Matemática para Computação

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Autora: Profa. Karina de Oliveira Barbosa
Colaboradores: Prof. Angel Antonio Gonzalez Martinez
 Profa. Larissa Rodrigues Damiani
 Profa. Christiane Mazur Doi
Matemática para 
Computação
Professora conteudista: Karina de Oliveira Barbosa
Graduada em Física e mestra e doutora na área de Física de Materiais pela Universidade de São Paulo (USP). 
Pós-doutora em Química também pela USP, com o tema técnicas computacionais de rede neurais aplicadas em plantas. 
Professora titular da Universidade Paulista.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
B238m Barbosa, Karina de Oliveira.
Matemática para Computação / Karina de Oliveira Barbosa. – 
São Paulo: Editora Sol, 2022.
244 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Conjunto. 2. Função. 3. Matriz. I. Título.
CDU 51
U515.26 – 22
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Profa. Sandra Miessa
Reitora em Exercício
Profa. Dra. Marilia Ancona Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Profa. Dra. Marina Ancona Lopez Soligo
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Claudia Meucci Andreatini
Vice-Reitora de Administração
Prof. Dr. Paschoal Laercio Armonia
Vice-Reitor de Extensão
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades do Interior
Unip Interativa
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático
 Comissão editorial: 
 Profa. Dra. Christiane Mazur Doi
 Profa. Dra. Angélica L. Carlini
 Profa. Dra. Ronilda Ribeiro
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista
 Profa. Deise Alcantara Carreiro
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Jaci Albuquerque
 Aline Ricciardi
Sumário
Matemática para Computação
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 REVISÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA BÁSICA .......................................................................... 11
1.1 Operações aritméticas ........................................................................................................................ 11
1.2 Expressões algébricas .......................................................................................................................... 13
1.2.1 Termos algébricos ................................................................................................................................... 17
1.3 Razão, proporção e regra de três ................................................................................................... 21
1.4 Porcentagem .......................................................................................................................................... 25
2 CONJUNTOS ....................................................................................................................................................... 31
2.1 Pertinência .............................................................................................................................................. 33
2.2 Igualdade e desigualdade ................................................................................................................. 34
2.3 Conjuntos vazio, unitário e universo ........................................................................................... 35
2.4 Subconjuntos e relação de inclusão ............................................................................................. 35
2.5 Operações entre conjuntos .............................................................................................................. 36
2.5.1 União ............................................................................................................................................................ 37
2.5.2 Intersecção ................................................................................................................................................ 37
2.5.3 Diferença entre dois conjuntos ......................................................................................................... 38
2.5.4 Complementar de B em A ................................................................................................................... 39
2.6 Conjuntos numéricos .......................................................................................................................... 45
2.6.1 Conjunto dos números naturais (N) ............................................................................................... 45
2.6.2 Conjunto dos números inteiros (Z) ................................................................................................. 45
2.6.3 Conjunto dos números racionais (Q) ............................................................................................. 46
2.6.4 Conjunto dos números irracionais (I) ............................................................................................. 47
2.6.5 Conjunto dos números reais (R) ...................................................................................................... 47
2.7 Número de elementos de conjuntos ............................................................................................ 49
Unidade II
3 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES E FUNÇÃO AFIM ...................................................................................... 57
3.1 Introdução às funções ........................................................................................................................ 57
3.1.1 Domínio, contradomínio e imagem ................................................................................................ 59
3.1.2 Gráficos no plano cartesiano ............................................................................................................. 64
3.2 Função afim ............................................................................................................................................ 68
3.2.1 Estudo dos coeficientes ........................................................................................................................ 70
3.2.2 Função polinomial de 1º grau ............................................................................................................ 72
3.2.3 Função constante ................................................................................................................................... 76
3.2.4 Raiz da função afim ............................................................................................................................... 78
3.2.5 Lei de uma função afim a partir de seu gráfico ou de pontos conhecidos .................... 81
4 FUNÇÃO QUADRÁTICA .................................................................................................................................. 87
4.1 Estudo dos coeficientes ..................................................................................................................... 88
4.2 Raízes da função quadrática ........................................................................................................... 90
4.3 Coordenadas do vértice da parábola ............................................................................................ 96
4.4 Funções quadráticas do tipo f(x) = ax2 ......................................................................................103Unidade III
5 EQUAÇÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS ...............................................................................................111
5.1 Potenciação ..........................................................................................................................................111
5.1.1 Potências com expoente natural .................................................................................................... 112
5.1.2 Potências com expoente inteiro negativo .................................................................................. 113
5.1.3 Propriedade de potência com expoente inteiro ....................................................................... 115
5.1.4 Potências com expoente racional ..................................................................................................121
5.2 Equações exponenciais ....................................................................................................................123
5.3 Função exponencial ...........................................................................................................................131
5.4 Forma exponencial × forma logarítmica ..................................................................................139
6 MATRIZES .........................................................................................................................................................142
6.1 Representação genérica ..................................................................................................................143
6.2 Tipos especiais de matrizes.............................................................................................................146
6.3 Adição de matrizes ............................................................................................................................147
6.4 Subtração de matrizes ......................................................................................................................148
6.5 Multiplicações envolvendo matrizes ..........................................................................................149
6.5.1 Multiplicação de um número real por uma matriz ............................................................... 150
6.5.2 Multiplicação entre matrizes .......................................................................................................... 150
6.6 Conceito de determinante ..............................................................................................................156
6.6.1 Definição ................................................................................................................................................. 156
6.6.2 Regra de Cramer .................................................................................................................................. 159
Unidade IV
7 INTRODUÇÃO À LÓGICA .............................................................................................................................176
7.1 Proposições ...........................................................................................................................................176
7.2 Operações lógicas ...............................................................................................................................177
7.2.1 Negação (conectivo “não”) .............................................................................................................. 178
7.2.2 Conjunção (conectivo “e”) ................................................................................................................ 179
7.2.3 Disjunção inclusiva (conectivo “ou”)............................................................................................ 179
7.2.4 Disjunção exclusiva (conectivo “ou… ou”)..................................................................................181
7.2.5 Condicional (conectivo “se… então”) ............................................................................................181
7.2.6 Bicondicional (conectivo “se e somente se”) ............................................................................ 183
7.2.7 Resumindo as operações lógicas ................................................................................................... 184
7.3 Expressões lógicas ..............................................................................................................................185
7.4 Tabelas-verdade ..................................................................................................................................189
7.5 Números binários ...............................................................................................................................195
7.5.1 Constituição dos numerais em sistema decimal ..................................................................... 196
7.5.2 Constituição dos numerais em sistema binário ...................................................................... 198
7.5.3 Tabelas-verdade em sistema binário ............................................................................................ 200
8 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ....................................................................................................................202
8.1 População e amostra ........................................................................................................................203
8.2 Média aritmética ................................................................................................................................205
8.3 Desvio-padrão .....................................................................................................................................209
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APRESENTAÇÃO
Olá, aluno!
O objetivo desta disciplina é fazer com que você se familiarize com alguns conceitos básicos de 
matemática e com as simbologias envolvidas e seja capacitado a aprimorar o uso do raciocínio lógico, 
o que possibilitará ampliar seus horizontes.
Também temos a proposta de fazer com que você, por meio das estratégias elaboradas neste 
livro-texto, perceba o sentido e atribua significados às ideias matemáticas que serão transmitidas. Além 
disso, queremos que você seja capaz de fazer associações, generalizações, análises, estabelecer conexões 
e desenvolver suas próprias ideias a partir do conteúdo ensinado.
Vale destacar que, como futuro profissional, você terá de ser preciso na identificação dos problemas 
computacionais e competente na proposta de resoluções para tais problemas. Além disso, precisará 
articular e integrar diferentes campos do saber, sempre usando os recursos computacionais disponíveis 
com racionalidade, eficiência e eficácia.
Para desempenhar tais funções, você deverá ser apto a sugerir soluções algorítmicas que atendam 
a situações variadas e a implementar essas soluções com o emprego de teorias, métodos, técnicas, 
ferramentas e equipamentos adequados. Isso demanda, entre outras habilidades, o domínio de 
fundamentos da matemática, a fim de que as estruturas de programação criadas, independentemente 
da linguagem adotada, sejam construídas em bases sólidas e confiáveis.
É nesse contexto que esta disciplina ganha importância indiscutível na sua formação, no sentido de 
capacitá-lo a utilizar ferramentas básicas da matemática com o propósito de analisar situações práticas 
do cotidiano profissional.
INTRODUÇÃO
Vivemos em um mundo globalizado e altamente tecnológico, em que todos, de alguma forma, 
estão conectados. Todas as áreas do conhecimento estão em constante evolução: o que parecia ser 
impossível resolver algum tempo atrás, hoje é facilmente solucionado. Novos materiais e instrumentos 
foram criados, o que gerou reformulação total de ideias, conceitos e teorias; enfim, vivenciamos uma 
nova maneira de ver a ciência e suas aplicações nos diversos setores da sociedade.
Fundamental nesse processo é a utilização de computadores, que possibilitaminovadoras maneiras 
de estudar e entender experiências que envolvam grande número de dados de forma precisa, com 
aplicações importantes no dia a dia das pessoas.
No ramo da matemática, o uso intensivo de recursos computacionais é ainda mais impactante. 
Trajetórias planetárias, mapas climáticos, órbitas de satélites e aplicações em áreas como biologia, 
medicina, processos industriais, astrofísica e mineração e exploração de petróleo são determinadas com 
o uso da matemática associada à computação.
10
A disciplina, portanto, possibilita, por meio de suas ferramentas, modelos matemáticos que podem 
ser utilizados em várias áreas do conhecimento. Assim, para o entendimento desta disciplina, conceitos 
como proporções, conjuntos, funções e matrizes devem ser conhecidos pelo aluno para que obtenha 
uma informação sólida e significativa.
