Atividade A4 - Álgebra Linear Computacional

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1) Seja image2415e678c67_20211113004056.gif image2425e678c67_20211113004056.gif uma transformação linear e image2435e678c67_20211113004056.gif uma base do image1975e678c67_20211113004056.gif sendo image2445e678c67_20211113004056.gif, image2455e678c67_20211113004057.gif e image2465e678c67_20211113004057.gif. Determine image2475e678c67_20211113004057.gif, sabendo que image2485e678c67_20211113004057.gif, image2495e678c67_20211113004057.gif e  image2505e678c67_20211113004058.gif           
R: ( * ) image2565e678c67_20211113004059.gif
Resposta correta.
image2515e678c67_20211113004058.gif
image2525e678c67_20211113004058.gif
image2535e678c67_20211113004058.gif
image2545e678c67_20211113004058.gif
image2555e678c67_20211113004059.gif
image2565e678c67_20211113004059.gif
2) Uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos. Multiplicando cada termo por uma constante, usando esse conceito e dado o espaço vetorial image0645e678c67_20211113004117.gif dos polinômios de grau image0655e678c67_20211113004118.gif, escreva o vetor image0665e678c67_20211113004118.gif como combinação linear de image0675e678c67_20211113004118.gif e image0685e678c67_20211113004118.gif
R: ( * ) V = 3v1 + 4v2
Resposta correta.
image0695e678c67_20211113004118.gif
image0705e678c67_20211113004119.gif
image0715e678c67_20211113004119.gif
image0725e678c67_20211113004119.gif
Resolvendo o sistema, temosimage0735e678c67_20211113004119.gif eimage0745e678c67_20211113004119.gif
3)Para formar uma base no image0845e678c67_20211113004051.gif precisamos de três vetores que sejam Linearmente Independentes (LI), e a base canônica é a base mais primitiva e intuitiva para a estrutura.
Uma representação geral de uma base está descrita a seguir:
Um conjunto image1325e678c67_20211113004051.gif é uma base do espaço vetorial image1335e678c67_20211113004051.gifse:
image1345e678c67_20211113004051.gif é LI   image1355e678c67_20211113004052.gif gera image1365e678c67_20211113004052.gif
Determine a alternativa que apresenta a base canônica do image0845e678c67_20211113004052.gif
R: ( * ) image1405e678c67_20211113004053.gif
Resposta correta. A base canônica noimage1375e678c67_20211113004052.gifé representada da seguinte forma:
 image1385e678c67_20211113004053.gif
Portanto, noimage1395e678c67_20211113004053.giftemosimage1405e678c67_20211113004053.gif
 
4) Um espaço vetorial são conjuntos não vazios cujos elementos são chamados vetores.
Dados dois vetores image0015e678c67_20211113004115.gif e image0025e678c67_20211113004115.gif duas operações devem ser definidas:
image0035e678c67_20211113004116.gif
E é necessário satisfazer quatro axiomas em relação à adição e 4 axiomas em relação à multiplicação.
Determine o axioma que não pertence aos axiomas do produto, para se determinar um espaço vetorial.
Para image0515e678c67_20211113004116.gif image0525e678c67_20211113004116.gife image0535e678c67_20211113004116.gif e image0605e678c67_20211113004116.gif
R: ( * ) eƎ(-u) E V , u + (-u) =0 
Resposta correta. Verificando os quatro axiomas da adição, que são as propriedades associativa, comutativa, elemento identidade e elemento inverso, e os quatro axiomas do produto, que são as propriedades associativa, distributiva em relação ao vetor, distributiva em relação ao número real e elemento neutro, podemos concluir que esse é um axioma da adição.
5) Para determinar uma base no image1615e678c67_20211113004042.gif precisamos de 4 vetores que sejam Linearmente Independentes. Sejam os vetores image1625e678c67_20211113004042.gif e image1635e678c67_20211113004043.gif determine qual alternativa contém image1645e678c67_20211113004043.gif e image1655e678c67_20211113004043.gif tal que image1665e678c67_20211113004043.gif forme uma base em image1615e678c67_20211113004044.gif.
R: ( * ) V3 = ( 1,1,0,0 ) V4 = ( 1,0,0,0 )
Resposta correta. Precisamos de 4 vetores LI como condição inicial para ser uma base emimage1615e678c67_20211113004044.gif
image1625e678c67_20211113004044.gif  image1675e678c67_20211113004044.gif  são LI.
