Resistencia ao Cisalhamento

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 – Para o elemento de solo mostrado na figura abaixo, 
usando o círculo de Mohr, determinar: 
a) tensão principal maior 
b) tensão principal menor 
c) tensões no plano AC 
d) direções dos planos principais 
e) máxima tensão de cisalhamento 
 
360 kPa
240 kPa
600 kPa
240 kPa
B
C
D
A
 
 
Solução gráfica: 
 
Passo 1: Marcar os pontos correspondentes às tensões 
atuantes nos planos horizontal e vertical, respectivamente. 
 
(600;240)
(360;-240)
t
s
 
 
 
Passo 2: Traçar o circulo de Mohr correspondente ao estado 
de tensões definido pelos dois pontos. 
 
(600;240)
(360;-240)
t
s
 
 
 
Passo 3: Determinar as tensões principais maior (s1) e 
menor (s3). 
 
(600;240)
(360;-240)
748.32 kPa211.67 kPa
t
s
tensão principal maiortensão principal menor
 
 
Passo 4: Determinar o pólo, traçando uma linha paralela ao 
plano onde atuam as tensões (600; 240). 
 
(600;240)
(360;-240)
748.32 kPa211.67 kPa
Polo
t
s
tensão principal maiortensão principal menor
 
 
 
Passo 5: Traçar pelo pólo uma linha paralela ao plano AC. O 
ponto onde essa linha intercepta o círculo de Mohr define as 
tensões atuantes no plano AC. 
 
(600;240)
(360;-240)
(240;120)
748.32 kPa211.67 kPa
Polo
t
s
tensão principal maiortensão principal menor
 
 
 
Passo 6: Ligar o pólo aos pontos correspondentes às tensões 
principais maior e menor, respectivamente. Essas duas linhas 
definem a direção dos planos principais. 
 
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 1 
Universidade de São 
Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Geotecnia 
Disciplina: SGS 408 – Mecânica dos Solos 2
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS GUARAPUAVA
EC75B - MECÂNICA DOS SOLOS
> Entregar 4 exercícios (desconsiderar os resolvidos)
 2
(600;240)
(360;-240)
(240;120)
748.32 kPa211.67 kPa
Polo
t
s
tensão principal maiortensão principal menor
plano principal maior
plano principal menor
 
 
 
Passo 7: Traçar uma vertical pelo centro do círculo e 
determinar o valor da tensão de cisalhamento máxima. 
 
(600;240)
(360;-240)
(240;120)
748.32 kPa211.67 kPa
Polo
t
s
tensão principal maiortensão principal menor
plano principal maior
plano principal menor
t = 268.32 kPa
max
 
 
 
2 – Para o elemento de solo submetido a um estado de 
tensões, mostrado na figura abaixo, determinar graficamente: 
a) Tensão principal maior 
b) Tensão principal menor 
c) Máxima tensão de cisalhamento 
d) Direção dos planos principais 
e) Tensão normal e tensão de cisalhamento no plano AC 
 
620 kPa
415 kPa
1030 kPa
415 kPa
B
C
D
A
E
 
Solução gráfica: 
t
362,13
1287,87
410
(1030;415)
(620;-415)
Solução analítica: 
Passo 1: Calcular as tensões principais utilizando a seguinte 
convenção de sinais e as correspondentes fórmulas: 
 
 
 
2
2
1
22
xy
xyyx
+ú
û
ù
ê
ë
é -
+
+
= 
 
kPa9,1287415
2
6201030
2
1030620 2
2
1 =+úû
ù
êë
é -
+
+
= 
 
2
2
3
22
xy
xyyx +ú
û
ù
ê
ë
é -
-
+
= 
 
kPa1,362415
2
6201030
2
1030620 2
2
3 =+úû
ù
êë
é -
-
+
= 
 
Passo 2: Com os valores calculados das tensões principais, 
calcular o valor da máxima tensão de cisalhamento: 
 
kPa9,462
2
1,3629,1287
2
31
max =
-
=
-
= 
 
Passo 3: Determinar o valor do ângulo que o plano principal 
maior faz com a horizontal, utilizando a expressão: 
 
°=Þ=
-
´
=
-
= 85,310244,2
6201030
41522
2tan
xy
xy 
 
Passo 4: Calcular as tensões normal e de cisalhamento 
atuantes no plano AC ( = 45°), utilizando as 
correspondentes fórmulas: 
 