Este livro está dividido em quatro unidades.
Na unidade I, estudaremos expressões algébricas, regra de três simples e porcentagem, de forma 
a revisarmos conceitos básicos com os quais você, provavelmente, já está familiarizado. Em seguida, 
estudaremos teoria de conjuntos, que encontra grande aplicabilidade em diversas áreas relacionadas à 
computação, como bancos de dados.
Na unidade II, veremos os conceitos de função, que são muito importantes para a área de 
programação. Estudaremos funções afins, que incluem as famosas funções de 1º grau e, também, as 
funções quadráticas, mais conhecidas como funções de 2º grau.
Na unidade III, estudaremos conceitos de potenciação e suas diversas propriedades, incluindo 
o estudo de funções exponenciais, capazes de modelar diversos fenômenos naturais. Em seguida, 
estudaremos matrizes, estruturas matemáticas que dão nome a uma estrutura de dados muito 
conhecida em diversas linguagens de programação.
Na unidade IV, faremos uma introdução à lógica, apresentando conceitos de proposição, tabelas-verdade 
e números binários. Esses conceitos são aplicados a circuitos e algoritmos computacionais e, além 
disso, contribuem para o desenvolvimento de nosso raciocínio lógico. Na sequência, veremos alguns 
importantes conceitos relacionados à estatística, área da matemática dedicada a extrair informações 
a partir de dados, cujos conceitos básicos têm aplicabilidade muito extensa na nossa vida profissional 
e cotidiana.
Ao fim do livro-texto, você ainda encontrará dois apêndices:
•	 Apêndice A: dedicado a conceitos de produtos notáveis e fatoração.
•	 Apêndice B: dedicado a um estudo mais aprofundado de logaritmos, assunto brevemente abordado 
na unidade III.
Introduziremos todos esses conceitos mostrando suas aplicações práticas, ou seja, sempre associando 
as ideias introduzidas com exemplos do cotidiano para facilitar e consolidar o seu entendimento.
Bom estudo!
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Unidade I
1 REVISÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA BÁSICA
1.1 Operações aritméticas
Começaremos nosso conteúdo relembrando um pouco a respeito de operações aritméticas. Como 
você bem sabe, existem quatro operações aritméticas fundamentais, que são: adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Vamos descrevê-las brevemente a seguir.
•	 Na adição, cada número a ser adicionado é chamado de parcela, e o resultado da adição é a soma. 
No exemplo a seguir, o número 2 representa uma parcela, que é adicionada ao número 3, outra 
parcela. A soma, nesse caso, é 5.
2 + 3 = 5
•	 Na subtração, as regras a serem aplicadas são as mesmas da adição. Os números a serem subtraídos 
são chamados de subtraendo, e o resultado é o minuendo. Portanto, basta trocar o sinal “de mais 
por menos” e efetuar o cálculo.
2 – 2 = 0
•	 Na multiplicação, cada número a ser multiplicado é chamado de fator, e o resultado é o produto.
2 × 2 = 4
•	 Na divisão, por sua vez, cada número tem uma denominação diferente. O número que está sendo 
dividido é chamado de dividendo e o número que divide é o divisor.
2
1
2
=
 Observação
Importante enfatizar que, na multiplicação e na adição, a ordem dos 
fatores não altera o resultado. No entanto, na subtração e na divisão, essa 
ordem é extremamente relevante.
12
Unidade I
Vale lembrar aqui alguns conceitos básicos de potenciação e radiciação, que são outras operações 
aritméticas importantes nos cálculos computacionais.
No caso da potenciação, temos a seguinte definição: sendo a base a um número real e o expoente n 
um número inteiro, temos o que segue.
na a a a a a= × × × ×…
Além disso, vale destacar que:
a0 = 1
a1 = a
n
n 1a 
a
−  =   
Vejamos alguns exemplos:
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
50 = 1
3
3 1 12 
2 8
−  = =  
No caso da radiciação, temos a seguinte definição: sendo a um número não negativo e n um inteiro 
positivo, temos o que segue.
nn a b b a= → =
Vejamos alguns exemplos:
• 2 9 3= , já que 32 = 9
• 1 0 0= , já que 01 = 0
• 3 8 2= , já que 23 = 8
13
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
1.2 Expressões algébricas
Você provavelmente já se perguntou por que, nas aulas de matemática, sempre estamos procurando 
“o tal do x”. Ao contrário do que alguns pensam, a inserção de letras em expressões matemáticas não 
tem o propósito de complicar o raciocínio, e sim de organizá-lo. Por exemplo, quando desconhecemos 
um valor de interesse, podemos utilizar uma letra, como x, para realizar a sua representação.
Expressões algébricas, portanto, são expressões matemáticas que utilizam letras ou quaisquer 
símbolos não numéricos em sua composição, além de numerais e operadores aritméticos. Esse tipo 
de expressão é capaz de traduzir situações cotidianas para a linguagem matemática e é a base das 
equações e das funções, que estudaremos ao longo deste curso.
Alguns exemplos de expressões algébricas podem ser observados no quadro seguinte. Veja que, 
sempre que um número é desconhecido, é utilizada uma letra para sua representação. Essas letras, tal 
como apresentadas no quadro, representam variáveis e podem assumir valores numéricos adequados 
dentro de um contexto.
Quadro 1 – Algumas expressões algébricas que “traduzem” a 
linguagem cotidiana para a linguagem matemática
Linguagem cotidiana Linguagem matemática
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
Um número acrescido de 5 unidades x + 5
Metade de um número
x
2
O triplo do quadrado de um número 3x2
Vamos resolver um exemplo que faz uso de expressões algébricas e que esclarece o conceito 
de variável.
Exemplo 1. Para organizar um evento corporativo, o diretor da área de tecnologia de uma empresa 
dividiu o time de desenvolvedores de software em 12 equipes distintas, cada uma com o mesmo número 
de integrantes. Cada equipe ficará responsável por uma atividade específica do evento. Para coordenar 
o trabalho dessas equipes, 6 gestores foram posteriormente designados. Sabe-se que, dos colaboradores 
envolvidos, apenas o diretor não participará do evento, e que não há participantes externos. Nesse 
cenário, faça o que se pede a seguir.
A) Encontre a expressão algébrica capaz de descrever a quantidade total de participantes do evento.
B) Se cada equipe for composta por 5 desenvolvedores, determine o total de participantes.
14
Unidade I
C) Se cada equipe for composta por 7 desenvolvedores, determine o total de participantes.
D) Se o número total de participantes for 150, determine o número de desenvolvedores que 
devemos ter em cada equipe.
Resolução
A) Como não sabemos a quantidade de desenvolvedores de software em cada equipe, podemos 
chamar esse valor de x. Dessa forma, conseguimos descrever matematicamente a situação por 
meio de uma expressão algébrica. Temos 12 equipes com x desenvolvedores cada. Ainda devemos 
adicionar os 6 gestores.
Portanto, a expressão algébrica que descreve a quantidade total q de participantes do evento é 
a que segue:
q = 12x + 6
Note que nenhuma operação aritmética parece estar explicitamente indicada no termo 12x. 
Mesmo assim, temos uma multiplicação entre a parte numérica e a parte literal, ou seja, temos 
“doze vezes x”.
B) Encontramos, agora, um valor numérico para x.Nesse contexto, a variável x assumirá o valor 5, e 
é possível calcularmos o número de participantes q do evento, como mostrado a seguir.
q = 12.5 + 6 = 60 + 6 = 66 participantes
C) Encontramos outro valor numérico para x. Nesse contexto, a variável x assumirá o valor 7, e é 
possível calcularmos o número de participantes q do evento, como mostrado a seguir.
q = 12.7 + 6 = 84 + 6 = 90 participantes
D) Nessa situação, costumamos chamar x de incógnita. Não sabemos, a princípio, por qual valor 
devemos substituir x, como nos casos anteriores. O que sabemos é o número total de participantes 
(q = 150). Com esse dado, podemos montar uma equação de forma a calcular o número de 
desenvolvedores em cada equipe que satisfaça tal equação, como mostrado a seguir.
q = 150 = 12x + 6
12x = 150 - 6
12x = 144
144
x
12
=
x = 12
15
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Portanto, para um total de 150 participantes, devemos ter 12 desenvolvedores de software em 
cada equipe.
Agora, consideraremos a seguinte equação:
2x + 1 = 3
Nosso objetivo é determinar o valor do x para que a igualdade seja verdadeira. Logo, precisamos 
“isolar o x”. Para isso, pensamos em “passar o +1 para o outro lado”, mas essa não é a ideia perfeita. 
O procedimento correto é somar “−1” em ambos os lados da equação. Note que, se somarmos a mesma 
quantidade em ambos os lados da igualdade, não alteramos a igualdade original.
2x + 1 + (−1) = 3 + (−1)
Veja, no lado esquerdo da equação, que +1 – 1 = 0, de forma que dizemos que “podemos cortar” o 
1 com o -1. Logo:
2x 1+ ( 1)+ − 3 ( 1)= + −
Então, chegamos a:
2x = 3 − 1
De forma simplificada, costumamos dizer que o +1 passa para o outro lado da primeira equação e 
troca de sinal. Fazendo o cálculo do lado direito da equação, temos:
3 – 1 = 2
Assim:
2x = 3 − 1
2x = 2
O passo final para isolarmos x é “passar o 2 para o outro lado”, mas vamos fazer isso de forma 
detalhada. Queremos eliminar o 2 do lado esquerdo da equação. Isso pode ser feito se multiplicarmos 
ambos os lados por meio (1/2), de forma a não alterarmos a equação:
2x = 2
1 1
2x. 2.
