Questão resolvida - Questão 2) Calcule a área total entre o gráfico da função f(x)x-2xx e o eixo x para [-1,2] - Área usando integrais - Cálculo II

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• Questão 2) Calcule a área total entre o gráfico da função e o eixo f x = x - 2x + x( ) 3 2
 para ∈ x -1, 2[ ].
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função , como visto na sequência;f x( )
 
f x = 0 x³ - 2x² + x = 0 x x - 2x + 1 = 0( ) → → 2
 
Com isso : x = 0 e x - 2x + 1 = 02
 
Resolvendo a equação do 2° resultante, temos :
 
x - 2x + 1 = 02
 
x = x' = = = = = 1
- -2 ±
2 ⋅ 1
( ) -2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2
→
2 +
2
4 - 4 2 +
2
0 2 + 0
2
2
2
 
 x'' = = = = = 1
2 -
2
4 - 4 2 -
2
0 2 - 0
2
2
2
Assim, as raízes de é e f x( ) 0 1
Agora, vamos saber quais valores assume nos extremos do intervalo que desejamos f x( )
conhecer a área;
 
x = -1 f -1 = -1 - 2 -1 + -1 f -1 = - 1 - 2 ⋅ 1 - 1 f -1 = - 1 - 2 - 1→ ( ) ( )3 ( )2 ( ) → ( ) → ( )
 
f -1 = - 4( )
 
x = 2 f 2 = 2 - 2 2 + 2 f 2 = 8 - 2 ⋅ 4 + 2 f 2 = 8 - 8 + 2→ ( ) ( )3 ( )2 ( ) → ( ) → ( )
 
f 2 = 2( )
 
 
Com essas informações, é possível fazer um esboço do gráfico, como o visto na sequência;
Perceba que a área entre e é negativa (abaixo do eixo ), dessa forma, a integral -1 0 x
desse trecho é feita sepada e com o sinal negativo na frente. Entre e , a área é positiva e 0 2
igual a integral da função no trecho. Assim, a integral que fornece a área entre a função f x( )
e o eixo no intervalo e é dada por;x 0 2
 
 
A = - + + - + = + + + - + = + +
1
4
2 -1
3
( ) 1
2
16
4
2 ⋅ 8
3
4
2
1
4
2
3
1
2
16
4
16
3
4
2
1 + 16
4
2 - 16
3
1 + 4
2
 
 
 
0
 A = - x -2x +x dx+ x -2x +x dx
0
∫
-1
3 2
2
0
∫ 3 2
 
 A = - - + + - +
x
4
4 2x
3
3 x
2
2 0
-1
x
4
4 2x
3
3 x
2
2 2
0
 
A = - - + - - - + + - + - - +
0
4
( )4 2 0
3
( )3 0
2
( )2 -1
4
( )4 2 -1
3
( )3 -1
2
( )2 2
4
( )4 2 2
3
( )3 2
2
( )2 0
4
( )4 2 0
3
( )3 0
2
( )2
A = - + = =
17
4
14
3
5
2
3 ⋅ 17 - 4 ⋅ 14 + 6 ⋅ 5
12
51 - 56 + 30
12
 
A = u. a.
25
12
 
 
(Resposta )