ESTO013-17__01_2022_3Q_Engenharia_Econmica_-_Introduo

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1
Horário das Aulas
Prof. Dr. Jorge Tomioka (jorge.tomioka@ufabc.edu.br)
Matutino Noturno
Quarta-feira (08:00h - 10:00 h)
S-302-1
CECS
Quarta-feira (21:00 – 23:00)
S - 311-1
CECS
Sexta-feira (10:00 h - 12:00 h)
S-302-3
CCNH
Sexta-feira (19:00 – 21:00)
S-311-3
CCNH
2
OBJETIVOS
Apresentar os conceitos de engenharia econômica e, sua
utilização para avaliação de projetos de investimentos.
Preparar o estudante para uma visão geral dos aspectos
relacionados à taxa de juros, equivalência entre fluxos em
momentos distintos, avaliação de empréstimos e elaboração
de fluxo de caixa. Indicadores de desempenho de projetos
como VPL, TIR e Pay-back.
3
EMENTA
• Conceitos de Engenharia Econômica;
• Elementos de matemática financeira aplicados em engenharia econômica: juros,
taxas de juros, diagrama do fluxo de caixa, juros simples, juros compostos.
• Valor Presente e Valor Futuro de Fluxos de Caixa: Série Uniforme, Série Não
Uniforme, Série Gradiente, Série Perpétua.
• Métodos de Avaliação de Projetos de Investimentos: conceito de Taxa Mínima de
Atratividade, Classificação de Projetos, Valor Residual, Vidas Úteis dos Projetos,
Fluxo de Caixa de Projetos.
4
EMENTA
• Métodos de Avaliação de Projetos de Investimentos: Pay-back; Pay-back
Descontado; Valor Presente Líquido (VPL), Índice de Lucratividade (IL); Taxa Interna
de Retorno (TIR); Taxa Interna de Retorno Modificada (MTIR).
• Depreciação: conceitos - depreciação real e depreciação contábil. Métodos de
cálculo de depreciação (linear, soma dos dígitos, taxa constante, quantidade
produzida).
5
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
• ABENSUR, E. O. Finanças corporativas: fundamentos, práticas brasileiras e
aplicações em planilha eletrônica e calculadora financeira. São Paulo: Scortecci,
2009. ISBN: 9788536615448
• BLANK, L.; TARQUIN, A. Engenharia econômica. São Paulo: McGraw-Hill, 2008.
• HIRSCHFELD, H. Engenharia econômica e análise de custos. São Paulo: Atlas, 2009.
ISBN: 9788522426621
6
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
MOTTA, R. et al. Engenharia econômica e finanças. Rio de
Janeiro: Campus, 2009.
BRIGHAM, E. F.; GAPENSKI, L. C.; EHRHARDT, M. C.
Administração financeira: teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2008.
1113 p. ISBN 9788522428045.
GONÇALVES, A. et al. Engenharia econômica e finanças. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2009. ISBN 9788535232103.
7
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
BRUNSTEIN, I. Economia de empresas. São Paulo: Atlas, 2005.
ISBN: 8522441596
KUPPER, D.; HASENCLEVER, L. Economia industrial. Rio de
Janeiro: Campus, 2002.
8
Para consultas sobre conceitos de juros, dinheiro e investimento.
Leitura complementar
https://www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira
http://www.caixa.gov.br/educacao-financeira/Paginas/default.aspx
9
Origem da Engenharia Econômica
https://ia802305.us.archive.org/20/items/economictheoryof00well/economictheoryof00well_bw.pdf
10
Dicas para matemática financeira
11
Recomendação
12
Requisitos recomendados em matemática
- Funções de Uma Variável;
- Funções de Várias Variáveis;
- Cálculo Numérico.
13
14
Curso Quadrimestre
Engenharia de Instrumentação, Automação e Robótica 5
Engenharia Biomédica 6
Engenharia Aeroespacial 7
Engenharia Ambiental e Urbana 7
Engenharia de Gestão 7
Engenharia de Energia 8
Engenharia de Informação 8
Engenharia de Materiais 8
Quadrimestre Ideal
15
Ano de ingresso
16
Requisitos recomendados em computação
Fortemente recomendado:
- Uso de calculadora científica (Mais simples, pode ser usado app no celular);
- PYTHON (Linguagem de programação de alto nível);
- GitHub (Banco de códigos fontes em várias linguagens de programação);
- https://colab.research.google.com (Plataforma da Google, permite que rode
scripts da linguagem PYTHON na nuvem);
- Octave – (Linguagem computacional voltada para cálculo numérico);
- Scilab – (Linguagem computacional voltada para cálculo numérico);
17
Requisitos recomendados em computação
Com ressalvas:
- MS Office – Excel;
- Google Docs - Planilha;
- Open Office – Calc;
Planilhas prontas não mostram claramente como foram modeladas as equações.