2 2
   =      
16
Unidade I
Note que:
1
2. 1
2
  =  
Logo, podemos “cancelar o 2 de cima com o 2 de baixo”:
2
1
x.
2
1
2.
2
   =      
E isso pode ser feito também do lado direito da equação:
x.1 2= 1.
2
 
 
 
x . 1 = 1
Chegamos, então, ao resultado:
x = 1
Voltando um pouco, antes de fazermos a multiplicação por meio, tínhamos a equação:
2x = 2
O que fizemos é equivalente a dizer que o 2 do lado esquerdo “passa para o outro lado dividindo”. 
O 2 está multiplicando o x, logo, ao “passar para o outro lado” da igualdade, ele vai com a operação 
inversa, sendo que a operação inversa da multiplicação é a divisão:
2x = 2
2
x
2
=
Como há 2 na parte superior e há 2 na parte inferior da fração, podemos “cortar o 2”:
2
x =
2
1=
17
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Veja que o resultado de 2 dividido por 2 é igual a 1. Nesse contexto, quando “cortamos tudo” de uma 
equação e não sobra nada, quer dizer que esse resultado é igual a 1, e não igual a zero.
Vimos, no exemplo 1, x sendo chamado de variável nos itens B e C e de incógnita no item D. Por 
mais que, muitas vezes, encontremos esses termos sendo utilizados como sinônimos, é interessante 
sabermos que eles são essencialmente diferentes. Como variável, x pode assumir qualquer valor dentro 
de determinado contexto. Por exemplo, na expressão y = 2x, podemos substituir o x por 2, o que leva à 
variável y ao valor 4, pois 2 × 2 = 4. Se substituirmos x por 3, y passa a valer 6, pois 2 × 3 = 6. Temos, 
nesse caso, uma lei matemática que caracteriza uma função, em que a variável y está escrita em função 
da variável x (funções matemáticas serão discutidas com profundidade mais à frente). Note que nós, 
de fato, variamos o valor assumido por x, o que leva também a uma variação no valor assumido por y.
Como incógnita, x não pode assumir valores independentes, pois precisa ser calculada de forma a 
resolver a situação em que está inserida. Se tivermos 2x = 16, por exemplo, não podemos simplesmente 
substituir x por diversos números: precisamos calcular o seu valor para que a igualdade 2x = 16 seja 
verdadeira. Nesse caso, x é necessariamente igual a 8, pois 2 × 8 = 16. Temos, aqui, apenas uma 
equação, que nada mais é do que uma igualdade entre expressões algébricas que contêm, pelo menos, 
uma incógnita.
1.2.1 Termos algébricos
Um termo algébrico é o produto de um número, denominado coeficiente, por potências de expoentes 
racionais de variáveis, denominadas partes literais. Monômio, por sua vez, é um tipo de termo algébrico 
composto por um coeficiente e uma parte literal, cujos expoentes são naturais. Para simplificar o 
entendimento, vamos nos referir a esse tema apenas como termos algébricos.
Pode parecer que estamos lidando com algo complicado quando lemos as definições anteriores, mas 
não se preocupe: você verá que, com a análise de exemplos, tudo fará sentido.
Ao analisarmos um termo algébrico, como 2x, vemos que ele é composto pelo coeficiente 2 e 
pela parte literal x. Lembre-se de que não há uma operação aritmética explicitamente indicada, mas 
temos uma multiplicação entre o coeficiente e a parte literal, ou seja, duas vezes x. Em alguns casos, 
a parte literal pode conter mais de uma variável, como ocorre em 4xy. Agora, temos coeficiente 4, 
com parte literal xy.
Veja, no quadro a seguir, alguns exemplos de termos algébricos com a separação do coeficiente e da 
parte literal.
18
Unidade I
Quadro 2 – Alguns termos algébricos com seus respectivos 
coeficientes e suas respectivas partes literais
Termo algébrico Coeficiente Parte literal
3x 3 x
3x
2
3
2
x
yz 1 yz
-z3 -1 z3
5ab
3
− 5
3
− ab
Pela observação, podemos destacar os casos a seguir.
• Há casos em que o coeficiente é uma fração, como em 3x
2
.
•	 Há casos em que o coeficiente não aparece explicitamente, mas ele vale 1, como em xz = 1xz.
• Há casos em que o coeficiente é um número negativo, como em 5ab
3
− .
Veja que é útil sabermos diferenciar o coeficiente da parte literal quando realizamos operações 
aritméticas e quando lidamos com funções matemáticas. Apenas podemos somar ou subtrair termos 
que sejam semelhantes, ou seja, que apresentem a mesma parte literal.
Uma expressão algébrica pode ser composta por mais de um termo. Nesse caso, eles estarão 
conectados entre si por operadores de adição ou subtração, sendo que a expressão pode ser chamada 
de polinômio. No quadro seguinte, vemos alguns exemplos de contagem de termos de expressões.
Quadro 3 – Expressões algébricas com a contagem de termos
Expressão algébrica Número de termos
ax + b 2
ax2 + bx + c 3
5xyz 1
5ab
2
3
− + 2
5x4 + 3x2 – 9x + 10 4
19
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
 Observação
As regras de produtos notáveis e de fatoração de polinômios podem ser 
utilizadas para manipularmos expressões algébricas. As principais regras 
estão descritas no Apêndice A, intitulado “Produtos notáveis e fatoração”, 
que se encontra ao final deste livro-texto.
No exemplo a seguir, lidaremos com uma expressão algébrica cujos termos podem ser simplificados 
por apresentarem a mesma parte literal.
Exemplo 2. O perímetro de um polígono é definido como a soma dos comprimentos dos seus lados. 
Encontre uma expressão algébrica que forneça o perímetro do triângulo escaleno da figura a seguir, em 
que x representa um número real maior do que 1.
8x - 8 5x - 5
8x
Figura 1 – Triângulo escaleno
Resolução
Para obtermos algebricamente o perímetro P, devemos somar as medidas dos três lados do triângulo 
representado na figura. Temos, portanto:
P = (8x − 8) + (5x + 5) + 8x
Nesse caso, podemos retirar os parênteses para agrupar os termos semelhantes, que são os termos 
cuja parte literal é a mesma:
P = (8x − 8) + (5x + 5) + 8x = 8x – 8 + 5x + 5 + 8x
Note que, até essa etapa, a expressão tem 5 termos. Três deles têm parte literal x (que são os termos 
8x, 5x e 8x), enquanto dois são constantes ou termosindependentes (que são os termos −8 e 5). Podemos, 
portanto, reduzir a expressão a um binômio (polinômio de dois termos):
20
Unidade I
P = (8x − 8) + (5x + 5) + 8x = 8x – 8 + 5x + 5 + 8x = 21x − 3
Logo, a expressão algébrica P = 21x − 3 representa o perímetro do triângulo da figura anterior.
Veja que, no enunciado, colocamos a restrição de x ser maior do que 1, pois, sem ela, a medida 8x − 8 
poderia ser 0, o que não tem sentido.
No próximo exemplo, montaremos uma equação que descreve a situação apresentada em linguagem 
cotidiana.
Exemplo 3. A soma de um número natural com o seu sucessor resulta em 443. Qual é esse número?
Resolução
Chamaremos de x o número que, a princípio, desconhecemos. Ele será a incógnita do nosso problema, 
pois x representa um valor específico que ainda não sabemos qual é. Por número natural, entendemos 
que esse número é inteiro e não negativo. Quanto ao sucessor, devemos “pegar” esse valor x e acrescentar 
uma unidade a ele.
Sabemos, por exemplo, que o sucessor de 10 é 11, certo? Se o nosso número é chamado de x, basta 
adicionarmos 1 unidade a ele. Temos, portanto, em linguagem matemática, o que segue.
•	 Número natural: x
•	 Sucessor de x: x + 1
Agora, podemos montar uma equação que descreve a situação do enunciado. Vamos traduzir para 
linguagem matemática a frase do enunciado: “A soma de um número natural com o seu sucessor resulta 
em 443”. Ficará assim:
x + (x + 1) = 443
Vamos, agora, isolar o x para, dessa forma, descobrir o valor desconhecido. Podemos, nesse caso, 
retirar os parênteses e agrupar os termos semelhantes. É importante lembrar que sempre que passamos 
um termo de um lado da equação para o outro, devemos “inverter a operação”, de forma a sempre 
manter a igualdade entre a expressão à esquerda do símbolo de igualdade e a expressão à direita do 
símbolo de igualdade. Vejamos:
x + x + 1 = 443
2x + 1 = 443
2x = 443 − 1
21
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
2x = 442
x = 442
2
x = 221
O número natural que satisfaz à situação do enunciado é o número 221, visto que ele, se somado ao 
seu sucessor (222) resulta em 443. 
 Saiba mais
O palestrante Terry Moore apresentou, em uma conferência TED oficial, 
uma pequena palestra intitulada “Why is ‘x’ the unknown?”, em que aborda 
o motivo pelo qual x foi adotado como o literal padrão dos livros de 
matemática. Veja essa palestra na indicação a seguir.
WHY is “x” the unknown. TED por Terry Moore. [s.l.], 2012. 1 vídeo (3 min.). 
Disponível em: https://bit.ly/3uEKixs. Acesso em: 11 maio 2021.
É possível configurar as legendas em português.
1.3 Razão, proporção e regra de três
Podemos definir razão, no contexto da matemática, como o quociente entre dois números. Por 
exemplo, a razão entre 1 e 2 pode ser expressa na forma de fração como ½. Essa mesma razão pode ser 
expressa na forma decimal como 0,5 (basta dividir 1 por 2 e chegamos a 0,5).
