AP2-ALII-2020-1-aluno

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Segunda Avaliação Presencial Casa de Álgebra Linear II – 12/06 (8h) a 14/06 (17h)
Código da disciplina EAD 01014
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo como também qualquer material
que sirva de consulta.
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Questão 1 (1,5 pontos) Determine os valores de a, b, c ∈ R para que seja autoadjunto o operador
L : R3 −→ R3 definido por
L(x, y, z) =
(
7x+ (a− 5)y + (3c− 1)z, (b− c)x+ 11y + (b− c)z, (3a+ 2)x+ (7− a)y + 13z
)
.
Questão 2 (1,5 pontos) Determine as matrizes ortogonais de ordem 2 cuja segunda coluna tenha mesma
direção e sentido de (5, 12).
Questão 3 (2,0 pontos) Seja A ∈M3(R) com autovalores λ1 = 23 e λ2 = −91 tal que
E(λ1 = 23) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 2y + 5z = 0,−3x+ 7y − 16z = 0 e 2x− 5y + 11z = 0} e
E(λ2 = −91) = {(x, y, z) ∈ R3 ; −x+ 4y + 6z = 0}.
a) [1,5 pts] Determine bases para os autoespaços e dê as multiplicidades geométricas dos seus autovalores.
b) [0,5 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Questão 4 (3,0 pontos) Seja A =
[
5 3
3 −3
]
.
a) [1,8 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,2 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial abaixo, obtendo uma
equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
5 3
3 −3
] [
x
y
]
+ (10
√
10 , 6
√
10)
[
x
y
]
+ 38 = 0.
Questão 5 (2,0 pontos) Seja Π o plano de equação 4x− 5y − 3z = 0.
a) [1,2 pts] Determine uma base ortonormal do plano Π.
b) [0,8 pt] Seja T : R3 −→ R3 a projeção ortogonal sobre o plano Π.
Dê exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T , indicando seus respectivos autovalores.