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Lista 5 - v2 - IEDO
Novos exerćıcios: 2) (e) e (f); 5) (e), (f) e (g); 6) (c) e (d).
1) Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
(a) 4y′′ + y′ = 0.
(b) y′′ − y′ − 6y = 0.
(c) y′′ + 8y′ + 16y = 0.
(d) 12y′′ − 5y′ − 2y = 0.
(e) y′′ + 9y = 0.
(f) y′′ − 4y′ + 5y = 0.
(g) 3y′′ + 2y′ + y = 0.
2) Determine a solução geral da equação diferencial de ordem superior dada.
(a) y′′′ − 4y′′ − 5y′ = 0.
(b) y′′′ − 5y′′ + 3y′ + 9y = 0.
(c) y′′′ + y′′ − 2y = 0.
(d) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0.
(e) y(5) + 8y(4) + 18y′′′ + 16y′′ + 32y′ = 0.
(f) 2y(4) + 6y′′′ + 4y′′ − 4y′ − 8y = 0.
3) Resolva o PVI dado.
(a) y′′ + 16y = 0; y(0) = 2, y′(0) = −2.
(b) y′′ − 4y′ − 5y = 0; y(1) = 0, y′(1) = 2.
(c) y′′ + y′ + 2y = 0; y(0) = y′(0) = 0.
(d) y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7.
4) Resolva o PVC dado.
(a) y′′ − 10y′ + 25y = 0; y(0) = 1, y(1) = 0.
(b) y′′ + y = 0; y′(0) = 0, y′(π/2) = 0.
5) Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções da equação
diferencial no intervalo indicado. Em caso positivo, construa a solução geral.
(a) y′′ − y′ − 12y = 0; y1 = e−3x, y2 = e4x, I = (−∞,∞).
(b) y′′ − 2y′ + 5y = 0; y1 = excos(2x), y2 = exsen(2x), I = (−∞,∞).
(c) x2y′′ − 6xy′ + 12y = 0; y1 = x3, y2 = x4, I = (0,∞).
(d) x3y′′′ + 6x2y′′ + 4xy′ − 4y = 0; y1 = x, y2 = x−2, y3 = x−2ln(x), I = (0,∞).
(e) y′′ − 3y′ − 10y = 0; y1 = e5x, y2 = e5x−9, I = (−∞,∞).
(f) 3y′′ + 12y′ = 0; y1 = sen(2x), y2 = 7, y3 = 3cos(x)sen(x), I = (−∞,∞).
(g) x3y′′′ + x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0; y1 = x2 − 5x, y2 = 3x2 − 8x, y3 = 2x2 − x, I = (0,∞).
6) Nos itens abaixo, a função y1(x) é uma solução da EDO dada no intervalo indicado. Use
redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da EDO no mesmo intervalo.
(a) x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0; y1 = x4, I = (0,∞).
(b) xy′′ + y′ = 0; y1 = ln(x), I = (0,∞).
(c) 2x2y′′ − xy′ − 9y = 0; y1 = x3, I = (0,∞).
(d) x2y′′ + 3xy′ + y = 0; y1 =
1
x , I = (0,∞).
1
Dicas 2) (b) λ3 − 5λ2 + 3λ+ 9 = (λ+ 1)(λ2 − 6λ+ 9).
(c) λ3 + λ2 − 2 = (λ− 1)(λ2 + 2λ+ 2).
(d) Verifique quem é (λ+ 1)3.
(e) Verifique quem é (λ2 + 2)(λ2 + 8λ+ 16).
(f) Verifique quem é (λ2 + 2λ+ 2)(λ2 + λ− 2).
5) (g) Para verificar que y1, y2 e y3 são soluções da EDO, basta verificar que φ1(x) = x e
φ2(x) = x
2 são soluções e usar o prinćıpio da superposição. E para verificar se as funções são LI
ou LD, basta calcular o valor do wronskiano para x = 1.
6) (b) Use a substituição u = ln(x) para resolver a integral.
Respostas
1)
(a) y = C1 + C2e
−x/4.
(b) y = C1e
3x + C2e
−2x.
(c) y = C1e
−4x + C2xe
−4x.
(d) y = C1e
2x/3 + C2e
−x/4.
(e) y = C1cos(3x) + C2sen(3x).
(f) y = e2x(C1cos(x) + C2sen(x)).
(g) y = e−x/3(C1cos(
√
2x/3) + C2sen(
√
2x/3)).
2)
(a) y = C1 + C2e
−x + C3e
5x.
(b) y = C1e
−x + C2e
3x + C3xe
3x.
(c) y = C1e
x + e−x(C2cos(x) + C3sen(x)).
(d) y = C1e
−x + C2xe
−x + C3x
2e−x.
(e) y = C1 + C2e
−4x + C3xe
−4x + C4cos(
√
2x) + C5sen(
√
2x).
(f) y = C1e
x + C2e
−2x + C3e
−xcos(x) + C4e
−xsen(x).
3)
(a) y = 2cos(4x)− 12sen(4x). (b) y = −
1
3e
−(x−1) + 13e
5(x−1).
(c) y = 0. (d) y = 536 −
5
36e
−6x + 16xe
−6x.
4)
(a) y = e5x − xe5x. (b) y = 0.
5) Em todos os itens as funções satisfazem a EDO. E apenas nos itens de (a) a (d) as funções
formam um conjunto fundamental de soluções pois o wronskiano não se anula no intervalo dado.
(a) W (y1, y2) = 7e
x 6= 0; y = C1e−3x + C2e4x.
(b) W (y1, y2) = 2e
2x 6= 0; y = C1excos(2x) + C2exsen(2x).
(c) W (y1, y2) = x
6 6= 0; y = C1x3 + C2x4.
(d) W (y1, y2, y3) = 9x
−6 6= 0; y = C1x+ C2x−2 + C3x−2ln(x).
(e) W (y1, y2) = 0; (f) W (y1, y2, y3) = 0; (g) W (y1, y2, y3) = 0.
6) A resposta depende da escolha das constantes de integração C1, C2, C3. Aqui estão as respostas
considerando C1 = 1 e C2 = C3 = 0.
(a) y2(x) = x
4ln(x). (b) y2(x) = −1.
(c) y2(x) = −29
1√
x3
. (d) y2(x) =
ln(x)
x .
2