Muitos modelos matemáticos são os mais simples. Porém útil para tarefas simples
podendo ser implementados com conhecimento profundo em programação.
18
Forte recomendação
Google Colab permite escrever e executar linguagem Python no navegador:
• Ter uma conta no Google;
• Nenhuma configuração é necessária;
• Pacotes pré-instalados e podem ser personalizados;
• Acesso gratuito em algumas especificações de hardware;
• Compartilhamento fácil
https://colab.research.google.com
https://www.youtube.com/watch?v=7jCbAGiWqv4ch.google.com
19
Existem várias plataformas online:
Vantagens:
• Não é necessário instalar programa no computador ou no celular;
• Não requer hardware específico;
• Existem redes sociais para discussão;
• Podem ser “upgrades” mediante ao pagamento;
• Atualização automática.
Desvantagens:
• Necessita de conexão Internet;
• Versões gratuitas tem recursos limitados;
• Pacotes específicos não são gratuitos.;
• Excesso de acessos simultâneos ao servidor.
20
21
22
Calendário
23
Calendário
24
Avaliação
1. Duas atividades com respectivas substitutivas e uma atividade de
recuperação.
2. 
Aula 12 semanas incluindo provas.
=
2 × 𝑷1 + 4 × 𝑷2
6
× 0,80 + 𝑇𝐹 × 0,20
ou
𝑁𝐸𝑅 × 0,80 + 𝑇𝐹 × 0,20
𝑁𝐹 ≅ Nota final
𝑃1 ≅ Nota da atividade 1
𝑃2 ≅ Nota da atividade 2
𝑇𝐹 ≅ Nota final das tarefas 
(Média aritmética)
𝑁𝐸𝑅 ≅ Exame de Recuperação
25
Datas Importantes 
Prova P1 – 04/11/2022
Prova P2 – 09/12/2022
Substitutiva da Prova P1 – 12/12/2022
Substitutiva da Prova P2 – 13/12/2022
Exame de Recuperação – 15/12/2022
26
CONCEITOS
9,0 ≤ A ≤ 10,0
8,0 ≤ B < 9,0
6,5 ≤ C < 8,0
5,0 ≤ D < 6,5
0,0 ≤ F < 5,0
Reprovação por falta: mais de 6 dias (cada aula com 2 aulas), 
frequência mínima 75%. 
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Conceito de Juro
Evidentemente, nenhuma pessoa que apresente uma razoável dose de bom senso
deixaria este dinheiro guardado no cofre de sua casa, por existirem, no sistema
econômico em que vivemos, inúmeras formas de aplicação deste capital. Estariam
disponíveis alternativas tais como: aplicação em caderneta de poupança, compra de
ações ou, talvez, aquisição de um apartamento para venda posterior. Claramente,
qualquer que seja a opção, estar-se-á assumindo uma expectativa de ganho futuro,
aliada a uma certa probabilidade de falha inerente ao empreendimento, que poderá
resultar em ganhos aquém do esperado e até mesmo em prejuízo.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Claramente, qualquer que seja a opção, estar-se-á assumindo uma expectativa de ganho
futuro, aliada a uma certa probabilidade de falha inerente ao empreendimento, que
poderá resultar em ganhos aquém do esperado e até mesmo em prejuízo. Suponhamos
que tenha optado pela alternativa de investir seu capital na aquisição de um apartamento
em estágio de construção, para vendê-lo quando concluído, por considerar que, além do
lucro satisfatório que lhe será proporcionado, as chances de ocorrência de um resultado
desfavorável são reduzidas. Caso o esteja interessado em tomar emprestado um certo
valor, para aplicá-los num negócio particular, evidentemente terá de compensá-lo,
remunerando o seu capital de forma a cobrir o ganho que este estaria deixando de
auferir na transação do apartamento e, eventualmente, oferecendo uma quota de
rendimentos extras que assegurem o seu interesse em assumir uma chance adicional de
insucesso, associada a esta oportunidade de investimento. O valor total a ser pago como
remuneração do capital é denominado juro.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Em outras palavras, o juro pode ser entendido como a remuneração do capital pelo
seu uso alternativo. Uma parcela desta remuneração representa o quanto se deixou
de ganhar pela não utilização deste capital em outras oportunidades de investimento.