Uma proporção, por sua vez, pode ser definida como a igualdade entre razões. A proporção pode 
ser expressa como mostrado a seguir, em que x ≠ 0 e z ≠ 0 (lembre-se de que não existe divisão por 
0 nos números reais, daí a restrição). Podemos ler essa proporção como “w está para x, assim como y 
está para z”.
w y
x z
=
Nesse caso, chamamos as variáveis de termos da proporção. Na igualdade, w é o 1º termo, x é o 
2º termo, y é o 3º termo e z é o 4º termo. O 1º e o 4º termos (w e z) são chamados de extremos, e o 2º e o 
3º termos (x e y) são chamados de meios. Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos. Daí, costumamos utilizar a técnica de “multiplicar em cruz”. Nesse caso, ficamos com:
xy = wz
22
Unidade I
Para utilizarmos um exemplo numérico, consideraremos os termos 4, 2, 16 e 8. Assim, “montando” a 
igualdade entre razões, chegamos a:
4 16
2 8
=
4 . 8 = 2 . 16
32 = 32
Temos, portanto, termos proporcionais. Note que, ao realizarmos a divisão entre 4 e 2, chegamos ao 
resultado 2. Ao realizarmos a divisão entre 16 e 8, também chegamos ao resultado 2. Isso evidencia que 
temos igualdade entre razões, e, portanto, temos proporcionalidade.
Em uma situação contextualizada de proporcionalidade, podemos nos deparar com:
•	 Grandezas diretamente proporcionais: aquelas em que o aumento de uma grandeza resulta no 
aumento da outra, assim como a diminuição de uma grandeza resulta na diminuição da outra. 
Como exemplo, suponhamos que você vai a uma papelaria para comprar canetas. Podemos pensar 
na relação entre as grandezas “valor da compra” e “número de itens adquiridos”. Quanto mais 
canetas você decidir comprar, maior será o valor de sua compra, concorda? Temos, portanto, uma 
relação diretamente proporcional entre o valor da compra e o número de itens comprados.
•	 Grandezas inversamente proporcionais: aquelas em que o aumento ou a diminuição de uma 
grandeza resultam no processo inverso na outra. Como exemplo, suponhamos que você está 
dirigindo um automóvel em uma estrada, em velocidade constante. Vamos, agora, pensar na 
relação entre as grandezas “velocidade do seu veículo” e “tempo de trajeto”, ou seja, o tempo que 
levará para você chegar ao seu destino. Quanto maior for a velocidade, menor será o tempo 
de trajeto. Quanto menor for a velocidade, maior será o tempo até o destino. Logo, temos uma 
relação inversamente proporcional entre velocidade e tempo de trajeto.
Em uma situação na qual existe proporcionalidade entre duas grandezas e um dos quatro termos da 
proporcionalidade é desconhecido, podemos calculá-lo pela técnica denominada regra de três simples. 
A palavra “simples” indica que apenas duas grandezas se relacionam entre si na situação. Nesse caso, 
precisamos conhecer e apresentar três valores da proporção para que o quarto valor seja calculado.
Vamos acompanhar um exemplo de regra de três simples que envolve duas grandezas diretamente 
proporcionais entre si:
Exemplo 4. Em uma pequena confecção de cortinas, são produzidas 35 peças em 7 horas. Em 
27 horas de trabalho, quantas cortinas serão produzidas?
23
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Resolução
Primeiramente, analisaremos o tipo de proporcionalidade envolvida entre as grandezas “número de 
peças” e “tempo de trabalho” da confecção mencionada no enunciado. Quanto mais tempo de trabalho, 
maior o número esperado de cortinas produzidas. Temos, portanto, grandezas diretamente proporcionais.
Podemos dispor essa situação em uma tabela, conforme mostrado no esquema a seguir.
Tabela 1 – Tempo e número de peças
1ª grandeza
(tempo, em horas)
2ª grandeza
(número de peças)
1º caso 7
↓
35
↓
2º caso 27 x
No esquema, posicionamos as duas grandezas como duas colunas (tanto faz qual delas você 
considera como a 1ª grandeza). Para as linhas, temos dois casos envolvendo as grandezas. Um 
deles (escolhido como 1º caso) é conhecido: sabemos que em 7 h são produzidas 35 cortinas. No 
2º caso, conhecemos um dos valores envolvidos (27 h de trabalho), mas desconhecemos o outro, 
que chamamos de x.
Nessa situação, x assume o papel de incógnita do problema. As setas indicam o sentido de crescimento 
dos valores de cada grandeza. Para a grandeza “tempo”, observamos crescimento do 1º para o 2º caso 
(mostrado com uma seta para baixo). Para a grandeza “número de peças”, também esperamos que haja 
crescimento do 1º para o 2º caso, já que temos grandezas diretamente proporcionais.
Para grandezas diretas, a razão entre dois valores de uma grandeza é proporcional à razão entre 
dois valores da outra grandeza. Temos, portanto, a seguinte proporção, que mantém a disposição dos 
valores do esquema:
7 35
27 x
=
7x = 27 . 35
27.35
x
7
=
x = 135
Logo, com 27 horas de trabalho na confecção em estudo, esperamos que sejam produzidas 
135 cortinas.
24
Unidade I
Agora, acompanharemos um exemplo que envolve duas grandezas inversamente proporcionais 
entre si.
Exemplo 5. Em um escritório de contabilidade, 12 colaboradores são capazes de gerar 50 relatórios 
durante um expediente de 9 horas. Com 36 colaboradores, quantas horas seriam necessárias para gerar 
essesmesmos 50 relatórios, mantidas as devidas proporções?
Resolução
Vamos, primeiramente, definir quais grandezas estão envolvidas no cálculo. No 1º caso, temos 
12 colaboradores gerando 50 relatórios em 9 horas. No 2º caso, temos 36 colaboradores gerando 
50 relatórios em x horas. Como o número de relatórios é o mesmo nos dois casos (mantém-se constante), 
a proporcionalidade ocorre entre as grandezas “número de colaboradores” e “tempo de trabalho”. 
Quanto maior o número de colaboradores, menor o tempo necessário de trabalho para produzir estes 
50 relatórios. Temos, portanto, grandezas inversamente proporcionais.
Podemos dispor a situação em estudo em uma tabela, conforme mostrado no esquema a seguir.
Tabela 2 – Tempo e número de colaboradores
1ª grandeza
(número de colaboradores)
2ª grandeza
(tempo, em horas)
1º caso 12
↓
9
↑
2º caso 36 x
No esquema, posicionamos as duas grandezas como duas colunas (escolhemos colocar o número 
de colaboradores como 1ª grandeza). Para as linhas, temos os dois casos envolvendo as grandezas. Um 
deles (escolhido como 1º caso) é conhecido: sabemos que 12 colaboradores produzem os relatórios em 
9 horas. No 2º caso, conhecemos um dos valores envolvidos (36 colaboradores), mas desconhecemos o 
outro, que chamamos de x. As setas indicam o sentido de crescimento dos valores de cada grandeza. 
Para a grandeza “número de colaboradores”, observamos crescimento do 1º para o 2º caso (demonstrado 
com uma seta para baixo). Para a grandeza “tempo de trabalho”, esperamos que haja crescimento do 
2º para o 1º caso, já que, com um número maior de funcionários, o tempo de trabalho é reduzido. As setas 
em sentidos opostos ilustram as grandezas inversamente proporcionais da situação.
Para grandezas inversas, a razão entre dois valores de uma grandeza é proporcional ao inverso da 
razão entre os dois valores da outra grandeza. Temos, na prática, que trocar o posicionamento dos 
valores de uma dessas grandezas e, aí sim, podemos construir a proporção:
12 x
36 9
=
Nesse caso, invertemos o posicionamento dos valores da 2ª grandeza (é como se reposicionássemos 
os valores no esquema para fazer com que as setas apontem na mesma direção). A forma de resolver 
matematicamente a proporção será a mesma do exemplo anterior, ou seja, multiplicando em cruz:
25
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
12 x
36 9
=
36x = 12 . 9
36x = 108
108
x
36
=
x = 3
Portanto, com 36 colaboradores, esperamos que 50 relatórios sejam produzidos em 3 horas.
1.4 Porcentagem
Podemos definir porcentagem como a centésima parte de uma grandeza. Na prática, temos uma 
razão cujo denominador é 100, comumente chamada de taxa percentual, utilizada em cálculos de 
proporcionalidade. O termo “por cento” e seu sinal correspondente, %, significam “por uma centena”. 
Se temos x%, podemos reescrever essa taxa percentual como uma razão na forma de fração ou na 
forma decimal:
x
x% 0,01x
100
= =
Vemos constantemente, no noticiário e no nosso cotidiano, situações que envolvem porcentagem. 
Antes de começarmos a fazer cálculos envolvendo porcentagens, vamos aprender a interpretar as 
situações apresentadas a seguir.
• Situação 1: 15% dos eleitores votaram nulo. Nessa situação, a cada grupo de 100 eleitores, 
15 votaram nulo, independentemente da quantidade total de eleitores. Vemos que 15% é a taxa 
percentual, que lemos como “quinze por cento”. Essa taxa também pode ser expressa pela razão 
 
15
100
 (na forma de fração) ou por 0,15 (na forma decimal).
•	 Situação 2: o preço do feijão aumentou em 10% em relação ao ano passado. Nessa situação, a 
taxa percentual indica acréscimo no preço: a cada R$100,00 gastos com feijão no ano passado, 
gastaremos R$110,00 (R$ 100 + R$ 10) neste ano para adquirir a mesma quantidade. Veja que 
10% de R$ 100,00 são R$ 10,00.
26
Unidade I
•	 Situação 3: o vendedor ofereceu um desconto de 25% na compra. Nessa situação, a taxa 
percentual indica diminuição no preço a ser pago pela compra: a cada R$ 100,00 que gastaríamos 
com o preço original, gastaremos apenas R$ 75,00 (R$ 100 − R$ 25) após aplicado o desconto. 