2sin2cos
22
xy
xyxy
+
-
+
+
= 
 
kPa41090sin41590cos
2
6201030
2
6201030
=°´+°
-
+
+
=
 
2cos2sin
2
xy
xy
-
-
= 
 
kPa20590cos41590sin
2
6201030
=°´-°
-
= 
 
 
 
 
 3
3 – Os resultados de dois ensaios triaxiais CD realizados com 
uma argila saturada são os seguintes: 
Corpo de prova I: 
 s1 = 68,9 kPa 
 s1-s3 = 170,3 kPa 
 
Corpo de prova II: 
 s1 = 103,4 kPa 
 s1-s3 = 231,0 kPa 
Determinar os parâmetros de resistência ao cisalhamento.
 
Solução: 
 
Corpo de prova I: 
 s3 = s3’ = 68,9 kPa (na ruptura) 
 s1’ = s1 = 68,9 + 170,3 = 239,2 kPa 
 
Corpo de prova II: 
 s3 = s3’ = 103,4 kPa (na ruptura) 
 s1’ = s1 = 103,4 + 231,0 = 334,4 kPa 
 
s
t
14.8
27.9°
68.9 103.4 239.2 334.4
 
 
Solução analítica: 
2q
qf c
s
t
180°-2q
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
2
45tan2
2
45tan 231 c
 
 
Corpo de prova I: 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
2
45tan2
2
45tan9,682,239 2 c 
 
Corpo de prova II: 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
++÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
2
45tan2
2
45tan4,1034,334 2 c 
Resolvendo: 
f = 27,9o c = 14,8 kPa 
 
 
 
4 – Sobre um material cuja resistência ao cisalhamento em 
termos de tensões efetivas era s = s’ tan 27o (kPa), foi 
realizado um ensaio CU (adensado-rápido; consolidado não 
drenado) com s3 = 200kPa. Neste ensaio, a ruptura ocorreu 
com s1 = 420 kPa. Determinar a pressão neutra no corpo de 
prova: 
a) no início do carregamento axial 
b) no momento da ruptura 
Solução gráfica: 
200
Ø'=27°
t
420
67.7
s
Solução analítica: 
s3 = 200kPa; s1 = 420 kPa 
axial)tocarregamendoinício(no0
ruptura)damomentono(7,673,132200'
3,352'
3,132'
220''663,2
220200420''
'663,2
2
27
45tan'
2
45tan''
33
1
3
33
3131
3
2
3
2
31
=
=-=-=
=
=
=-
=-=-=-
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+=÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
u
kPau
kPa
kPa
kPa
kPa
 
 
5 – Os parâmetros de resistência, em termos de tensões 
efetivas, de uma argila totalmente saturada são c’ = 15 kN/m2 
e f’ = 29°. Tendo sido realizado um ensaio não-adensado e 
não-drenado (UU) com uma amostra desta argila, para uma 
tensão confinante de 100 kPa, a diferença de tensões 
principais na ruptura foi de 170 kPa. Qual era o valor da 
pressão neutra no corpo-de-prova no momento da ruptura? 
 
Solução gráfica: 
 
s1s1's3s3'
36.7kPa
100.0kPa
270.0kPa
15.0kPa
29°
s
t
 
 4
 
6 – A figura a seguir mostra o perfil de um solo onde se 
pretende construir um edifício. Para um elemento de solo 
localizado a uma profundidade de 3 m, sob o centro da 
edificação, determinar o incremento de tensão efetiva vertical 
que causará a ruptura deste elemento de solo. Sabe-se que o 
incremento de tensão efetiva horizontal é igual a 10% do 
incremento da tensão efetiva vertical e que o coeficiente de 
empuxo em repouso (K0) é igual a 0,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 1: Determinar as tensões efetivas iniciais (assumir que 
a camada superior está saturada): 
 
kPaozo 4,3528,9)219()117()(
'
1
' =´-´+´== 
 
A tensão horizontal é dada por: 
 
kPaK ozooox 7,174,355,0)()()(
''
3
' =´=== 
 
Passo 2: Determinar o incremento de tensão efetiva na 
direção vertical (Ds1’) que fará com que o solo atinja a 
ruptura: 
 
