CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL

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1 CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 
 
 
No tratamento unidimensional a temperatura é função de apenas uma coordenada. Este tipo 
de tratamento pode ser aplicado em muitos dos problemas industriais. Por exemplo, no caso da 
transferência de calor em um sistema que consiste de um fluido que escoa ao longo de um tubo 
( figura 1), a temperatura da parede do tubo pode ser considerada função apenas do raio do 
tubo. Esta suposição é válida se o fluido escoa uniformemente ao longo de toda a superfície 
interna e se o tubo não for longo o suficiente para que ocorram grandes variações de 
temperatura do fluido devido à transferência de calor. 
 
[ figura 1 ] 
 
2 LEI DE FOURIER 
 
 A lei de Fourier é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação dos 
fenômenos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor 
resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por exemplo, 
a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e 
com a área lateral isolada termicamente, como mostra a figura 2 : 
 
[ figura 2 ] 
 
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a 
distância entre as extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade: 
 
 
x
T
Aq


. ( eq. 1 ) 
 
A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de 
proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim: 
 
 
 
"A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual 
ao produto das seguintes quantidades: 
 
 
2 
 . .q k A
dT
dx
  ( eq. 2 ) 
 
onde, 
 q , fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico); 
 k, condutividade térmica do material; 
 A, área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente à 
direção do fluxo ( m2); 
 dT dx, gradiente de temperatura na seção, isto é, a razão de variação da temperatura T com a 
distância, na direção x do fluxo de calor ( oC/h ) ." 
 
A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x 
deve ser a direção do fluxo de calor positivo ( figura 3). Como o calor flui do ponto de 
temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será 
positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1). 
 
[ figura 3 ] 
 
O fator de proporcionalidade k ( condutividade térmica ) que surge da equação de Fourier é uma 
propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que um material 
apresenta à condução de calor. Sua unidade é facilmente obtida da própria equação de Fourier 
( equação 3.2 ), por exemplo no sistema prático métrico temos : 
 













Cmh
Kcal
m
C
m
hKcal
dx
dT
A
q
k
dx
dT
Akq
oo ..
.
..
2

 
(eq. 3)
 
 
No sistema inglês fica assim : 
No sistema internacional (SI), fica assim : 
W
m.K
Btu
h ft Fo. .
 
 
Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, 
estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é 
considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, 
em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, 
porém em outros, como alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes 
casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de 
 
3 
temperatura. A variação da condutividade térmica ( no S.I. ) com a temperatura é mostrada na 
figura 4 para algumas substâncias. 
 
[ figura 4 ] 
 
3 CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA 
 
Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida 
a uma diferença de temperatura. Ou seja, submetida a uma fonte de calor , de temperatura 
constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de 
temperatura constante e conhecida. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através 
da parede de um forno, como pode ser visto na figura 5, que tem espessura L, área transversal 
A e foi construído com material de condutividade térmica k. Do lado de dentro a fonte de calor 
mantém a temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 e externamente o 
sorvedouro de calor ( meio ambiente ) faz com que a superfície externa permaneça igual a T2. 
 
[ figura 5 ] 
Aplicado a equação de Fourier, tem-se: 
 
dx
dT
Akq .. 
 
Fazendo a separação de variáveis, obtemos : 
 
4 
 
dTAkdxq ...  ( eq. 4 ) 
 
Na figura 3.5 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura é T1 e na face externa ( x=L ) a 
temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o calor transferido não varia com 
o tempo. Como a área transversal da parede é uniforme e a condutividade k é um valor médio, 
a integração da equação 3.4, entre os limites que podem ser verificados na figura 3.5, fica assim 
: 
 
 
L T
T
dTAkdxq
0
2
1
... 
   12..0. TTAkLq  
 21... TTAkLq  ( eq. 5 ) 
 
Considerando que ( T1 - T2 ) é a diferença de temperatura entre as faces da parede ( DT ), o 
fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é : 
 
T
L
Ak
q  .
.
 ( eq. 6 ) 
 
Para melhor entender o significado da equação 3.6 consideremos um exemplo prático. 
Suponhamos que o engenheiro responsável pela operação de um forno necessita reduzir as 
perdas térmicas pela parede de um forno por razões econômicas. Considerando a equação 3.6, 
o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na tabela 3.1 : 
 
Tabela 1- Possibilidades para redução de fluxo de calor em uma parede plana. 
 