Veja que 25% de R$ 100,00 são R$ 25,00.
Para conseguirmos lidar com diversas aplicações, como cálculos financeiros, precisamos saber lidar 
com porcentagens. Por isso, vamos aprender diferentes técnicas para lidar com cálculos percentuais. 
Como trabalhamos com proporcionalidades, podemos utilizar regra de três simples para realizar esses 
cálculos. Podemos, também, utilizar algumas regras práticas.
 Lembrete
A regra de três simples pode ser utilizada em situações nas quais 
existe proporcionalidade entre duas grandezas e um dos quatro termos da 
proporcionalidade é desconhecido. Ao apresentar três valores da proporção, 
o quarto valor pode ser calculado.
No exemplo a seguir, veremos essas três formas de calcular quantidades com base em uma taxa 
percentual conhecida.
Exemplo 6. Uma fábrica emprega, no total, 1.500 pessoas. Dessas, 30% têm nível superior completo. 
Qual é o número de funcionários com diploma superior na fábrica?
Resolução 1
Aqui usaremos uma regra de três para resolver a situação. Pelo enunciado, sabemos que 1.500 
pessoas representam o total de funcionários dessa fábrica. Em taxa percentual, dizemos que essas 
1.500 pessoas representam 100% dos funcionários. Apenas uma parte desse total, 30% no caso, tem 
nível superior, mas ainda desconhecemos quanto, em número absoluto de funcionários, tal percentual 
representa. Chamaremos de x o número de funcionários com nível superior.
Uma das formas de esquematizarmos essa situação é a mostrada a seguir.
Tabela 3 – Número de funcionários e taxa %
1ª grandeza
(número de funcionários)
2ª grandeza
(taxa %)
1º caso
(total) 1500
↑
100
↑
2º caso
(nível superior) x 30
Assim, uma coluna está dedicada a valores absolutos (no contexto, trata-se do número de funcionários) 
e a outra está dedicada a valores percentuais. No 1º caso, temos que o todo (100%) corresponde à 
27
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
contagem de 1.500 funcionários. No 2º caso, conhecemos a taxa de 30%, mas desconhecemos a parte 
de interesse. “Montando” a proporção, temos:
1500 100
x 30
=
100x = 1500 . 30
100x = 45000
45000
x
100
=
x = 450
Calculamos que 30% de 1.500 são 450. Logo, 450 funcionários da fábrica mencionada no enunciado 
têm nível superior.
Resolução 2
Aqui vamos expressar diretamente a taxa percentual na forma de fração. Já compreendemos que 
o intuito da questão é calcular quanto vale 30% de 1.500. Expressaremos essa taxa como uma fração:
30
30%
100
=
Para o cálculo desejado, basta que multipliquemos essa fração pela quantidade total de funcionários, 
ou seja, pela quantidade que representa 100% da nossa situação:
30
.1500 450
100
=
Note que, se lermos o operador de multiplicação como “de”, simplesmente escrevemos em linguagem 
matemática a seguinte sentença: “trinta por cento de mil e quinhentos”. Chegamos, como esperado, “ao 
mesmo lugar”: 30% de 1.500 funcionários são 450 funcionários.
Resolução 3
Aqui expressaremos diretamente a taxa percentual na forma decimal. Logo:
30% = 0,01 . 30 = 0,3
28
Unidade I
Podemos, simplesmente, multiplicar a taxa, já em sua forma decimal, pela quantidade total de 
funcionários:
0,3 × 1500 = 450
No próximo exemplo, veremos como calcular a taxa percentual que uma quantidade representa em 
relação a outra. Proporemos duas soluções para o problema.
Exemplo 7. Uma disciplina universitária, cursada por 2.205 alunos, reprovou 245 deles. Qual é a 
porcentagem de alunos reprovados nessa disciplina?
Resolução 1
Nesse problema, precisamos calcular qual taxa percentual 245 representam em relação a um total 
de 2.205 alunos. Podemos, novamente, montar uma regra de três para descrever a situação. Uma das 
formas de esquematizar a situação é a mostrada a seguir.
Tabela 4 – Número de alunos e taxa (%)
1ª grandeza
(número de alunos)
2ª grandeza
(taxa %)
1º caso
(total) 2205
↑
100
↑
2º caso
(reprovados) 245 x
Logo, ficamos com:
2205 100
245 x
=
2205x = 245. 100
24500
x
2205
=
x = 11,11%
Calculamos que 245 representam cerca de 11,11% de 2.205. Portanto, a taxa de reprovação na 
disciplina foi de 11,11%.
29
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Resolução 2
Quando necessitamos calcular uma taxa percentual a partir de dois valores absolutos, podemos 
utilizar a seguinte regra prática: divida a “parte pelo todo” e multiplique o resultado assim obtido por 100. 
Vejamos:
parte
.100 x%
todo
=
Na nossa situação, a parte corresponde a 245 alunos, de um total de 2.205 (todo). Ao multiplicarmos 
essa razão por 100, já expressamos o resultado em taxa percentual. Logo:
245
.100 11,11%
2205
=
No próximo exemplo, usaremos as porcentagens em acréscimo e desconto no preço de uma 
mercadoria. Utilizaremos técnicas já vistas anteriormente.
Exemplo 8. Uma mesa digitalizadora, que inicialmente custava R$ 500,00, teve seu preço acrescido 
de 20%. Algum tempo depois, em uma liquidação, esse novo preço sofreu desconto de 20%. Qual é o 
preço da mercadoria após a aplicação do desconto?
Resolução
Vamos avaliar, no esquema a seguir, o que aconteceu com o preço da mesa digitalizadora ao 
longo do tempo.
Tabela 5 – Acréscimo e desconto
Inicialmente Após acréscimo de 20% Após desconto de 20%
Preço: R$ 500,00
20
.500 100
100
=
500 + 100 = 600
Preço: R$ 600,00
20
.600 120
100
=
600 – 120 = 480
Preço: R$ 480,00
O preço inicial é R$ 500,00, de acordo com o enunciado. Vimos que 20% de R$ 500,00 são R$ 100,00. 
Como esses 20% são de acréscimo, somamos o resultado ao preço inicial e obtemos R$ 600,00 (que 
representam 120% de R$ 500). Na última etapa, calculamos 20% novamente, mas, dessa vez, em 
relação a R$ 600,00, que é o preço vigente da mercadoria. O cálculo resultou em R$ 120,00, que foi 
descontado de R$ 600,00. Logo, o preço final da mesa digitalizadora é R$ 480,00 (que representam 
80% de R$ 600,00).
30
Unidade I
Note que não retornamos ao preço original de R$ 500,00, pois o resultado de 20% de R$ 500,00 é 
diferente do resultado de 20% de R$ 600,00.
Para fixarmos o que vimos, vamos resolver mais um exemplo.
Exemplo de aplicação
(Vunesp, 2017) Em uma lata, há 60 bombons embalados com papéis coloridos. O número de bombons 
embalados com papel azul corresponde a 40% do número total de bombons. Dos demais bombons da 
lata, 25% foram embalados com papel amarelo, e o restante, com papel vermelho. Em relação ao número 
total de bombons dessa lata, os que estão embalados com papel vermelho representam:
A) 50%.
B) 45%.
C) 40%.
D) 35%.
E) 30%.
Resolução
O objetivo da questão é calcular a quantidade de bombons embalados em papel vermelho. Sabemos 
que, do total de bombons da caixa (60 bombons, que representam 100% da caixa), 40% são azuis. 
Logo, “sobram” 60% para os demais bombons (amarelos e vermelhos). Desses, 60% restantes, 25% são 
amarelos e, portanto, 75% são vermelhos. Resumidamente, começamos calculando quantos bombons 
temos em 75% de 60 bombons:
75 60
. . 60 27
100 100
=
Agora, sabemos que, na caixa com total 60 bombons, 27 deles são embalados em papel vermelho. 
Eles representam a seguinte taxa percentual em relação ao total:
27
.100 45%
60
=
Concluímos que a alternativa correta é a alternativa B.
31
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
2 CONJUNTOS
A teoria dos conjuntos representa uma parte importante da matemática, que estuda coleções 
de elementos e seus relacionamentos. Seus conceitos são úteis em diversos ramos da ciência, como 
teoria dos números e linguagem formal. Na área computacional, os sistemas de bancos de dados e as 
linguagens de programação utilizam na prática o conhecimento de conjuntos matemáticos.
Para entendermos esse conceito, precisamos fazer duas definições básicas, mas muito importantes.
•	 Conjunto: uma coleção de elementos que possuem alguma característica em comum.
•	 Elemento: nome dado a cada item que faz parte de um conjunto.
Vamos pensar em termos futebolísticos: por exemplo, a seleção brasileira é formada por 11 jogadores, 
cada um desses jogadores é um elemento do conjunto formado pelos jogadores da seleção e, 
portanto, cada um deles pertence a esse conjunto.
Geralmente, o nome de um conjunto é representado por uma letra maiúscula, mas isso pode variar 
dependendo da aplicação. Podemos citar os exemplos a seguir.
•	 Conjunto A das faces de uma moeda: A = {cara, coroa}.
•	 Conjunto B das regiões do Brasil: B = {Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste, Sul}.
•	 Conjunto das cores da bandeira brasileira: C = {verde, amarelo, azul, branco}.
O conjunto A tem 2 elementos (cara e coroa), sendo que ambos os elementos representam faces de 
uma moeda. O conjunto B tem 5 elementos, sendo que cada um deles representa uma região do Brasil. 
O conjunto C tem quatro elementos, onde cada um representa uma cor da bandeira brasileira. Note que 
os elementos estão envolvidos por um par de chaves e separados por vírgulas, porém essa não é a única 
forma possível de representação de conjuntos.