A outra parcela é correspondentea uma compensação pelo risco do
empreendimento. Genericamente, todas as formas de remuneração de capital, sejam
elas lucros, dividendos, ou quaisquer outras, podem ser consideradas como um juro.
Na prática, o juro é expresso mediante uma taxa em relação a períodos de tempo,
sob a forma unitária ou percentual, simbolicamente representada pela letra i. A taxa
diz-se unitária quando referida a uma unidade de capital, e percentual quando
referida a cem unidades. Assim, 0,12 é a expressão de uma taxa unitária,
significando que para cada unidade de capital são pagos doze centésimos de unidade
de juros. Por outro lado, 12/100, comumente representado por 12%, expressa a
mesma taxa na base percentual, significando que cada cem unidades de capital
rendem doze unidades de juros.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Regimes de Capitalização
O processo de formação de juros, denominado regime de capitalização, pode ocorrer a
juros simples ou a juros compostos. No regime de capitalização a juros simples,
somente o capital inicial, geralmente chamado de principal, rende juros. Quando se
opera em regime de capitalização a juros compostos, os juros formados a cada período
são incorporados ao principal, passando também a produzir juros. Nos meios
econômicos o emprego de juros simples é pouco frequente. O reinvestimento dos juros
é prática usual e a sua consideração na feitura de estudos econômicos deve ser levada
em conta até mesmo por uma questão de realismo. Assim, todo o desenvolvimento do
presente texto ocorrerá consoante os princípios de capitalização a juros compostos.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Conceito de Valor do Dinheiro no Tempo
Outro conceito importante que deve estar sempre presente nas considerações de um
estudo econômico é o de valor do dinheiro no tempo. A título de ilustração,
suponhamos que um determinado cidadão, disposto a investir suas economias,
encontra-se diante de duas alternativas, devendo decidir-se por uma delas. A
primeira representa uma expectativa de lucro de R$ 1.000,00 no final do ano; a
segunda promete também R$ 1.000,00, porém após dois anos. Obviamente, a opção
deverá recair sobre a primeira alternativa, pois os R$ 1.000,00 recebidos daqui há
um ano poderiam ser investidos, transformando-se ao final do segundo ano no valor
original mais os juros ganhos durante o período de aplicação.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Esta descrição demonstra que uma certa quantia em diferentes instantes de
tempo apresenta diferentes valores, o que significa dizer, em outras palavras,
que existe uma variação do valor do dinheiro no tempo, decorrente da
necessidade de serem computados os juros que podem ser ganhos quando o
dinheiro é recebido antecipadamente, em relação à outra data.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Taxa de Juros Variáveis com o Tempo: Juros Simples
Considerando que as taxas de juros não sejam constantes ao longo do período de
aplicação, ou seja varia com o tempo. Para regime de juros simples diferentes em
cada instante k, em uma principal P, resulta em montante M:
𝑀1 = 𝑖1 × 𝑃 + 𝑃 = 𝑃 × 1 + 𝑖1
𝑀2 = 𝑀1 + 𝑖2 × 𝑃 = 𝑃 +× 𝑃 + 𝑖2 × 𝑃 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2
𝑀3 = 𝑀2 + 𝑖3 × 𝑃 = 𝑃 + 𝑖1 × 𝑃 + 𝑖2 × 𝑃 + 𝑖3 × 𝑃
𝑀3 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Por indução, tem-se:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
Para o caso onde as taxas de juros são constantes, ou seja, 𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖3= … =
𝑖𝑖−2 = 𝑖𝑛−1 𝑖𝑛 = 𝑖, tem-se:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑖 + 𝑖 + 𝑖 +⋯+ 𝑖 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
No entanto é necessário calcular a taxa de juros efetiva. Portanto é necessário usar
a expressão a seguir:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖
Transformando i em 𝑖𝑒 , tem-se:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖𝑒
.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Portanto, a taxa de juros simples efetiva pode ser expressa por:
𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖𝑒 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
𝑖𝑒 ൘= ෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘 𝑛 =
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛
𝑛
Ou seja, uma média aritmética.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Supondo que as taxas de juros sejam diferentes no período:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
E como o valor equivalente da taxa de juros é expressa por:
𝑖𝑒 ൘= ෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘 𝑛 =
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛
𝑛
Portanto, tem-se:
𝑀𝑛 = 𝑃 × 1 + 𝑖𝑒
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
3210 n-2 n - 1 n
P1
i1
M (1) Final
M (2) Final
M (3) Final
M (n-2) Final
M (n-1) Final
M (n) Final
P2
P3
Pn-2
Pn-1
Pn
i2 i3 in-2 in-1 in
Cálculo de montante final generalizado para juros simples
Supondo que cada instante tem valores diferentes de principal P e de índices da
taxa de juros i, conforme a figura:
Pretende-se calcular o valor do montante final.
