Comprovação de soluções

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Comprovação de soluções de Equações Diferenciais 
 
Verifique quais das seguintes funções dadas, são soluções 
das correspondentes equações diferenciais. 
 
1) y = sen x, para y’’ – y = 0; 
 
Solução: 
𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑦′′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
Substituindo-se temos: 
y’’ – y = = −𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −2 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Portanto, a função y = sen x não é solução da seguinte 
equação diferencial y’’ – y = 0. 
 
 
2) y = e2x, para y’’ – 4y = 0; 
 
Solução: 
𝑦′ = 2𝑒2𝑥 
𝑦′′ = 4𝑒2𝑥 
Substituindo-se temos: 
y’’ – 4y = 4𝑒2𝑥 − 4𝑒2𝑥 = 0 
Logo, a função y = e2x é solução da seguinte equação 
diferencial y’’ – 4y = 0. 
 
 
 
3) y = A cos x + B sen x, para y’’ + y = 0, onde A e B são 
constantes quaisquer; 
 
Solução: 
𝑦′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑦′′ = −𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Substituindo-se temos: 
y’’ + y = −𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 
Assim, a função y = A cos x + B sen x é solução da seguinte 
equação diferencial y’’ + y = 0. 
 
 
4) y = Ae2x + Be-2x, para y’’ – 4y = 0, onde A e B são 
constantes quaisquer; 
 
Solução: 
𝑦′ = 2𝐴𝑒2𝑥 − 2𝐵𝑒−2𝑥 
𝑦′′ = 4𝐴 𝑒2𝑥 + 4𝐵 𝑒−2𝑥 
Substituindo-se temos: 
y’’ – 4y = 4𝐴 𝑒2𝑥 + 4𝐵 𝑒−2𝑥 − 4(𝐴𝑒2𝑥 + B𝑒−2𝑥) = 0 
Logo, a função y = Ae2x + Be-2x é solução da seguinte equação 
diferencial y’’ – 4y = 0.