3
30sin1
30sin1
'sin1
'sin1
)(
)(
'
3
'
1
=
°-
°+
=
-
+
=
ruptura
ruptura 
 
'
1
'
1
'
1 )()( += oruptura 
 
'
1
'
3
'
3 1,0)()( D+= oruptura 
 
Resultando 
kPa
o
o 28,253
1,07,17
4,35
1,0)(
)( '
1'
1
'
1
'
1
'
3
'
1
'
1 =DÞ=
D+
D+
=
D+
D+ 
 
 
 
2 .0 m
1 .0 m
gsat = 19 kN/m
3
f’ = 30°
g = 17 kN/m3NA
 5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Para cada um dos elementos de solo, abaixo 
esquematizados, determinar: 
a) círculo de Mohr de tensões; 
b) os planos principais maior e menor; 
c) a máxima tensão de cisalhamento 
 
350 kPa
100 kPa
100 kPa
100 kPa
400 kPa 100 kPa
200 kPa
100 kPa
30°
2 – As tensões s = 100 kPa e t = 26 kPa atuam num plano 
vertical que passa por um ponto crítico em um solo. No plano 
horizontal, s = 0. Qual é a orientação dos planos principais 
em relação à horizontal e quais são as tensões neles atuantes? 
 
3 – Num determinado ponto de um sólido, s1 = 900 kPa (na 
direção horizontal) e s3 = 200 kPa. Determine as tensões 
num plano inclinado de 15° em relação ao plano principal 
menor. 
 
4 – O estado de tensões em um ponto é caracterizado por 
sv = 140 kPa; tv = 20 kPa e sh = 70 kPa. 
a) Qual é a orientação dos planos principais e quais são 
as tensões que neles atuam? 
b) Se o material é uma areia fofa (f' = 28°) essa 
solicitação o levaráà ruptura? Explicar. 
 
5 – Com uma amostra de solo arenoso foram realizados 
ensaios de cisalhamento direto que forneceram os seguintes 
resultados: 
 
Ensaio sn (kPa) t (kPa) 
1 200 120 
2 300 175 
3 500 290 
 
Com a mesma amostra deseja-se realizar um ensaio de 
compressão triaxial com s3=250 kPa. Determinar: 
a) a envoltória de resistência do solo; 
b) as tensões no instante da ruptura para o ensaio triaxial; 
c) a tensão principal maior neste instante. 
 
6 – Num ensaio de compressão triaxial adensado rápido 
romperam-se dois corpos de prova com tensões confinantes 
de 200 e 400 kPa. As tensões no instante de ruptura foram: 
 
CP s3 (kPa) s1 (kPa) u (kPa) 
01 200 350 140 
02 400 700 280 
 
Calcular: 
a) a envoltória de tensões totais, s=f(s); 
b) a envoltória de tensões efetivas, s=f(s’); 
c) as tensões no plano de ruptura para o corpo de prova 2. 
 
7 – Para ensaios triaxiais do tipo CU (adensado e não 
drenado), com corpos de prova provenientes de amostra do 
tipo argila normalmente adensada, foram obtidos os 
resultados contidos na tabela abaixo. Estimar a envoltória de 
resistência em termos de tensões totais e efetivas. Qual o 
ângulo de ruptura do corpo de prova em relação à horizontal? 
 
CP s3 (kPa) Desviatória (s1-s3) (kPa) u (kPa) 
1 100 200 20 
2 150 300 30 
3 200 400 50 
4 250 500 60 
Obs: u é a pressão neutra na ruptura. 
 
8 – Os resultados a seguir foram obtidos na ruptura em uma 
série de ensaios triaxiais adensados – não drenados – em 
corpos de prova de uma argila completamente saturada. 
Determinar os valores dos parâmetros de resistência ao 
cisalhamento (ângulo de atrito efetivo e coesão efetiva). Se 
um corpo de prova do mesmo solo fosse adensado sob uma 
pressão confinante de 250 kPa e a diferença das tensões 
principais aplicada com a pressão confinante mudasse para 
350 kPa, qual seria o valor esperado para a diferença das 
tensões principais na ruptura? 
 
CP s3 (kPa) Desviatória (s1-s3) (kPa) u (kPa) 
1 150 103 82 
2 300 202 169 
3 450 305 252 
4 600 410 331 
 
9 – Uma argila saturada normalmente adensada tem 
resistência não drenada igual a 100 kPa. Em condições 
drenadas, o ângulo de atrito é de 30º. Se a argila rompe 
numa condição não drenada, quais serão as tensões principais 
efetivas no instante da ruptura? 
 