Existem diversas formas de representar um conjunto e seus elementos. As principais formas são as 
apresentadas a seguir.
•	 Entre chaves por extenso: nessa representação, listamos os elementos entre chaves separados 
por vírgula.
•	 Entre chaves por propriedade: nessa representação, temos a apresentação de uma propriedade 
que determina que tipo de elemento pertence àquele conjunto. A utilização de propriedades é útil 
para descrever conjuntos com número elevado de elementos.
•	 Graficamente: nessa representação, utilizamos diagramas de Venn-Euler. Tais diagramas dispõem 
os conjuntos como figuras geométricas fechadas, e pode haver a lista de seus elementos dentro 
da área da figura.
32
Unidade I
Para esclarecermos mais sobre tópicos da teoria dos conjuntos, representaremos um conjunto de 
diferentes formas no exemplo a seguir.
Exemplo 9. A União Astronômica Internacional considera, em 2021, a existência de oito planetas no 
Sistema Solar. Represente o conjunto S, que reúne esses planetas:
A) Por extenso.
B) Utilizando uma propriedade.
C) Graficamente.
Resolução
A) Por extenso, temos o que segue.
S = {Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno}
Indicamos o nome do conjunto e a lista de elementos separados por vírgula. A ordem na qual os 
elementos aparecem é irrelevante.
B) Utilizando uma propriedade, temos o que segue.
S = {x | x é um planeta do Sistema Solar}
Expressamos, dessa vez, a propriedade em comum aos elementos do conjunto. Costumamos chamar 
de x uma variável que assume elementos correspondentes à propriedade. Devemos ler a barra | como 
“tal que”, ou seja: “o conjunto S é formado por elementos x tal que x é um planeta do Sistema Solar”.
C) Graficamente, temos o que se mostra na figura a seguir.
Mercúrio
S
Terra
Júpiter
Urano
Vênus
Marte
Saturno
Netuno
Figura 2 – Planetas
33
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Indicamos o nome do conjunto próximo a uma figura geométrica fechada, seja um círculo, seja um 
polígono fechado qualquer. A lista de elementos foi posicionada dentro da área do círculo. Muitas vezes, 
os diagramas de Venn-Euler apenas expressam a relação entre diferentes conjuntos dentro de uma 
situação, não havendo listagem de elementos.
 Observação
A ordem dos elementos que pertencem a um conjunto não importa. 
Você pode organizá-los do jeito que achar melhor. A repetição de elementos 
também é irrelevante, pois cada um será considerado apenas uma vez.
2.1 Pertinência
A pertinência é um tipo de relação entre um elemento e um conjunto. Ela indica a existência ou a 
ausência de um elemento dentro de um conjunto. Para isso, são utilizados dois símbolos de operadores 
relacionais:
•	 ∈, que significa “pertence”;
•	 ∉, que significa “não pertence”.
No caso das relações de pertinência, quando queremos afirmar que um elemento x pertence a um 
conjunto A qualquer, utilizamos o símbolo ∈, ou seja, x ∈ A. Porém, se o elemento x não pertence 
ao conjunto A, utilizamos o símbolo ∉, ou seja, x ∉ A.
Vejamos um exemplo: consideremos o conjunto A das vogais do nossoalfabeto:
A = {a, e, i, o, u}
Dizemos que a vogal “a” pertence ao conjunto A formado pelas vogais do alfabeto, ou seja:
a ∈ A
Vejamos, a seguir, mais alguns exemplos e suas interpretações:
•	 1 ∈ A. Lê-se: “1 pertence a A”, ou seja, o elemento 1 pertence ao conjunto A.
•	 3 ∉ A. Lê-se: “3 não pertence a A”, ou seja, o elemento 3 não pertence ao conjunto A.
•	 2 ∈ {1, 2, 3}. O elemento 2 pertence ao conjunto formado pelos elementos 1, 2 e 3.
•	 4 ∉ {1, 2, 3}. O elemento 4 não pertence ao conjunto formado pelos elementos 1, 2 e 3.
34
Unidade I
•	 6 ∈ {x | x é número par}. O elemento 6 pertence ao conjunto dos números pares.
•	 9 ∉ {x | x é número primo}. O elemento 9 não pertence ao conjunto dos números primos.
•	 9 ∉ {x ∈ N| 4 ≤ x ≤ 8}}. O elemento 9 não pertence ao conjunto dos números naturais maiores 
ou iguais a 4 e menores ou iguais a 8.
•	 8 ∉ {x ∈ N| x > 8}. O elemento 8 não pertence ao conjunto dos números naturais maiores do 
que 8 (visto que 8 não é maior do que 8).
Vamos reforçar a leitura da definição do conjunto do penúltimo exemplo apresentado anteriormente. 
O símbolo N representa, na matemática, o conjunto de todos os números naturais, ou seja, números 
inteiros não negativos. Após a barra, encontramos um intervalo de restrição para os elementos desse 
conjunto. Então, x ∈ N| 4 ≤ x ≤ 8 pode ser lido como: “x pertence ao conjunto dos números naturais, 
tal que x é maior ou igual a 4 e menor ou igual a 8”. Nesse caso, seria fácil reescrever o conjunto por 
extenso: {4, 5, 6, 7, 8}. Portanto, o elemento 9 não pertence ao conjunto em questão.
Também reforçaremos a leitura do conjunto do último exemplo. Temos, agora, um conjunto que 
contém elementos naturais, mas maiores do que 8. Podemos reescrever o conjunto por extenso. No 
entanto, no caso, precisamos adicionar reticências, para indicar que a lista de elementos é infinita, 
fazendo assim: {9, 10, 11, 12, …}. Logo, o elemento 8 não pertence ao conjunto em questão.
2.2 Igualdade e desigualdade
Consideramos que existe uma relação de igualdade entre conjuntos quando suas listas de elementos 
são exatamente iguais. Por exemplo, considere os conjuntos A e B mostrados a seguir.
A = {x ∈ N| x é ímpar}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}
No caso, dizemos que A = B, pois mesmo que os conjuntos tenham sido representados de formas 
diferentes, eles remetem à mesma lista de elementos.
Considere, agora, os conjuntos C e D mostrados a seguir.
C = {x ∈ N| x é par}
D = {2, 4, 6}
As listas de elementos dos dois conjuntos não são iguais, mesmo que haja elementos em comum. 
Podemos dizer que C é diferente de D, ou seja, C ≠ D.
35
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
2.3 Conjuntos vazio, unitário e universo
Um conjunto vazio, cuja representação é ∅ ou { }, é um conjunto que não tem elementos. Preste 
atenção no conjunto A mostrado a seguir.
A = {x ∈ N| x < 0}
Não existem números naturais menores do que 0. Logo, o conjunto A não tem elementos. Nesse 
caso, o conjunto A é um conjunto vazio, ou seja, A = ∅. Do mesmo modo, o conjunto T, de todos os 
dinossauros T-Rex existentes no mundo moderno, pode ser descrito como T = { }.
Um conjunto unitário é um conjunto que tem apenas um elemento. Vejamos um exemplo: se 
tivermos B = {2} e C = {a}, tanto B quanto C serão conjuntos unitários, pois cada um deles abriga 
apenas um elemento.
O conjunto universo, que geralmente é denominado U, é o conjunto que tem todos os elementos 
de um contexto. Definido o universo, todos os conjuntos do contexto seriam conjuntos integrantes de U, 
e todos os seus elementos pertencem a U.
2.4 Subconjuntos e relação de inclusão
Um subconjunto é um conjunto que integra outro. O diagrama da figura seguinte mostra o 
relacionamento entre um conjunto universo U com seus dois subconjuntos: A e B.
A B
U
Figura 3 – Um conjunto universo U que tem dois subconjuntos (A e B)
Nesse caso, costumamos dizer que “A está contido em U” assim como “B está contido em U”. Essa 
relação entre os conjuntos é o que chamamos de relação de inclusão. Existem quatro principais 
símbolos de operadores relacionais que podemos utilizar nesse contexto:
•	 ⊂, que significa “está contido em”.
•	 ⊄, que significa “não está contido em”.
36
Unidade I
•	 ⊃, que significa “contém”.
• ⊄, que significa “não contém”.
Sobre a disposição da figura anterior, podemos fazer diversas relações verdadeiras, como as 
indicadas a seguir.
•	 A ⊂ U. Lê-se: “A está contido em U”, ou seja, A é subconjunto de U.
•	 B ⊂ U. Lê-se: “B está contido em U”, ou seja, B é subconjunto de U.
•	 A ⊄ B. “A não está contido em B”. A não é subconjunto de B nesse contexto.
•	 B ⊄ A. “B não está contido em A”.
•	 U ⊃ A. “U contém A”, ou seja, no universo, existe um subconjunto chamado A.
•	 U ⊃ B. “U contém B”, ou seja, no universo, existe um subconjunto chamado B.
• A ⊄ U. “A não contém U”.
• B ⊄ U. “B não contém U”.
 Observação
Para qualquer conjunto A, é correto afirmarmos o que segue:
•	 ∅ ⊂ A: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• A ⊂ A: um conjunto é considerado subconjunto dele mesmo.
 Lembrete
A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto. 
As relações de igualdade e de inclusão são relações entre conjuntos.
2.5 Operações entre conjuntos
As operações entre conjuntos diferem das relações de igualdade e de inclusão, que vimos anteriormente. 
Em uma relação, apenas fazemos comparações entre conjuntos. Agora, veremos operações capazes de 
resultar em um novo conjunto a partir de outros já existentes. Estudaremos as seguintes operações: 
união, interseção, diferença e complementar.