OBJETIVO VARIÁVEL AÇÃO 
 k↓ trocar a parede por outra de menor condutividade térmica 
q↓ A↓ reduzir a área superficial do forno 
 L↑ aumentar a espessura da parede 
 ∆T↑ reduzir a temperatura interna do forno 
 
Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem ações de difícil implementação; porém, 
a colocação de isolamento térmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as ações de 
redução da condutividade térmica e aumento de espessura da parede. 
 
• Exercício 1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de 
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de 
espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a área das 
janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar até a 40 
oC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que estão bem 
isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em HP ). 
OBS : 1 HP = 641,2 Kcal/h 
 
 
 
T C T C
k Kcal h m C
L cm m
m
o o
o
1 240 22
0 14
25 0 25
6 15 3
 

 
 
, . .
,
sala : 
 
5 
 
Para o cálculo da área de transferência de calor desprezamos as áreas do teto e piso, onde a 
transferência de calor é desprezível. Desconsiderando a influência das janelas, a área das 
paredes da sala é : 
 
    21263152362 mA  
 
Considerando que a área das quinas das paredes, onde deve ser levada em conta a 
transferência de calor bidimensional, é pequena em relação ao resto, podemos utilizar a 
equação 3.6 : 
 
 
 
  hKcalC
m
mCmhKcal
TT
L
Ak
q o
o
12702240
25,0
126..14,0
.
. 2
21 

 
 
,
,q Kcal
h
HP
Kcal
h
HP  1270
1
641 2
1 979 
 
Portanto a potência requerida para o condicionador de ar manter a sala refrigerada é : 
 
q HP 2 
 
4 ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Isto significa que 
a equação de descrição de um sistema pode ser transformada em uma equação para outro 
sistema pela simplestroca dos símbolos das variáveis. Por exemplo, a equação 3.6 que fornece 
o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma : 
 
Ak
L
T
q
.

 
( eq. 7 ) 
 
O denominador e o numerador da equação 3.7 podem ser entendidos assim : 
 
 ( T ) , a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria, consiste no potencial 
que causa a transferência de calor 
 
 ( L / k.A ) é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência 
de calor 
 
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : 
 
 
6 
 parede da térmicaaresistênci a é 
e térmicopotencial o é onde, 
R
T
R
T
q 


 
( eq. 8)
 
 
Se substituirmos na equação 3.8 o símbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial 
elétrico, isto é, a diferença de tensão U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da 
resistência elétrica Re, obtemos a equação 3.9 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente 
elétrica : 
 
eR
U
i

 ( eq. 9 ) 
 
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante a usada em circuitos 
elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma parede ou associações de 
paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por 
um fluxo de calor q , pode ser representada assim : 
 
[ figura 6 ] 
 
5 ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte 
de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do 
outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de 
um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como 
exemplo, analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser 
composta de uma camada interna de refratário ( condutividade k1 e espessura L1), uma 
camada intermediária de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada 
externa de chapa de aço ( condutividade k3 e espessura L3). A figura 7 ilustra o perfil de 
temperatura ao longo da espessura da parede composta : 
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4
T
 
[ figura 7 ] 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes 
planas individualmente : 
 
.
.( );
.
.( );
.
.( )q
k A
L
T T q
k A
L
T T q
k A
L
T T     1 1
1
1 2
2 2
2
2 3
3 3
3
3 4
 
( eq. 10 )
 
 
7 
 
Colocando em evidência as diferenças de temperatura em cada uma das equações 10 e 
somando membro a membro, obtemos: 
 
( )
.
.
( )
.
.
( )
.
.
.
.
.
.
.
.
T T
q L
k A
T T
q L
k A
T T
q L
k A
T T T T T T
q L
k A
q L
k A
q L
k A
1 2
1
1 1
2 3
2
2 2
3 4
3
3 3
1 2 2 3 3 4
1
1 1
2
2 2
3
3 3
 