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Dado um conjunto de valores diferentes aplicados respectivamente diferentes no
período. Neste caso, um conjunto de valores de principal {P1 , P2 , P3 , ... Pn-2 , Pn-1 , Pn}
e o conjunto de taxas de juros {i1 , i2 , i3 , ... in-2 , in-1 , in}.
É necessário que se calcule para cada aplicação ao longo do período. Para P1 , o seu
montante final M1 Final:
𝑀 1 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃1 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
𝑀 1 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃1 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Para P2 , o seu montante final M2 Final:
𝑀(2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃2 × 1 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
𝑀 2 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃2 × 1 +෍
𝑘=2
𝑛
𝑖𝑘
Para P3 , o seu montante final M3 Final:
𝑀(3) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃3 × 1 + 𝑖3 + 𝑖4 . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
𝑀 3 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃3 × 1 +෍
𝑘=2
𝑛
𝑖𝑘
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Sucessivamente para os 3 últimos termos:
Para Pn-2 , o seu montante final Mn-2 Final:
𝑀(𝑛−2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑛−2 × 1 + 𝑖𝑛−2 + 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
𝑀 𝑛−2 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑛−2 × 1 + ෍
𝑘=𝑛−2
𝑛
𝑖𝑘
Para Pn-1 , o seu montante final Mn-1 Final:
𝑀(𝑛−1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑛−1 × 1 + 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
𝑀 𝑛−1 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑛−2 × 1 + ෍
𝑘=𝑛−1
𝑛
𝑖𝑘
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Finalmente para Pn , o seu montante final Mn Final:
𝑀(𝑛) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃𝑛 × 1 + 𝑖𝑛
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal P, obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑀(2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(3) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + . . .
+ 𝑀(𝑛−2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(𝑛−1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Finalmente tem-se a expressão geral do montante final:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃𝑘 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal P,
obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑀(2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(3) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + . . .
+ 𝑀(𝑛−2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(𝑛−1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Finalmente tem-se a expressão geral do montante final:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃𝑘 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Prova da fórmula para cálculo de montante final generalizado para juros simples
Prova 1: Neste caso, um conjunto de valores {P1 , P2 , P3 , ... Pn-2 , Pn-1 , Pn}sendo
principal P igual para todo período ou Pk =P e o conjunto de taxas de juros {i1 , i2 , i3 ,
... in-2 , in-1 , in}.
É necessário que se calcule para cada aplicação ao longo do período. Para k=1 o
seu montante final M1 Final:
𝑀 1 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Para k=2, o seu montante final M2 Final:
𝑀(2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Conceitos financeiros essenciais à EngenhariaEconômica
Para k=3, o seu montante final M3 Final:
𝑀(3) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖3 + 𝑖4 + 𝑖5+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Sucessivamente para os 3 últimos termos:
Para Pn-2 , o seu montante final Mn-2 Final:
𝑀(𝑛−2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖𝑛−2 + 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Para Pn-1 , o seu montante final Mn-1 Final:
𝑀(𝑛−1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Finalmente para Pn , o seu montante final Mn Final:
𝑀(𝑛) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖𝑛
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal P,
obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑀(2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(3) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 + . . .
+ 𝑀(𝑛−2) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(𝑛−1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 +𝑀(1) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Finalmente tem-se a expressão geral do montante final:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Prova 2: Neste caso, somente com principal P e o conjunto de taxas de juros {i1 , i2 , i3 ,
... in-2 , in-1 , in}.
