AOL 1 - CALCULO VETORIAL

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AOL 1 – CÁLCULO VETORIAL 
1. Pergunta 1 
Ao estudar funções reais de várias variáveis reais, observa-se que as relações 
funcionais, ou seja, as relações que associam conjuntos, alteram-se conforme 
aumentam o número de variáveis. Em uma função real de uma variável, a relação é 
feita tendo como base duas retas reais, por exemplo, mas isso não se mantém para as 
outras relações funcionais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre relações funcionais de 
duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
I. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R³. 
II. O contradomínio de uma função real de três variáveis é subconjunto de R. 
III. O contradomínio de uma função real de cinco variáveis é subconjunto de R. 
IV. O domínio de uma função de três variáveis é subconjunto de R³. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. Incorreta: 
II e IV. 
2. 
I, III e IV. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
II, III e IV. 
Resposta correta 
5. 
I e II. 
2. Pergunta 2 
No estudo de funções reais, sejam elas de uma ou várias variáveis, é necessário 
analisar atentamente os valores de entrada (domínio) das funções. Esses valores 
sofrem restrições devido a operacionalidade de algumas funções, tais como funções 
que tenham raízes pares, logaritmos e afins. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinação do 
domínio de funções reais de duas variáveis, ordene as etapas a seguir de acordo com a 
sequência que devem ser efetuadas para a determinação desse domínio: 
( ) Identificar as restrições devidas de cada função e operação. 
( ) Escrever o domínio (D) levando em conta essas relações emergentes. 
( ) Identificar o tipo de função e os tipos de operações. 
( ) Observar as relações entre x e y emergentes dessa imposição das restrições. 
( ) Aplicar essas restrições às variáveis x e y. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
1, 2, 3, 4, 5. 
2. 
3, 4, 2, 1, 5. 
3. 
1, 5, 3, 4, 2. 
4. 
2, 4, 1, 5, 3. 
5. 
2, 5, 1, 4, 3. 
Resposta correta 
3. Pergunta 3 
É importante entender o comportamento geral de uma função de duas variáveis. Para 
isso, deve-se observar atentamente quais são as componentes em cada direção dessa 
função. Isto é, quais os tipos de função, ordem polinomial, etc. Por exemplo, em uma 
variável, a função é periódica, portanto, sua representação gráfica também deve 
ser. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas 
varáveis, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas 
características. 
1) ; 
2) ; 
3) ; 
4) ; 
() 
 
() 
 
() 
 
() 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
3, 1, 4, 2. 
2. 
3, 2, 4, 1. 
Resposta correta 
3. 
4, 3, 1, 2. 
4. 
2, 3, 4, 1. 
5. 
1, 2, 3, 4. 
4. Pergunta 4 
Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em 
funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e 
contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o 
contradomínio os de “saída”. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas 
variáveis e conjuntos, analise as afirmações a seguir. 
I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = . 
II. O contradomínio da função f(x,y) = é o conjunto dos reais positivos. 
III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) = . 
IV. As relações representam uma função de duas variáveis. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, III e IV 
2. 
II e IV 
3. 
I, II e IV 
4. 
I e II 
5. 
II e III 
Resposta correta 
5. Pergunta 5 
Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo 
valor. Para a construção de curvas de níveis, basta fazer , no 
qual corresponde a uma constante. Isso equivale a fazer um mapa das linhas da 
função onde a função tem o mesmo valor . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as 
funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características. 
1) . 
 
 
2) . 
 
 
3) . 
 
 
4) . 
 
 
Curvas de níveis: 
() 
 
 
() 
 
 
() 
 
 
() 
 
 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
3, 1, 4, 2. 
Resposta correta 
2. 
1, 2, 3, 4. 
3. 
4, 3, 1, 2. 
4. 
3, 2, 4, 1. 
5. 
2, 3, 4, 1. 
6. Pergunta 6 
Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um 
número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que 
representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é 
necessário saber reconhecer qual o volume em questão. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três 
variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir. 
I. O domínio da função é . 
II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três 
dimensões. 
III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um 
espaço de três dimensões. 
IV. O domínio da função é . 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e III. 
2. 
I e II. 
3. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
4. 
 II e IV. 
5. 
I, II e IV. 
7. Pergunta 7 
Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do 
ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela esquerda ou pela 
direita Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se 
os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas 
dois sentidos para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em 
funções de duas variáveis existe é porque: 
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1. 
 está definido em . 
2. 
existe pelo menos um caminho que se aproxima de e converge para 
um número real . 
3. 
os limites laterais por e por convergem para a mesma 
constante, isto é, . 
4. 
o limite por todos os caminhos que se aproximam de convergem 
para a mesma constante . 
Resposta correta 
5. 
 é igual a . 
8. Pergunta 8 
Derivadas de maior ordem são execuções contínuas da derivada. Isto é, operações 
consecutivas. Em funções de uma variável, a primeira derivada dá a noção da 
inclinação da curva, enquanto a segunda derivada dava a noção de concavidade. Em 
mais variáveis, o raciocínio é análogo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A segunda derivada em da função é . 
II. ( ) A segunda derivada em da função é . 
III. ( ) A ordem das derivadas mista (primeiro e depois , e vice-versa) é 
relevante tal que . 
IV. ( ) A derivada mista, primeiro em e depois em de é 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, V, F, V. 
Resposta correta 
2. 
V, V, F, F. 
3. 
V, V, V, F. 
4. 
V, F, V, F. 
5. 
F, V, F, V. 
9. Pergunta 9 
A interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável é a de que ela 
representa a inclinação da reta tangente ao ponto da função que se calcula a derivada. 
Sabendo disso, a derivada pode ser aplicada para determinar os pontos de máximo e 
mínimo da função. Basta derivar e igualar a zero. Uma vez achado estes pontos, para 
determinar se é um ponto de máximo ou de mínimo, faz-se o teste da segunda 
derivada (se a segunda derivada no ponto for positiva, é ponto de mínimo e se for 
negativa, de máximo). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivadas parciais, 
analise as afirmativas a seguir. 
I.A interpretação geométrica da derivada parcial é a inclinação da reta tangente à 
curva da direção que se calcula a derivada. 
II. Para determinar os pontos de máximo e mínimo em funções de duas variáveis, basta 
igualar uma das derivadas a zero. 
III. No teste da segunda derivada, os sinais das derivadas segundas em x e em y devem 
ser os mesmos para termos um ponto de máximo ou mínimo. 
IV. O ponto destacado no gráfico tem as derivadas parciais em x e em y igual a zero. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV. 
2. 
II, III e IV. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
I e II. 
5. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
10. Pergunta 10 
Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função 
cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as 
outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, , fazendo y 
= 0 temos . Fazendo , temos que a função cruza o eixo x em x=3. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). 
I. ( ) A função não cruza os eixos x e y. 
II. ( ) A função cruza os eixos x e y respectivamente em x = 1 e y = 1. 
III. ( ) A função cruza o eixo y em y = 1. 
IV. ( ) A função cruza o eixo z em . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
F, V, F, V 
2. 
V, F, V, F 
3. 
V, V, F, F 
4. 
V, V, V, F 
5. 
V, V, F, V 
Resposta correta