Aula 5 - Desconto Composto

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Matemática Financeira – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Matemática Financeira – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
 
AULA 5 - DESCONTO COMPOSTO 
 
Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor 
futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido 
em função de cálculo exponenciais. 
No caso do desconto simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos 
títulos, tantas vezes quantos forem os períodos unitários. Já no caso do desconto composto, 
para 6 períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor futuro 
do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor do desconto 
correspondente ao primeiro período; no terceiro período, sobre o valor futuro do título menos 
os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim 
sucessivamente até o enésimo período. O desconto composto tem mais importância teórica 
do que prática, sendo menos utilizado. 
 
Desconto Composto Comercial (ou “por fora”) 
 
O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto 
sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos 
em períodos anteriores. 
Seguem as fórmulas: 
 
73 = 8[1 − (1 − :)4] 
 
 
63 = 8(1 − :)4 ou 	63 = 8 −73 
 
 
8 = 63(1 − :)54 
 
Desconto Composto Racional (ou “por dentro”) 
 
 O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo as 
conhecidas relações do regime de juros compostos. Assim sendo, o desconto composto 
racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do 
vencimento. Seguem as fórmulas: 
 
76 = 8[1 − (1 + :)54] 
 
 
66 = 8(1 + :)54 ou 66 = 8 −76 
 
 
8 = 66(1 + :)4 
 
Exemplo: Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do 
vencimento à taxa de desconto comercial composto de 5% ao trimestre. 
 
Solução 
1 ano = 4 trimestres, ? = 	20.000, 5	 = 	5%	 = 	0,05 
 
63 = 8(1 − :)4 
 
63 = 20000. (1 − 0,05)$ = 20000. (0,95)$ = 20000	. 0,81450625 
 
-+ = C$*E. FGH, *I 
 
 
 
 
Exercício 1: Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu 
vencimento por R$ 16.290,13, à taxa de desconto comercial composto de 5% ao trimestre? 
(R.: 20.000,01) 
 
Exercício 2: Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de 
R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. (R.: 2.955,00) 
 
Exercício 3: Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de 
R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. (R.: 2870,20) 
 
Exercício 4: Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a 
uma taxa racional de 10% a.m., determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00? 
(R.: 16.504,40) 
 
Exercício 5: Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à 
taxa composta de 4% a.m., 3 meses antes de seu vencimento? (R.: 88.899,64) 
 
Exercício 6: Calcule o desconto composto comercial de um título de R$1988,50, em uma 
antecipação de 3 meses a uma taxa de desconto de 2,5% a.m. (R.: R$145,44) 
 
Exercício 7: Qual o valor atual (que deve ser pago) de uma dívida cujo valor nominal é de 
R$4296,30 no caso de uma antecipação de 6 meses e uma taxa de desconto racional de 
3,2% a.m.? (R.: R$3.556,45) 
 
Exercício 8: Calcule o valor nominal comercial de um título que, pago em uma antecipação 
de quatro meses, a uma taxa de desconto de 2,2% a.b. (a.b. = ao bimestre). Considere em 
seus cálculos um valor atual, Ac, de R$7840,00. (R.: R$8196,69) 
 
Exercício 9: Determine o desconto racional de um título de R$5812,35 pagos em uma 
antecipação de um ano e meio, considerando uma taxa de desconto de 2,8% a.t. (a.t. = ao 
trimestre). (R.: R$887,50) 
 
Exercício 10: Compare os descontos compostos comercial e racional para um título de 
R$8.000,00 pagos em uma antecipação de 9 meses, a uma taxa de desconto – para os dois 
casos – de 6% a.m. Discuta seus resultados e tire conclusões.