Neste caso somente com k=1 o seu montante final M1 Final:
𝑀 1 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Para qualquer valor de 𝑘 ≥ 2, o seu montante final Mk Final:
𝑀(𝑘) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0 × 1 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛 = 0
Por indução, tem-se:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Prova 3: Neste caso, somente com principal P e o conjunto de taxas de juros {i1 , i2 , i3 , ...
in-2 , in-1 , in}.
Para o caso onde as taxas de juros são constantes, ou seja, 𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖3= … = 𝑖𝑖−2 =
𝑖𝑛−1 𝑖𝑛 = 𝑖.
Sendo apenas k=1 o seu montante final M1 Final:
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛
Onde:
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3+ . . . + 𝑖𝑛−2+ 𝑖𝑛−1 + 𝑖𝑛 = 𝑛 × 𝑖
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Descrição Fórmula
Um conjunto de valores de principal
P diferentes para todo período e o
conjunto de taxas de juros i
diferentes.
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃𝑘 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Um conjunto de valores P igual para
todo período ou 𝑃𝑘 = 𝑃 e o conjunto
de taxas de juros i diferentes.
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Somente com principal P e o
conjunto de taxas de juros diferentes.
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
Para principal P no início da
aplicação e taxas de juros i
constantes.
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖
Quadro de resumo de fórmulas para juros simples
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Juros Simples
Período
Juros no Período Juros no 
Período 
(R$)
Montante 
no Período 
(R$)
% Decimal
0 100,00
1 10,00 0,1000 10,0000 110,00
2 10,00 0,1000 10,0000 120,00
3 10,00 0,1000 10,0000 130,00
4 10,00 0,1000 10,0000 140,00
5 10,00 0,1000 10,0000 150,00
6 10,00 0,1000 10,0000 160,00
Juros (R$) 60,0000
Exemplo 1 Calcular montante final de uma aplicação sob regime de juros simples. Onde
se aplicou R$ 100,00 a uma taxa fixa de 10% ao período.
Solução:
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 + 𝑛 × 𝑖
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100,00 × 1 + 6 × 0,10
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100,00 × 1 + 6 × 1,60
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 160,00
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Exemplo 2 Calcular montante final de uma aplicação sob regime de juros simples. Onde
se aplicou R$ 100,00 a um conjunto de taxas de juros variáveis ao longo do período.
Solução:
Juros Simples
Período
Taxa
Juros no 
Período 
(R$)
Montante 
no 
Período 
(R$)% Decimal
0 100,00
1 1,00 0,01000 1,0000 101,00
2 1,50 0,01500 1,5000 102,50
3 2,00 0,02000 2,0000 104,50
4 0,80 0,00800 0,8000 105,30
5 2,50 0,02500 2,5000 107,80
6 1,20 0,01200 1,2000 109,00
7 1,60 0,01600 1,6000 110,60
8 1,25 0,01250 1,2500 111,85
9 1,50 0,01500 1,5000 113,35
10 2,00 0,02000 2,0000 115,35
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100,00 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 115,35
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 100,00 × 1 + 0,01535
𝑀𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑃 × 1 +෍
𝑘=1
𝑛
𝑖𝑘
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Exemplo 3 Calcular montante final de uma aplicação sob regime de juros simples conforme
tabela abaixo.
Período 1 2 3 4 5
P (R$) 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
i (%) 1,50 2,00 1,20 1,25 0,85
Solução: Usando uma das fórmulas de cálculo de montante generalizado com aplicação
constante.
Para k=1 → M1:
𝑀1 = 𝑃 × 1 + 0,0150 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,06804
𝑀1 = 100,00 × 1,06804 = 106,8040
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
𝑀2 = 𝑃 × 1 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,05304
𝑀2 = 100,00 × 1,05304 = 105,3040
Para k=2 → M2:
𝑀3 = 𝑃 × 1 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,03304
𝑀3 = 100,00 × 1,03304 = 103,3040
Para k=3 → M3:
Para k=4 → M4:
𝑀5 = 𝑃 × 1 + 0,0085
𝑀5 = 100,00 × 1,0085 = 100,8500
Para k=5 → M5:
𝑀4 = 𝑃 × 1 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,02104
𝑀4 = 100,00 × 1,02104 = 102,1040
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal P,
obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1 + 𝑀3 +𝑀3 + 𝑀4 +𝑀5
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 518,3660
Valor Σ M k Final
(R$) (%) Decimal (%) (R$)
1 100,00 1,50 0,0150 6,8040 106,8040
2 100,00 2,00 0,0200 5,3040 105,3040
3 100,00 1,20 0,0120 3,3040 103,3040
4 100,00 1,25 0,0125 2,1040 102,1040
5 100,00 0,85 0,0085 0,8500 100,8500
Juros Simples
k
Taxa
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
5
𝑃 × 1 +෍
𝑗=𝑘
5
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Exemplo 4 Calcular montante final de uma aplicação sob regime de juros simples conforme
tabela abaixo.