10 – Os seguintes resultados foram obtidos em um ensaio CU 
com uma argila saturada; em que s3c'= 300 kPa: 
 
ε(%) 0 0,5 1 2 4 5 7 10 
(s1-s3) 
kPa 
0 65 140 238 310 322 359 400 
u (kPa) 0 52 105 155 172 174 180 175 
 
Esquematize as trajetórias de tensões totais e efetivas e a 
variação do parâmetro de pressão neutra A durante o ensaio. 
O que se pode dizer dessa argila? 
 
11 – Dois corpos de prova idênticos de uma areia foram 
submetidos a um ensaio de compressão triaxial drenado (CD) 
e forneceram os seguintes resultados:
 
CP s3'(kPa) (s1 - s3)máx. (kPa) 
1 100 380 
2 300 1320 
 
Determinar a envoltória de resistência desse solo e as tensões 
no plano de ruptura para os dois corpos de prova. 
12 – Determinar a trajetória de tensões para o corpo de prova 
de solo normalmente adensado, cuja curva tensão-
deformação está representada abaixo, com as respectivas 
 6
leituras de pressões neutras. Determinar também a envoltória 
de resistência do solo. 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
300 
0 2 4 6 8 10 12 14 
Deformação (%)
Tensões Pressão Neutra
Tensão confinante: 200 kPa
 
13 – Um corpo de prova de areia foi adensado 
isotropicamente com 100 kPa. Esquematize as trajetórias de 
tensões (ensaios CD, p', q) para os seguintes casos: 
a) sh = cte.; sv é aumentado para 180 kPa; 
b) sv = cte.; sh é diminuído para 25 kPa; 
c) sh e sv são aumentados para 200 kPa; 
d) sv = cte. e sh é aumentado para 250 kPa; 
e) sh = cte.; sv é diminuído para 15 kPa. Se o ângulo de 
atrito é 30°, o que se pode dizer desses estados de tensão? 
 
14 – Uma amostra de areia foi cisalhada (condições 
drenadas) em extensão lateral (ou compressão por 
descarregamento lateral: σv = cte e σh decresce). Inicialmente 
ela foi adensada anisotropicamente com σ3 = 100 e σ1 = 140 
kPa. Sabendo que f' = 30º, determine: 
a) círculos de Mohr após adensamento e na ruptura; 
b) trajetória de tensões; 
c) a equação da linha Kf 
15 – Uma argila saturada tem as seguintes resistências 
Rc = 350 kPa (compressão simples) 
s = 100 + s' tan25o kPa (drenado) 
Caso se aumente a tensão normal num determinado plano 
para 300kPa, qual será a resistência disponível nesse plano 
nas seguintes condições: 
a) imediatamente após o acréscimo de tensão; 
b) após um longo período de tempo 
 
16 – Para um ensaio de cisalhamento direto em areia seca, é 
fornecido o seguinte: 
● Tamanho do corpo de prova: 50 mm × 50 mm × 25 mm 
(altura) 
● Tensão normal: 192 kN/m² 
● Resistência ao cisalhamento no momento da ruptura: 120 
kN/m² 
Determinar: 
a) O ângulo de atrito do material ensaiado; 
b) Para uma tensão normal de 200 kN/m², qual força de 
cisalhamento é necessária para provocar a ruptura do corpo 
de prova? 
 
17 – Num determinado local, o perfil de solo é composto de 
uma camada de areia fina argilosa, com 4m de espessura e, 
subjacente, encontra-se uma argila siltosa até o impenetrável, 
que se encontra a 13m de profundidade. O nível de água 
encontra-se a 2m de profundidade. Um carregamento 
aplicado à superfície gerou, em um elemento de solo 
posicionado a 7m de profundidade, um acréscimo de tensão 
vertical de 38 kPa e de tensão lateral de 20 kPa. 
Determinar, para esse elemento de solo as trajetórias de 
tensões totais (T, T-uo) e efetivas (E) e comentar qual 
situação é mais crítica [curto prazo (não drenada) ou longo 
prazo (drenada) - Apenas para ilustração do conceito 
considerar para a argila f' = 37º]. 
A areia fina tem γ =16 kN/m3 e γ sat = 18 kN/m
3 . A 
argila tem γ sat =16 kN/m
3 , Ko=0,55, A=0,70.