37
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
2.5.1 União
Se A e B são conjuntos, a união de A com B é denotada A ∪ B que representa o conjunto formado por 
todos os elementos de A e por todos os elementos de B. Na linguagem simbólica, podemos definir que:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Graficamente, A ∪ B será composto pelos elementos que pertencem às regiões destacadas no 
diagrama da figura seguinte.
A B
U
A ∪ B
Figura 4 – União entre os conjuntos A e B
Vejamos os exemplos a seguir.
Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1,3}, então, A ∪ B = {1, 3, 2, 4, 6, 8}
•	 {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•	 {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
•	 {2, 3} ∪ {2, 3} = {2, 3}
•	 {2} ∪ {2, 3, 4} = {2, 3, 4}
2.5.2 Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B é descrita por A ∩ B, e é formada pelos elementos que pertencem 
tanto a A quanto a B, simultaneamente. A definição simbólica pode ser dada da seguinte forma:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
Graficamente, A ∩ B será composto pelos elementos que pertencem à região destacada no diagrama 
da figura seguinte. Note que existe uma sobreposição entre os conjuntos A e B, sendo que a região 
destacada pertence tanto a A quanto a B.
38
Unidade I
A B
U
A ∩ B
Figura 5 – Interseção entre os conjuntos A e B
Vejamos os exemplos a seguir.
Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A ∩ B = {2, 4}
•	 {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = ∅
•	 {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
•	 {2, 3} ∩ {2, 3} = {2, 3}
•	 {2} ∩ {2, 3, 4} = {2}
2.5.3 Diferença entre dois conjuntos
Se A e B são dois conjuntos, então a diferença entre A e B, expressa como A – B (lê-se: “A menos B”), 
é o conjunto de elementos que estão em A, mas não em B. Podemos definir o conjunto A – B dessa forma:
A - B = {x | x ∈ A ou x ∉ B} 
Vejamos o exemplo a seguir.
A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A − B = {6, 8}
Graficamente, A – B será composto pelos elementos que pertencem à região destacada no diagrama 
da figura seguinte.
39
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A B
U
A - B
Figura 6 – Diferença entre A e B
Vejamos os exemplos a seguir.
Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A – B = {6, 8}
•	 {1, 2, 3} – {4, 5, 6} = {1, 2, 3}
•	 {1, 2, 3} – {3, 4, 5} = {1, 2}
•	 {2, 3} – {2, 3} = ∅
•	 {2} – {2, 3, 4} = ∅
2.5.4 Complementar de B em A
Para a operação complementar ocorrer, é necessário que haja uma relação de inclusão entre dois 
conjuntos. Se tivermos B como subconjunto deA, ou seja, B ⊂	A, podemos achar o complementar 
de B em relação a A, expresso como C BA . Nesse caso, C
B
A será o conjunto de elementos de A que não 
pertencem a B. Trata-se de uma diferença entre conjuntos (A – B), mas com a restrição da necessidade de 
inclusão entre eles. Podemos pensar na operação complementar como um caso particular da operação 
de diferença. Utilizaremos a seguinte definição matemática:
C BA = A – B ↔ B ⊂ A
Podemos ler essa definição assim: “o complementar de B em relação a A é igual a A menos B 
somente se B estiver contido em A”.
Graficamente, C BA será composto pelos elementos que pertencem à região destacada no diagrama 
da figura seguinte.
40
Unidade I
A
B
C BA = A - B
U
Figura 7 – Complementar do conjunto B em relação ao conjunto A
A operação complementar costuma ser utilizada em relação ao próprio universo do contexto. 
Utilizando a mesma disposição de conjuntos da figura seguinte, temos que o complementar de B em 
relação ao universo U é dado por:
BC = C BU = U - B
A notação BC é uma forma reduzida de expressar o complementar de B em relação ao seu universo. 
A expressão gráfica dessa operação pode ser vista na figura seguinte.
A
B
BC = C BU = U - B
U
Figura 8 – Complementar do conjunto B em relação ao seu universo
Nesse mesmo contexto, encontramos também o complementar de A em relação ao universo U, 
afinal, A ⊂ U. Podemos expressar essa operação como AC, que resulta nos elementos existentes na região 
destacada na figura seguinte.
41
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
A
B
AC = C AU = U - A
U
Figura 9 – Complementar do conjunto A em relação ao seu universo
Nos exemplos a seguir, trabalharemos com todas as operações entre conjuntos para fixarmos o 
entendimento desse tópico.
Exemplo 10. Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 6, 9, 10} e C = {2, 4, 5, 8, 9}. 
Encontre o conjunto resultante das operações mostradas a seguir.
A) A ∪ B
B) A ∩	B
C) A ∪ B ∪	C
D) A ∩	B ∩	C
E) (A ∩	B) ∪ (B ∩	C)
F) A – B
G) B – C
H) (A – B) ∪	(B – C)
I) AC
J) CC
Resolução
É interessante representarmos graficamente os conjuntos, pois apesar de isso não ser imprescindível, 
a representação gráfica ajuda a enxergar o relacionamento entre os conjuntos.
42
Unidade I
Considerando que os conjuntos fazem parte do mesmo universo U, temos o diagrama de Venn-Euler 
ilustrado a seguir, que mostra o relacionamento entre os conjuntos e a lista de elementos.
3
7
1
6
10
25
9
4
8
U C
BA
Figura 10 – Conjuntos A, B e C
Repare que os conjuntos foram desenhados de forma sobreposta, considerando as interseções 
entre eles. Os elementos foram distribuídos de maneira a ocupar a região adequada. O elemento 9, 
que pertente a A, B e C, foi posicionado na área central. O elemento 1, que pertence a A e a B, 
mas não pertence a C, foi posicionado na área de interseção entre A e B, mas fora da região central. 
Os elementos 3 e 7, que pertencem somente ao conjunto A, foram posicionados na área exclusiva de A. 
O mesmo raciocínio foi adotado para os outros elementos. Agora, vamos à resolução dos itens.
A) A ∪	B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
Consideramos todos os elementos de A, assim como todos os elementos de B.
B) A ∩	B = {1, 9}
Pegamos apenas os elementos comuns entre A e B.
C) A ∪ B ∪	C = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Consideramos todos os elementos de A, todos os elementos de B e também todos os elementos de C. 
Nesse contexto, isso corresponde ao próprio conjunto universo.
D) A ∩	B ∩ C = {9}
Temos um conjunto unitário que contém o elemento que pertence tanto a A quanto a B e C.
E) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 9}
43
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Aqui, podemos resolver a expressão por partes:
A ∩	B = {1, 9}
B ∩ C = {2, 9}
{1, 9} ∪ {2, 9} = {1, 2, 9}
F) A – B = {3, 5, 7}
Primeiramente, consideramos todos os elementos de A. Depois, descartamos aqueles que também 
pertencem a B.
G) B – C = {1, 6, 10}
Primeiramente, consideramos todos os elementos de B. Depois, descartamos aqueles que também 
pertencem a C.
H) (A – B) ∪ (B – C) = {1, 3, 5, 6, 7, 10}
A resolução por partes fica:
A – B = {3, 5, 7}
B – C = {1, 6, 10}
{3, 5, 7} ∪ {1, 6, 10} = {1, 3, 5, 6, 7, 10}
I) AC = U – A = {2, 4, 6, 8, 10}
Nesse caso, primeiramente, consideramos todo o universo. Depois, descartamos os elementos que 
pertencem a A. Essa operação equivale a U – A.
J) CC = U – C = {1, 3, 6, 7, 10}
Primeiramente, consideramos todo o universo. Depois, descartamos os elementos que pertencem a C. 
Essa operação equivale a U – C.
Exemplo 11. Sobre as operações entre conjuntos, classifique cada afirmativa a seguir como 
verdadeira ou como falsa.
I – Se o conjunto A tem 5 elementos e o conjunto B tem 4 elementos, a interseção entre A e B terá 
necessariamente 4 elementos.
44
Unidade I
II – Se o conjunto A tem 5 elementos e o conjunto B tem 4 elementos, a união entre A e B terá 
necessariamente 9 elementos.
III – Sabe-se que A ∩	B = ∅. Nesse caso, se o conjunto A tem 7 elementos e o conjunto B tem 
11 elementos, a união entre A e B terá necessariamente 18 elementos.
IV – Sabe-se que A é subconjunto do universo U. Se U = ∅, então A = ∅.
Resolução
I – Afirmativa falsa.
Justificativa: não conhecemos os elementos de A e de B para afirmar algo sobre a quantidade de 
elementos que são comuns entre eles.
II – Afirmativa falsa.
Justificativa: não conhecemos os elementos de A e de B. Se houver qualquer elemento comum entre 
eles, a união entre esses conjuntos terá menos de 9 elementos. Por exemplo, se B ⊂	A, A ∪ B = A, ou 
seja, a união terá apenas 5 elementos.
III – Afirmativa verdadeira.
Justificativa: apesar de desconhecermos os elementos dos conjuntos, sabemos que não existem 
elementos em comum entre A e B, pois A ∩ B = ∅. Nesse caso, a união entre eles terá 18 elementos 
(resultado da soma de 7 elementos de A e de 11 elementos de B).
IV – Afirmativa verdadeira.
Justificativa: se um universo é um conjunto vazio, qualquer subconjunto seu também será um 
conjunto vazio.
Exemplo 12. Uma plataforma de streaming de filmes e séries classifica seus títulos de acordo com 
categorias. Considere que o conjunto D reúne os filmes de drama da plataforma e que o conjunto M 
reúne os títulos com a atriz Meryl Streep. Escreva uma operação entre esses conjuntos que reúna todos 
os filmes dramáticos com a atriz disponíveis na plataforma.
