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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA Acertos: 10,0 de 10,0 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Para evitar erros de cancelamento em operações de subtração de dois números numa notação de ponto flutuante, é comum reorganizar as operações. Seja a expressão: s=√x+1−√xs=x+1−x onde x=100000x=100000 num computador FP(10,5,−6,6)FP(10,5,−6,6), observe que nesse computador x+1=xx+1=x, para x=100000x=100000, resultando s=0s=0. Determine uma expressão equivalente e o seu valor para x=100000x=100000. ln(√x+1−√x)e1,5811x10−3ln(x+1−x)e1,5811x10−3 1√x+1−√xe1,5811x10−31x+1−xe1,5811x10−3 x2√x2+1+1e0,013x10−3x2x2+1+1e0,013x10−3 1√x+1+√xe1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3 ln(√x+1+√x)e1,5811x10−3ln(x+1+x)e1,5811x10−3 Respondido em 10/10/2022 12:32:38 Explicação: Gabarito: 1√x+1+√xe1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3 Justificativa: Tem-se que a expressão equivalente pode ser obtida da seguinte maneira: s=√x+1−√xs=x+1−x ou seja, s=1√x+1+√xs=1x+1+x Então, o valor de s para x=100000x=100000 é s=1√x+1+√x=12√100000=1,5811×10−3s=1x+1+x=12100000=1,5811×10−3 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 (Transpetro / 2011) Seja N uma base de numeração, e os números A = (100)N, B = (243)(N+1), C = (30)N, D = F16 e E = (110)2. Sabendo-se que a igualdade B + D = A + E.C é válida, o produto de valores válidos para a base N é: 36. 35. 45. 24. 42. Respondido em 10/10/2022 12:33:11 Explicação: Gabarito: 24. Justificativa: Utilizando a definição: A = (100)N = N2 B = 2N2 8N + 9 C = (30)N = 3N D = (F)16 = 15 E = (110)2 = 4 + 2 = 6 Fazendo: B + D = A + E.C N2 -10N +24 = 0 Como o produto das raízes de uma equação do segundo grau, ax2 + bx + c = é dada por c/a. Então, a resposta é 24. 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Foram dados um conjunto de coordenadas abaixo com finalidade de encontrar um polinômio interpolador, então foram utilizados três Métodos: Combinação linear de monômios, Lagrange e Newton, obtendo respectivamente os polinômios p(x), l(x) e n(x), quando calcula-se p(1.5) , l(1.5) e n(1.5), pode-se afirmar que: p(1.5) > l(1.5) > n(1.5) p(1.5) < l(1.5) = n(1.5) p(1.5) < l(1.5) < n(1.5) p(1.5) = l(1.5) = n(1.5) p(1.5) = l(1.5) < n(1.5) Respondido em 10/10/2022 12:33:54 Explicação: Pela definição de interpolação e como vimos nos exemplos do módulo 3, todos os métodos apresentam o mesmo resultado quando se utiliza o mesmo conjunto de dados. 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A interpolação de Lagrange utiliza os seguintes polinômios básicos pelas propriedades desses polinômios podemos afirmar que Ln,m(xk) é igual a: xk ym 1 0 xm Respondido em 10/10/2022 12:38:31 Explicação: Pela propriedade e construção dos polinômios básicos de Lagrange temos: 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 1,49217 1,43217 1,41217 1,45217 1,47217 Respondido em 10/10/2022 12:36:09 Explicação: A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A função a ser integrada; - A técnica de integração a ser utilizada; - O valor inicial do intervalo de integração; - O valor final do intervalo de integração; e - A quantidade de partições (n) Neste exemplo, temos que: - A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); - A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; - O valor inicial do intervalo de integração é 1; - O valor final do intervalo de integração é 2; e - A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir: import scipy as sp from scipy import integrate func = lambda x: x - sp.cos(x) result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson: 0,741 0,541 0,841 0,641 0,941 Respondido em 10/10/2022 12:37:25 Explicação: A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A função a ser integrada; - O valor inicial do intervalo de integração; - O valor final do intervalo de integração; e - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). Neste exemplo, temos que: - A função a ser integrada é f(x) = cos(-x); - O valor inicial do intervalo de integração é 0; - O valor final do intervalo de integração é 1; e - O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1. Assim, aplicando os conceitos para o método de Simpson, temos o código em Python indicado a seguir: import numpy as np import math f = lambda x: np.cos(-x) a = 0; b = 1; N = 10 x = np.linspace(a,b,N+1) y = f(x) dx = (b-a)/N soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2]) print("Integral:",soma_Simpson) O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = 2.cos(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler: 2,488 2,688 2,388 2,288 2,588 Respondido em 10/10/2022 12:38:06 Explicação: Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2.cos(y); O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = 2.sen(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler: 3,484 3,184 3,284 3,084 3,384 Respondido em 10/10/2022 12:40:45 Explicação: Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2.sen(y); O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta: 0,509 0,469 0,429 0,489 0,449 Respondido em 10/10/2022 12:41:17 Explicação: A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; -O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 1; - O tamanho de cada intervalo é 0,1; e - O valor da função no ponto inicial é 0,3. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 . 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta: 0,29 0,25 0,33 0,27 0,31 Respondido em 10/10/2022 12:43:18 Explicação: Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; - O ponto inicial; - O ponto final; - A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e - O valor da função no ponto inicial. Neste exemplo, temos que: - A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; - O ponto inicial é 0; - O ponto final é 1; - O tamanho de cada intervalo é 0,1; e - O valor da função no ponto inicial é 0,2. Isso posto, utilize o método indicado a seguir: Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.249
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