Como temos 4 vetores LI eles formam uma base emimage1615e678c67_20211113004044.gif.
6) Considere no image0845e678c67_20211113004029.gif os vetores image0855e678c67_20211113004029.gif 
Sabendo que uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante, determine o valor de image0995e678c67_20211113004029.gif para que o vetor image1005e678c67_20211113004030.gif seja combinação linear de image0265e678c67_20211113004030.gif e image0275e678c67_20211113004030.gif.
R: ( * ) K = 13
Resposta correta.
image1015e678c67_20211113004030.gif
image1025e678c67_20211113004030.gif
image1035e678c67_20211113004031.gif
image1045e678c67_20211113004031.gif
Usando a primeira e a terceira equação, determinamosimage1055e678c67_20211113004031.gif eimage1065e678c67_20211113004031.gif
Substituindo na segunda equação, temosimage1075e678c67_20211113004031.gif 
7) Dizemos que um conjunto é Linearmente Independente (LI) se nenhum dos vetores puder ser escrito como combinação linear dos demais vetores.
Determine o valor de k para que o conjunto image1135e678c67_20211113004040.gif seja Linearmente Independente (LI).
R: ( * ) image1185e678c67_20211113004041.gif
Resposta correta.
O conjunto será LI se, e somente se, a equação
image1145e678c67_20211113004040.gif 
Admitir apenas a soluçãoimage1155e678c67_20211113004040.gif
image1165e678c67_20211113004040.gif
Resolvendo o sistema, temosimage1175e678c67_20211113004041.gif e, para o sistema admitir apenas a solução trivial, devemos terimage1185e678c67_20211113004041.gif
8) Um espaço vetorial são conjuntos não vazios cujos elementos são chamados vetor.
Dados dois vetores image0015e678c67_20211113004112.gif e image0025e678c67_20211113004113.gif duas operações devem ser definidas:
image0035e678c67_20211113004113.gif
E é necessário satisfazer quatro axiomas em relação à adição e quatro axiomas em relação à multiplicação.
Determine o axioma que não pertence aos axiomas da soma, para se determinar um espaço vetorial.
Para image0515e678c67_20211113004113.gif image0525e678c67_20211113004114.gife image0535e678c67_20211113004114.gif e image0545e678c67_20211113004114.gif
R: ( * ) (a+B).u = a.u + B.u
Resposta correta. Verificando os quatro axiomas da adição, que são as propriedades associativa, comutativa, elemento identidade e elemento inverso, e os quatro axiomas do produto, que são as propriedades associativa, distributiva em relação ao vetor, distributiva em relação ao número real e elemento neutro, podemos concluir que esse é um axioma do produto.
9) Um espaço vetorial são conjuntos não vazios cujos elementos são chamados vetor e que podem ser somados uns aos outros ou multiplicados por um número escalar. Algumas propriedades devem ser obedecidas, para que um conjunto de vetores seja um espaço vetorial. Definiremos, a seguir, as duas operações iniciais, que definem um espaço vetorial.
Dados dois vetores image0015e678c67_20211113004109.gif e image0025e678c67_20211113004109.gif duas operações devem ser definidas:
image0035e678c67_20211113004110.gif
Determine o conjunto a seguir, que satisfaz as duas propriedades mencionadas.
R: ( * ) V = {(x,y) E R2 / x + y E R }
Resposta correta.image0045e678c67_20211113004110.gif  Dadosimage0055e678c67_20211113004110.gif eimage0065e678c67_20211113004110.gif image0075e678c67_20211113004110.gif  eimage0085e678c67_20211113004110.gif temos:
image0095e678c67_20211113004111.gif e a soma de números reais nos dá um número real
Temos queimage0105e678c67_20211113004111.gif 
image0115e678c67_20211113004111.gif. Temos queimage0125e678c67_20211113004111.gif 
10) A dimensão de um espaço vetorial é a cardinalidade, ou seja, o número de vetores Linearmente Independentes que geram esse espaço. Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial
image1775e678c67_20211113004025.gif 
R: ( * ) image1855e678c67_20211113004026.gif
Resposta correta.
image1785e678c67_20211113004025.gif
Poderíamos ter isoladoimage1795e678c67_20211113004025.gif ouimage1805e678c67_20211113004025.gifimage1815e678c67_20211113004025.giftem a formaimage1825e678c67_20211113004026.gif
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