Resolução
Para reunirmos os filmes dramáticos com Meryl Streep, precisamos de títulos que pertençam ao 
conjunto D e que também pertençam ao conjunto M. Logo, esses títulos devem pertencer à interseção 
entre esses dois conjuntos, ou seja, D ∩ M.
45
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
 Lembrete
No caso dos conjuntos, a ordem dos elementos que pertencem a eles 
não tem importância. O mesmo ocorre se os elementos se repetirem. 
A repetição é totalmente irrelevante, pois cada elemento é considerado 
somente uma vez.
2.6 Conjuntos numéricos
Passaremos agora a descrever os principais conjuntos numéricos existentes. No nosso sistema decimal 
de numeração, utilizamos apenas 10 algarismos, que vão de 0 a 9, para representar quantidades. Quando 
combinamos algarismos entre si, formamos numerais, que representam qualquer número (quantidade) 
que desejarmos representar. Esses números podem ser classificados por tipo e divididos em conjuntos. 
A matemática chama-os de conjuntos numéricos. Podemos pensar que esses conjuntos identificam o 
nível de complexidade dos números em questão. Veremos os principais conjuntos numéricos adotados, 
começando pelos mais simples.
2.6.1 Conjunto dos números naturais (N)
Começaremos com o conjunto dos números mais simples e intuitivos de todos. O conjunto dos 
números naturais é constituído por todos os números inteiros não negativos, incluindo o zero. Desse 
modo, temos um conjunto começando em zero e se estendendo infinitamente:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
O conjunto dos números naturais apresenta um subconjunto de destaque. Para conjuntos numéricos, 
ficou convencionado que a inclusão de um asteriscopróximo ao símbolo de representação do conjunto 
significa a exclusão do zero. Dessa forma, temos:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,6 , ...} (conjunto dos números naturais não nulos)
2.6.2 Conjunto dos números inteiros (Z)
Os números inteiros, que englobam também os naturais, são todos aqueles que podem ser 
representados sem casas decimais ou frações. Pense nos números naturais, mas inclua também os 
números negativos. Temos, nesse caso, um conjunto que se estende infinitamente nos dois sentidos 
da contagem:
Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
O conjunto dos números inteiros apresenta alguns subconjuntos de destaque. Além do asterisco, 
que indica supressão do zero, podemos utilizar mais símbolos. A inclusão do sinal + próximo ao símbolo 
46
Unidade I
de representação do conjunto significa a exclusão de todos os números negativos. Já o sinal “–” (menos) 
significa a exclusão de todos os números positivos. Dessa forma, podemos ter os conjuntos mostrados 
a seguir.
•	 Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} (conjunto dos números inteiros não nulos)
•	 Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} (conjunto dos números inteiros não negativos)
•	 Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} (conjunto dos números inteiros não positivos)
•	 Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} (conjunto dos números inteiros não nulos e não negativos)
•	 Z*- = {..., -4, -3, -2, -1} (conjunto dos números inteiros não nulos e não positivos)
2.6.3 Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais engloba os dois conjuntos tratados anteriormente. Podemos 
definir o conjunto dos números racionais como aquele que tem os números que podem ser expressos na 
forma de fração entre inteiros. Nesse caso, há a seguinte propriedade:
*ax| x , a e b
b
 = = ∈ ∈ 
 
  
Vemos que b fica restrito a números inteiros não nulos, pois não podemos atribuir 0 ao denominador 
de uma fração e, ainda assim, mantê-la dentro do conjunto dos números racionais. Os mesmos símbolos 
*, + e – podem ser associados ao símbolo Q, formando subconjuntos.
Vejamos alguns exemplos de número racionais, que incluem números decimais e dízimas periódicas:
• 3
5
 , que é uma fração entre inteiros
• 7
2
− , que é uma fração entre inteiros
• 0,71, que pode ser escrito como 71
100
• −0,3, que pode ser escrito como 3
10
−
• 5, que pode ser escrito como 5
1
47
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
• 2,7, que pode ser escrito como 27
10
• 0,4444…, que pode ser escrito como 4
9
• 0,121212…, que pode ser escrito como 12
99
2.6.4 Conjunto dos números irracionais (I)
Outro conjunto importante é aquele que representa os números decimais com dízimas não periódicas, 
ou seja, que apresentam infinitas casas decimais e não periódicas. Esse conjunto é chamado de irracional. 
Vejamos, a seguir, alguns exemplos de número irracionais.
•	 π = 3,141592653… A constante π resulta da divisão do comprimento de uma circunferência por 
seu diâmetro. Note que as casas decimais são infinitas e não periódicas, e não podemos expressar 
π como uma fração entre inteiros.
•	 e = 2,71828182… Esse número é conhecido como constante de Euler, muito utilizado em funções 
exponenciais e logarítmicas.
• 2 1,414221356...=
• 5 2,23606797...=
2.6.5 Conjunto dos números reais (R)
O conjunto dos números reais engloba todos os números racionais e irracionais, positivos ou 
negativos, finitos ou infinitos. Portanto, R representa a união entre os conjuntos dos números racionais 
e irracionais. Ele engloba, desse modo, todos os conjuntos numéricos vistos anteriormente. Podemos 
defini-lo dessa forma:
R = {x | x ∈ Q ou x ∈ I}
Tal conjunto parece englobar todos os números existentes, correto? Só que não é bem assim. Há 
números que estão fora do conjunto dos números reais, que são os números que apresentam parte 
imaginária. Eles fazem parte de um conjunto ainda maior, denominado conjuntos dos números complexos. 
Este contém o conjunto dos números reais. Porém, não vamos abordá-lo, pois não utilizaremos números 
imaginários no conteúdo deste livro-texto.
É importante ressaltar que os mesmos símbolos já apresentados anteriormente, *, + e −, podem ser 
associados ao símbolo R, formando subconjuntos.
48
Unidade I
O relacionamento existente entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais 
e reais é mostrado na figura seguinte. Note as relações de inclusão existentes entre esses conjuntos. No 
estudo de funções, conjuntos numéricos serão abordados com certa frequência.
Inteiros
Naturais
Racionais
47,3
0,3
π
-27
-7
-432
432
9870
8
Irracionais
Números reais
8
2391
−
11
2
13
7
55
2
Figura 11 – Representações de exemplos de números reais
 Observação
Ao declararmos uma variável numérica em uma linguagem de 
programação, como a linguagem C, o tipo da variável deve ser definido. 
Ao selecionar um tipo, o conteúdo dessa variável fica restrito a um número 
finito de elementos de um conjunto numérico. Veja os exemplos a seguir, 
que representam declarações, em C, das variáveis x, y e z.
•	 unsigned int x; (x ∈ N)
•	 int y; (y ∈ Z)
•	 float z; (z ∈ R)
Conjuntos numéricos, na teoria matemática, podem ser infinitos. Porém, 
quando aplicamos seus conceitos a sistemas computacionais, estaremos 
lidando com recursos finitos. No nosso exemplo, a memória reservada a 
cada variável tem uma quantidade limitada. O tipo de dado determina a 
quantidade de memória que deve ser reservada para a variável em questão 
e, portanto, recomenda-se utilizar o menor conjunto numérico possível 
que atenda às necessidades da variável.
49
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Caso você ainda não tenha aprendido qualquer conteúdo sobre 
linguagens de programação a essa altura de seu curso, não se preocupe, 
trata-se apenas de um exemplo, em que relacionamos a teoria de conjuntos 
a uma linguagem de programação.
2.7 Número de elementos de conjuntos
Em diversos contextos, principalmente nos relacionados ao campo da estatística, estamos mais 
interessados no número de elementos das regiões de conjuntos do que na listagem desses elementos. Se 
considerarmos os conjuntos A e B do mesmo universo U, denotaremos por n o número de elementos 
de dado conjunto. Assim, temos o que segue.
•	 n(A) = número de elementos do conjunto A.
•	 n(B) = número de elementos do conjunto B.
•	 n(U) = número de elementos do universo.
•	 n(A ∪ B) = número de elementos da união entre os conjuntos A e B.
•	 n(A ∩ B) = número de elementos da interseção entre A e B.
•	 n(A) – n(A ∩	B) = número de elementos exclusivos do conjunto A.
•	 n(B) – n(A ∩	B) = número de elementos exclusivos do conjunto B.
•	 n((A ∪ B)C) = número de elementos do complementar da união entre A e B. Na prática, consideramos 
aqui os elementos que pertencem ao universo, mas não pertencem nem a A nem a B.
Veja a figura seguinte.
A B
U
A ∪ B
A B
U
(A ∪ B)C
Figura 12 – Complementar da união entre os conjuntos A e B
50
Unidade I
Vamos acompanhar o exemplo a seguir para entender melhor a aplicabilidade da contagem 
de elementos.
Exemplo 13. Em uma empresa de tecnologia, 18 funcionários dominam a linguagem de programação 
Python e 27 dominam a linguagem Java, sendo que 10 deles dominam ambas as linguagens. Sabe-se, 
também, que há 15 funcionários que trabalham em outras áreas e que não conhecem linguagens de 
programação. Quantos funcionários trabalham nessa empresa?
Resolução
Se você está com vontade de fazer 18 + 27 + 10 + 15 = 70 e passar para o próximo assunto do livro-texto, 
tenha calma. Vamos definir alguns conjuntos que fazem parte desse contexto, mostrados a seguir.
P = conjunto de funcionários que dominam Python.
J = conjunto de funcionários que dominam Java.
E = conjunto de funcionários da empresa.
O enunciado diz que 18 pessoas da empresa dominam Python e que 27 pessoas dominam Java, mas 
existe uma interseção entre elas: 10 pessoas dominam ambas as linguagens. Essas 10 pessoas, portanto, 
pertencem tanto a P quanto a J, ou seja, pertencem a P ∩ J. Para sabermos o número de pessoas que 
dominam exclusivamente