Solução: Usando uma das fórmulas de cálculo de montante generalizado com aplicação
constante.
Para k=1 → M1:
𝑀1 = 𝑃1 × 1 + 0,0150 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃1 × 1 + 0,06804
𝑀1 = 100,00 × 1,06804 = 106,8040
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃𝐾 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Período 1 2 3 4 5
P (R$) 100,00 80,00 110,00 120,00 115,00
i (%) 1,50 2,00 1,20 1,25 0,85
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
𝑀2 = 𝑃 × 1 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,05304
𝑀2 = 100,00 × 1,05304 = 105,3040
Para k=2 → M2:
𝑀3 = 𝑃 × 1 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,03304
𝑀3 = 100,00 × 1,03304 = 103,3040
Para k=3 → M3:
Para k=4 → M4:
𝑀5 = 𝑃 × 1 + 0,0085
𝑀5 = 100,00 × 1,0085 = 100,8500
Para k=5 → M5:
𝑀4 = 𝑃 × 1 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃 × 1 + 0,02104
𝑀4 = 100,00 × 1,02104 = 102,1040
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal P,
obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1 + 𝑀3 +𝑀3 + 𝑀4 +𝑀5
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 518,3660
Valor Σ M k Final
(R$) (%) Decimal (%) (R$)
1 100,00 1,50 0,0150 6,8040 106,8040
2 100,00 2,00 0,0200 5,3040 105,3040
3 100,00 1,20 0,0120 3,3040 103,3040
4 100,00 1,25 0,0125 2,1040 102,1040
5 100,00 0,85 0,0085 0,8500 100,8500
Juros Simples
k
Taxa
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
5
𝑃 × 1 +෍
𝑗=𝑘
5
𝑖𝑗
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Exemplo 4 Calcular montante final de uma aplicação sob regime de juros simples conforme
tabela abaixo.
Solução: Usando uma das fórmulas de cálculo de montante generalizado com aplicação
constante.
Para k=1 → M1:
𝑀1 = 𝑃1 × 1 + 0,0150 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃1 × 1 + 0,06804
𝑀1 = 100,00 × 1,06804 = 106,8040
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
𝑛
𝑃𝑘 × 1 +෍
𝑗=𝑘
𝑛
𝑖𝑗
Período 1 2 3 4 5
P (R$) 100,00 80,00 110,00 120,00 115,00
i (%) 1,50 2,00 1,20 1,25 0,85
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
𝑀2 = 𝑃2 × 1 + 0,0200 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃2 × 1 + 0,05304
𝑀2 = 80,00 × 1,05304 = 84,2432
Para k=2 → M2:
𝑀3 = 𝑃3 × 1 + 0,0120 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃3 × 1 + 0,03304
𝑀3 = 110,00 × 1,03304 = 113,6344
Para k=3 → M3:
Para k=4 → M4:
𝑀5 = 𝑃5 × 1 + 0,0085
𝑀5 = 115,00 × 1,0085 = 115,9775
Para k=5 → M5:
𝑀4 = 𝑃4 × 1 + 0,0125 + 0,0085 = 𝑃4× 1 + 0,02104
𝑀4 = 120,00 × 1,02104 = 12
Conceitos financeiros essenciais à Engenharia Econômica
Fazendo a soma de todas as expressões de montante para cada principal Pk,
obtém-se o MTotal:
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀1 + 𝑀3 +𝑀3 + 𝑀4 +𝑀5
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 543,1839
𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ෍
𝑘=1
5
𝑃𝑘 × 1 +෍
𝑗=𝑘
5
𝑖𝑗
Valor Σ M k Final
(R$) (%) Decimal (%) (R$)
1 100,00 1,50 0,0150 6,8040 106,8040
2 80,00 2,00 0,0200 5,3040 84,2432
3 110,00 1,20 0,0120 3,3040 113,6344
4 120,00 1,25 0,0125 2,1040 122,5248
5 115,00 0,85 0,0085 0,8500 115,9775
k
Juros Simples
Taxa