Aula 1 - Vetores

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Produto Escalar
Produto Vetorial
Produto Misto
Álgebra Vetorial
Vetores
Prof. Junilson Cerqueira
Componente: Geometria Anaĺıtica
CETEC
12 de julho de 2022
Aula 3
Produto Escalar
Produto Vetorial
Produto Misto
Sumário
1 Produto Escalar
2 Produto Vetorial
3 Produto Misto
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Produto Escalar
Produto Vetorial
Produto Misto
Ângulo entre dois vetores
Definição
Dados dois vetores
−→
u e
−→
v não nulos e escolhido um ponto O
qualquer, podemos escrever
−→
u =
−→
OA e
−→
v =
−→
OB. Chamamos
ângulo de
−→
u e
−→
v a medida do ângulo AÔB determinado pelas
semirretas OA e OB.
Notação: AÔB = (
−→
u ,
−→
v ), onde 0 ≤ (−→u , −→v ) ≤ π.
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Produto escalar
Definição
Sejam −→u e −→v vetores não nulos. O produto escalar de −→u por −→v ,
indicado por −→u · −→v , é o número real tal que:
−→u · −→v = 0, se −→u = −→0 ou −→v = −→0 .
−→u · −→v = ||−→u || · ||−→v || · cos θ, se −→u ̸= −→0 e −→v ̸= −→0 e θ é a
medida do ângulo entre −→u e −→v .
Observação: O produto escalar também é indicado por ⟨−→u ,−→v ⟩.
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Expressão cartesiana para o produto escalar
Fixada uma base ortonormal (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ), considere os vetores
−→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2) e O um ponto qualquer.
Vamos encontrar uma expressão cartesiana para o produto escalar.
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Expressão cartesiana para o produto escalar
Definição
Dados −→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2), o produto escalar dos
vetores −→u e −→v é o número real
−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2
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Proposição
1 Se −→u e −→v são vetores não nulos e θ = (−→u ,−→v ), então
cos θ =
−→u · −→v
||−→u || ||−→v ||
.
2 Qualquer que seja o vetor −→u , ||−→u || =
√−→u · −→u .
3 ∀−→u ,−→v ,−→u ⊥ −→v ⇔ −→u · −→v = 0.
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Produto Misto
Vamos fazer alguns exemplos.
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Propriedades
∀−→u ,−→v e −→w e ∀α ∈ R, temos:
1
−→u · −→v = −→v · −→u
2
−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w
3 α(−→u · −→v ) = (α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v )
4
−→u ̸= −→0 ⇒ −→u · −→u > 0 e −→u = −→0 ⇒ −→u · −→u = 0
Desigualdade de Schwarz: ∀−→u ,−→v , |−→u · −→v | ≤ ||−→u || ||−→v ||
Desigualdade Triangular: ∀−→u ,−→v , ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v ||
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Vamos fazer alguns exemplos!
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Projeção de um vetor sobre outro
Sejam −→u e −→v não nulos e θ o ângulo entre eles.
Queremos decompor um dos vetores, digamos −→v , tal que
−→v = −→v1 +−→v2 , sendo −→v1 // −→u e −→v2 ⊥ −→u .
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Projeção de um vetor sobre outro
−→v1 é chamado projeção ortogonal de −→v sobre −→u e indicado por
−→v1 = proj−→u
−→v ,
com −→v1 // −→u .
proj−→u
−→v =
(−→v · −→u
−→u · −→u
)
−→u
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Projeção de um vetor sobre outro
−→v1 é chamado projeção ortogonal de −→v sobre −→u e indicado por
−→v1 = proj−→u
−→v ,
com −→v1 // −→u .
proj−→u
−→v =
(−→v · −→u
−→u · −→u
)
−→u
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Determinantes
Determinante de uma matriz é um número real associado a esta.
Uma matriz pode ser vista como uma ”tabela de números reais
com colunas e linhas”.
1 Determinante de ordem 2:∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣ = x1y2 − x2y1
2 Determinante de ordem 3:∣∣∣∣∣∣
a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣ a− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣ b + ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣ c
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Propriedades de determinantes
1 A permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante.
2 Se duas linhas forem constitúıdas de elementos proporcionais,
o determinante é zero.
3 Se uma das linhas for constitúıda de zero, o determinante é
zero.
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Definição de Produto Vetorial
Seja {−→i ,−→j ,
−→
k } uma base ortonormal positiva. Então, sendo
−→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2), relativamente a essa base,
definimos o produto vetorial de dois vetores, e o representamos
por u × v , como sendo o vetor:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣−→i − ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣−→j + ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣−→k
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Propriedades do Produto Vetorial
−→u ×−→v = −→0 ⇔ −→u // −→v .
