Cálculo Aplicado a Várias Variáveis - Atividade A3

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CÁLCULO APLICADO 
A 
VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
 
ATIVIDADE A3 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALAFE COPA 
UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI 
ENUNCIADO 
 
Uma fábrica de faróis para carros está reformulando o formato de um dos seus 
modelos. Com a reformulação, o novo modelo de faróis tem o mesmo volume de um 
sólido que está sob o paraboloide z=x²+y², acima do plano xy e dentro do cilindro 
x²+y²=2x, em que as unidades de medida estão em centímetros. 
 
Na propaganda, a fábrica anunciou que esse novo modelo possui 
aproximadamente 4,7 cm³ de volume. Utilizando =3,14, resolva as equações e justifique 
as respostas. 
 
RESOLUÇÃO 
 
Para resolução desse problema, faz-se necessário transformar a função z(x,y), 
descrita em coordenadas cartesianas, para coordenada polar. 
 
Fazendo 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2, transformamos a variável z, em função de x e y, para 
uma função do raio R da paraboloide: 
 
𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 → 𝑧(𝑅) = 𝑅2 (1) 
 
Sabendo que: 
 
𝑥 = 𝑅. cos 𝜃 (2) 
 
E substituímos as equações (1) e (2) na equação que descreve o cilindro, iremos 
delimitar o volume do modelo de farol conforme descreve o enunciado: 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 2. 𝑥 
 
𝑅2 = 2. 𝑅. cos 𝜃 
 
𝑅 = 2. cos 𝜃 (3) 
 
Com os resultados obtidos nas equações (1) e (3), podemos construir a integral 
dupla em função do raio R e ângulo θ. 
 
O raio possui uma variação entre 0 a 2. cos 𝜃, e o ângulo uma variação de 
𝜋
2
 a −
𝜋
2
 
, equivalente a 90° e -90° respectivamente, conforme imagem abaixo do gráfico do 
cilindro projetado nos eixos X e Y: 
 
 
 
Com os resultados obtidos, é possível construir a integral dupla em coordenada 
polar: 
 
𝑉 = ∫ ∫ 𝑅2. 𝑅. 𝑑𝑅
2.cos 𝜃
0
. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
= ∫ ∫ 𝑅3. 𝑑𝑅
2.cos 𝜃
0
. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
Resolvendo a parcela da integral correspondente ao raio R: 
 
∫ 𝑅3. 𝑑𝑅
2.cos 𝜃
0
= [
𝑅4
4
] = 
(2. cos 𝜃)4
4
− 
04
4
= 4. (cos 𝜃)4 
 
Resolvendo a parcela da integral correspondente ao ângulo θ: 
 
∫ 4. (cos 𝜃)4. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
= 4. ∫(cos 𝜃2)2. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
= 4. ∫ (
1 + cos 2𝜃
2
)
2
. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
= 4. ∫
1
4
(1 + cos 2𝜃)2. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
= ∫[1 + 2cos 2𝜃 + (cos 2𝜃)2]. 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
= ∫ [1 + 2cos 2𝜃 + (
1 + cos 4𝜃
2
)] . 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
= ∫ [1 + 2cos 2𝜃 +
1
2
+
cos 4𝜃
2
] . 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
= = ∫ [
3
2
+ 2cos 2𝜃 +
cos 4𝜃
2
] . 𝑑𝜃
 
𝜋
2
−
𝜋
2
 
 
= [
3
2
. 𝜃 + sen 2𝜃 +
sen 4𝜃
8
] 
 
= [
3
2
. (
𝜋
2
) + sen (2.
𝜋
2
) +
sen(4.
𝜋
2
)
8
] - [
3
2
. (−
𝜋
2
) + sen (−2.
𝜋
2
) +
sen(−4.
𝜋
2
)
8
] 
 
= [
3
4
. 𝜋 + sen 𝜋 +
sen 2.𝜋
8
] - [−
3
4
. 𝜋 + sen(−𝜋) +
sen(−2.𝜋)
8
] 
 
= [
3
4
. 𝜋 + 0 + 0] - [−
3
4
. 𝜋 + 0 + 0] 
 
= 
3
4
. 𝜋 + 
3
4
. 𝜋 = 2.
3
4
. 𝜋 = 
3
2
. 𝜋 = 
3
2
. (3,14) 
 
𝑽 = 𝟒, 𝟕𝟏 
 
Portanto, é possível constatar que o volume do novo modelo de farol é 
equivalente a 4,71 cm³ e está em conformidade com o anunciado pela fábrica.