentes têm
a maior soma posśıvel. Utilizando multiplicadores de Lagrange.
Use multiplicadores de Lagrange para resolver os problemas indicados da Lista 6.
6. Exerćıcio 7.
7. Exerćıcio 8.
8. Exerćıcio 9.
9. Exerćıcio 10.
Respostas
1. (a) máximo
√
2 em (−
√
2,−1) e (
√
2, 1); mı́nimo −
√
2 em (−
√
2, 1) e (
√
2,−1)
(b) máximo
√
2 em (1/
√
2, 0); mı́nimo −
√
2 em (−1/
√
2, 0)
(c) máximo 6 em
(
4
3 ,
2
3 ,−
4
3
)
, mı́nimo −6 em
(
−43 ,−
2
3 ,
4
3
)
(d) máximo é 1/(3
√
3) em (1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3), (1/
√
3,−1/
√
3,−1/
√
3), (−1/
√
3, 1/
√
3,−1/
√
3) e
(−1/
√
3,−1/
√
3, 1/
√
3);
mı́nimo é −1/(3
√
3) em (1/
√
3, 1/
√
3,−1/
√
3), (1/
√
3,−1/
√
3, 1/
√
3), (−1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3) e
(−1/
√
3,−1/
√
3,−1/
√
3)
2.
(
3
10 ,−
3
5
)
3.
(
1
6 ,
1
3 ,
1
6
)
4. (3, 6) é o mais perto e (−3,−6) é o mais afastado.
5. 5(~i +~j + ~k)/
√
3.