−→u ×−→u = −→0 , ∀−→u .
−→
0 ×−→u = −→0 , ∀−→u .
−→u ×−→v = −−→v ×−→u .
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Propriedades do Produto Vetorial
(−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w .(
λ−→u
)
×−→v = −→u ×
(
λ−→v
)
= λ
(−→u ×−→v ) , λ ∈ R.
−→u ·
(−→u ×−→v ) = 0 e −→v · (−→u ×−→v ) = 0.
||−→u || = ||−→v || = 1 e −→u ⊥ −→v ⇒ {−→u ,−→v ,−→u ×−→v } é base
ortonormal positiva.
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Exemplo
Exemplo: Calcule −→u ×−→v para −→u = 5−→i + 4−→j + 3
−→
k e
−→v = −→i +
−→
k .
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Direção, sentido e módulo do produto vetorial ←→u ×←→v
a) Direção de ←→u ×←→v
O vetor ←→u ×←→v é simultaneamente ortogonal a ←→u e ←→v .
b) Sentido de ←→u ×←→v
Sendo θ o ângulo entre ←→u e ←→v , se ao rotacionar o primeiro vetor
←→u para coincidir com o segundo vetor ←→v , fizermos isso no
sentido anti-horário, o sentido é para cima, se for no
sentidohorário, o sentido é para baixo.
c) Comprimento de ←→u ×←→v
Se conhecermos as coordenadas do vetor ←→u ×←→v , podemos
calcular o comprimento diretamente através da fórmula do módulo
de vetor. Caso contrário, podemos usar a fórmula a seguir:
||−→u ×−→v || = ||−→u || ||−→v || sen(−→u ,−→v )
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Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
Consideremos o paralelogramo ABCD, determinado pelos vetores
−→u =
−→
AB e −→v =
−→
AD
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Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
SABCD = |−→u ×−→v |
S∆ABD =
|−→u ×−→v |
2
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Exerćıcios
1 Consideremos o paralelogramo de vértices
A = (1, 1, 0),B = (0, 1, 2) e C = (4, 1, 0). Calcule a área.
2 Determinar o vetor −→x , tal que −→x seja ortogonal ao eixo dos y
e −→u = −→x ×−→v , sendo −→u = (1, 1,−1) e −→v = (2,−1, 1).
3 Sejam os vetores −→u = (1,−1,−4) e −→v = (3, 2,−2).
Determine um vetor que seja:
ortogonal a −→u e −→v ;
ortogonal a −→u e −→v e unitário;
ortogonal a −→u e −→v e tenha módulo 4.
4 Sabendo que |−→a | = 3, |
−→
b | =
√
2 e 45 é o ângulo entre −→a e
−→
b , calcule |−→a ×
−→
b |.
5 Calcule x , sabendo que A = (x , 1, 1),B = (1,−1, 0) e
C = (2, 1,−1) são vértices de um triângulo de área
√
29
2
.
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Definição
Sejam −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3) vetores
quaisquer. O produto misto dos vetores −→u ,−→v e −→w , indicado por[−→u ,−→v ,−→w ], é o número real
[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
.
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Exemplo
Exemplo: Calcule
[−→u ,−→v ,−→w ], sendo
−→u = (1, 1, 3),−→v = (2,−1, 5) e −→w = (4,−3, 1).
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Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
O produto misto
[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w ) é igual, em módulo,
ao volume do paraleleṕıpedo de arestas determinadas pelos vetores
não coplanares −→u ,−→v e −→w .
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Produto Misto
Exemplo: Sejam os vetores −→u = (3,m,−2),−→v = (1,−1, 0) e
−→w = (2,−1, 2). Calcule o valor de m para que o volume do
paraleleṕıpedo determinado por −→u ,−→v e −→w seja 16 unidades de
volume.
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Propriedadesdo Produto Misto
1
[−→u ,−→v ,−→w ] = 0 ⇔ −→u ,−→v e −→w são coplanares.
2
[−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ].
3
[−→u ,−→v ,−→w ] = − [−→v ,−→u ,−→w ].
4
(−→u ×−→v ) · −→w = −→u · (−→v ×−→w ).
5
[−→u1 +−→u2,−→v ,−→w ] = [−→u1,−→v ,−→w ]+ [−→u2,−→v ,−→w ].
6 t
[−→u ,−→v ,−→w ] = [t−→u ,−→v ,−→w ] = [−→u , t−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→tw]
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Obrigado!
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