 
 
       
 
T T
q L
k A
q L
k A
q L
k A
1 4
1
1 1
2
2 2
3
3 3
   
.
.
.
.
.
. 
( eq. 11 ) 
 
Colocando em evidência o fluxo de calor q e substituindo os valores das resistências térmicas 
em cada parede na equação 3.1 , obtemos o fluxo de calor pela parede do forno : 
 
T T q R R R1 4 1 2 3   .( ) 
q
T T
R R R


 
1 4
1 2 3 
( eq. 12 )
 
 
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de paredes n planas associadas em 
série o fluxo de calor é dado por : 
 
 
n
n
i
it
t
total RRRRRonde
R
T
q 

 

21
1
, ( eq. 13 ) 
 
 
6 ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, submetidas a uma 
fonte de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor 
do outro lado, também de temperatura constante e conhecida, do outro lado. Assim, haverá a 
transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. 
Como exemplo, analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode 
ser composta de uma metade inferior de refratário especial ( condutividade k2 ) e uma metade 
superior de refratário comum ( condutividade k1 ), como mostra a figura 8. Faremos as 
seguintes considerações : 
 
 Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura; 
 
 As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes; 
 
 O fluxo de calor total é a soma dos fluxos por cada parede individual. 
 
8 
 
[ figura 8 ] 
 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes 
planas individualmente : 
 
.
.( );
.
.( )q
k A
L
T T q
k A
L
T T1
1 1
1
1 2 2
2 2
2
1 2    ( eq. 14 ) 
 
O fluxo de calor total é igual a soma dos fluxos da equação 3.14 : 
 
).(
..
).(
.
).(
.
21
2
22
1
11
21
2
22
21
1
11
21 TT
L
Ak
L
Ak
TT
L
Ak
TT
L
Ak
qqq 

















  ( eq. 15 ) 
 
A partir da definição de resistência térmica para parede plana ( equação 3.7 ), temos que : 
 
R
L
k A R
k A
L
  
.
.1
 ( eq. 16 ) 
 
Substituindo a equação 3.16 na equação 3.15, obtemos : 
 
21
21
21
21
111
 onde, 
)(
).(
11
RRRR
TT
TT
RR
q
tt








 
 
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de n paredes planas associadas em 
paralelo o fluxo de calor é dado por : 
 
 
n
n
i itt
total
RRRRR
onde
R
T
q
11111
,
211


 

 ( eq. 17 ) 
 
Em uma configuração em paralelo, embora se tenha transferência de calor bidimensional, é 
freqüentemente razoável adotar condições unidimensionais. Nestas condições, admite-se que 
as superfícies paralelas à direção x são isotérmicas. Entretanto, a medida que a diferença entre 
as condutividades térmicas das paredes ( k1 - k2 ) aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-
se cada vez mais importantes. 
 
 
9 
 
• Exercício 2. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A 
temperatura da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa 
do isolante é 145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule : 
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
b) a temperatura da interface refratário/isolante. 
 
 
a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m
2 ), temos : 
 
 
115,0
13,0
12,1
20,0
1451675
.. 2
2
1
1
3131













Ak
L
Ak
L
TT
RR
TT
R
T
q
isoreft
total 
  6,1480 2mphKcalq  
 
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de 
refratário, obtemos : 
 
 21
1
1
1
1
2121 .
.
.
TT
L
Ak
Ak
L
TT
R
TT
q
ref




 
 21675
20,0
12,1
6,1480 T

 
T Co2 1428 2 , 
 
 
 
7 REFEFÊNCIAS 
 
Apostila de Fenômenos de Transporte (exemplar eletrônico) de Eduardo Emery Cunha Quites, 
baseadas nos livros: Mecânica dos Fluidos, Franco Brunetti, Editora Pearson Education, 2008 
e Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Incropera, LTC, 2008. 
 
 
 
parede de refratário :
 
parede de isolante :
 
 
L m k Kcal h m C
L m k Kcal h m C
T C T C
o
o
o o
1 1
2 2
1 3
0 20 1 2
0 13 0 15
1675 145
 
 
 
, , . .
, , . .