AP3-ALII-2018-1-aluno

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Terceira Avaliação Presencial de Álgebra Linear II – 24/06/2018
Código da disciplina EAD 01014
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando
os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima
em negrito) e o número da folha.
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a prova, colocando nome, matŕıcula, polo. • É expressamente proibido o uso de calculadora.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções das questões nas Folhas
de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste
espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
• Devolver a prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questão 1 (1,0 ponto) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
linear L : R3 −→ R3 tal que L(1, 0, 0) = (21, 2a+ 3, 4c− 1), L(0, 1, 0) = (3b− 6c, 22, 3b− 6c) e
L(0, 0, 1) = (5a+ 4, 6a− 9, 23).
Questão 2 (1,0 ponto) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a
transformação linear obtida pela reflexão com respeito a reta y = −x seguida de uma rotação
de π
4
radianos no sentido anti-horário.
Questão 3 (1,0 ponto) Determine as matrizes ortogonais de ordem 2 cuja primeira coluna
tenha mesma direção e sentido de (7, 24).
Questão 4 (2,2 pontos) Seja A ∈ M3(R) com autovalores λ1 = 72 e λ2 = 54 tal que
E(λ1 = 72) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 4y + 3z = 0, 10x+ 41y + 35z = 0 e 12x+ 51y + 51z = 0} e
E(λ2 = 54) = {(x, y, z) ∈ R3 ; −9x− 81y + 126z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus
autovalores.
b) [0,6 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Questão 5 (3,0 pontos) Seja A =
[
10 2
2 10
]
.
a) [1,8 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,2 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial
abaixo, obtendo uma equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
10 2
2 10
] [
x
y
]
+ (84
√
2 , 36
√
2)
[
x
y
]
+ 324 = 0.
Questão 6 (1,8 pontos) Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta
√
10x− 4y = 0.
a) [0,6 pt] Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de T , indicando os respectivos
autovalores.
b) [1,2 pt] Determine uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T , sua correspondente matriz
diagonal D e a matriz A que representa T na base canônica do R2.