Atividade 2 (A2)_ Revisão da tentativavariasvariaveis

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15/04/2022 17:17 Atividade 2 (A2): Revisão da tentativa
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Minhas Disciplinas 202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551 UNIDADE 2
Atividade 2 (A2)
Iniciado em sexta, 15 abr 2022, 16:38
Estado Finalizada
Concluída em sexta, 15 abr 2022, 17:16
Tempo
empregado
38 minutos 34 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da
chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis
intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. A variável  é a variável independente.
b. As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
c. As variáveis  e  são as
variáveis independentes.
 Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das
variáveis  e , pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis 
 e  e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis  e  são as variáveis independentes.
d. As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
e. A variável  é a variável intermediária.
A resposta correta é: As variáveis  e  são as variáveis independentes.
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No
caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor
gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2).
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento
é . Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor
gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função , assim,
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2):
- 
- 
- 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é 
.
Assim, a direção de maior crescimento é .
A resposta correta é: 
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Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela
quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três
componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função 
. 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto 
. 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico
ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, 
Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e
sua norma é , temos que a direção procurada é 
.
A resposta correta é: 
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a
partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio
da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor . 
 
 
a. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
b. A temperatura está
aumentando à taxa de
aproximadamente 9,93
unidades.
 Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: ,  e . Assim, dado o ponto (3,4),
temos . O vetor  é unitário, então a derivada direcional irá nos
fornecer a taxa de variação desejada: .
c. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
d. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
e. A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
A resposta correta é: A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
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Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um
resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro
da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o conjunto . 
II - O domínio da função é o conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o conjunto . 
 
 
 
a. I, III, IV
b. I, II, IV
c. I, IV  Resposta correta. A alternativa está correta.
Avaliando as restrições de cada função, concluímos
que:
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o
conjunto .
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto 
.
d. I, III
e. II, III
A resposta correta é: I, IV
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Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A
derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a
derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e ,
sabendo que e . 
 
 
a.  e 
b.  e 
c.  e  Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos
que a derivada parcial de  com relação a  é: .
Já a derivada parcial de  com relação a  é: 
.
d.  e 
e.  e 
A resposta correta é:  e 
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetorgradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é,
quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário
do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto
P(-1,1). 
 
 
a.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: ,  e . Logo, 
. Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário com
mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o vetor procurado é 
.
b.
c.
d.
e.
A resposta correta é: 
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função
pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim,
para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
a. O domínio da função  é o conjunto .  Resposta correta. A alternativa está correta. Temos
as seguintes restrições para os valores de  e :
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa,
isto é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula,
isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta
em . Logo, .
b. O domínio da função  é o conjunto .
c. O domínio da função  é o conjunto .
d. O domínio da função  é o conjunto .
e. O domínio da função  é o conjunto .
A resposta correta é: O domínio da função  é o conjunto .
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por 
 e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.  Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que 
, onde . Assim, 
. Dado que , temos 
.
A resposta correta é: 
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Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis 
 quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da
função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que
corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
 
a. 3
b.
c. 2
d.  Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são: 
 e , que implicam que o vetor gradiente seja .
Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a derivada direcional,
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome . Logo, a
derivada direcional procurada é .
e. 1
A resposta correta é: 
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