Altimetria

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DESCRIÇÃO
Conceituação de levantamentos topográficos altimétricos.
PROPÓSITO
Compreender sobre os conceitos teóricos e práticos de levantamentos topográficos
altimétricos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar levantamentos altimétricos, métodos e equipamentos
MÓDULO 2
Descrever curvas de nível e suas aplicações
MÓDULO 3
Descrever modelos digitais de terreno
ALTIMETRIA
MÓDULO 1
 Identificar levantamentos altimétricos, métodos e equipamentos
CONCEITOS DE LEVANTAMENTOS
ALTIMÉTRICOS
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos apresentar os conceitos de levantamentos altimétricos, analisando as
diferenças entre cota e desnível, os tipos de nivelamentos e procedimentos de campo.
Estudaremos o nivelamento simples e composto e equipamentos utilizados na altimetria.
ALTIMETRIA
A altimetria é a técnica de determinação das altitudes ou cotas. É a parte da Topografia que
trata dos métodos e instrumentos empregados no estudo e na representação do relevo da
Terra.
A determinação de altitudes é uma atividade fundamental para a Engenharia e pode ser
aplicada, por exemplo, em projetos de redes de esgoto, de cabeamento, de estradas,
planejamento urbano, entre diversos outros.
Primeiramente, vamos definir os conceitos de cota e altitude:
COTA
É a distância medida ao longo da linha vertical de um ponto até um plano de referência
arbitrário.
ALTITUDE
É a distância medida ao longo da linha vertical entre um ponto na superfície da Terra e o nível
médio dos mares (superfície de referência altimétrica).
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Definição de altitude, cota e desnível.
A altitude, como representada na figura e referenciada ao geoide (Nível médio do mar) , é
denominada altitude ortométrica (
).
 SAIBA MAIS
Atualmente, com o uso do Global Navigation Satellite System (GNSS), comparece também a
altitude geométrica (
), que é a distância do ponto na superfície física até o elipsoide, contada sobre a linha normal.
As representações de vertical e de normal podem ser vistas na figura a seguir:
H
h
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Representação das linhas vertical e normal.
A linha vertical pode ser materializada pelo fio de prumo, é perpendicular ao geoide e aponta
para o centro de massa da Terra (geocentro).
A linha normal é perpendicular ao elipsoide (figura geométrica da Terra).
 ATENÇÃO
Os levantamentos topográficos altimétricos estarão sempre vinculados à linha da vertical e
pode-se dizer que as altitudes determinadas são as altitudes ortométricas.
A determinação da cota ou altitude de um ponto é obtida a partir da observação do desnível (
) entre os pontos. Logo, conhecendo-se o valor da altitude (
) de um ponto de referência, as altitudes dos demais podem ser calculadas utilizando os
desníveis observados:
△H
H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESNÍVEL POSITIVO
Se o ponto B estiver mais “alto” que o ponto A, o valor do desnível será positivo.
DESNÍVEL NEGATIVO
Se o ponto A estiver mais “alto” que o ponto B, o valor do desnível será negativo.
As altitudes determinadas podem ser vinculadas à rede de controle vertical do Brasil,
conhecida como rede altimétrica de alta precisão (RAAP).
 VOCÊ SABIA
Essa rede pertencente ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é estabelecida e mantida pelo
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
A rede vertical é um conjunto de pontos materializados no terreno (referência de nível = RN)
identificados por uma coordenada (altitude) determinada a partir do ponto origem (datum
vertical).
Com o desenvolvimento da geodésia espacial e do posicionamento por satélites, as redes
geodésicas são obtidas em sua forma tridimensional, envolvendo coordenadas geodésicas
cartesianas X, Y e Z, posteriormente transformadas matematicamente para as coordenadas
geodésicas curvilíneas: latitude, longitude e altitude geométrica (
,
HA = HB + △HAB
φ
λ
e
). Se a separação entre geoide e elipsoide (ondulação geoidal) for conhecida, pode-se
relacionar a altitude geométrica com a ortométrica.
HISTÓRICO DA REDE ALTIMÉTRICA DO
BRASIL
Assim como os demais tipos de coordenadas geodésicas, as altitudes ortométricas das
referências de nível (RN ou RRNN para o plural de RN) do SGB são periodicamente
recalculadas, em função da incorporação de novas observações, correção de inconsistências e
utilização de novas técnicas de observação e cálculo.
As altitudes dos pontos que fazem parte da rede vertical são determinadas utilizando o
nivelamento geométrico de alta precisão e posterior ajustamento de observações pelo método
dos mínimos quadrados (MMQ).
Trata-se de procedimento geodésico lento e complexo, em função da precisão requerida e da
quantidade de estações/vértices envolvidos, considerando a dimensão continental do Brasil.
As RRNN são materializadas por pilares de concretos com placas de metal fixada e localizadas
em pontos notáveis, tais como: obras de arte, monumentos, estações ferroviárias ou
rodoviárias, igrejas, escolas etc. Veja uma RN:
h
 
Imagem: Shutterstock.com
 Exemplo de uma RN da rede vertical do SGB.
Até meados de década de 1990, as observações da RAAP eram ajustadas de forma a
particionar a rede altimétrica em vários circuitos. Dessa forma, desde 2005, o IBGE tem
trabalhado com o objetivo de realizar um novo ajustamento, mas desta vez de forma
simultânea — ou seja, com todos os dados processados em um único circuito e um único
sistema de equações no MMQ.
Para tanto, foi utilizado o software canadense denominado Geodetic Adjustment Using Helmert
Blocking of Space and Terrestrial Data (GHOST), que permite o ajustamento simultâneo de
grandes redes geodésicas. O software GHOST possibilita o ajustamento de redes geodésicas
a partir de dois métodos:
MÉTODO PADRÃO
Para redes de porte médio e menores, até aproximadamente 15 mil observações, onde não há
necessidade da decomposição em blocos.
DIVISÃO POR BLOCOS DE HELMERT
Para grandes redes, como o ajustamento com todas as observações da RAAP.
Acompanhe o processo de instalação da rede altimétrica no país:

OUTUBRO DE 1945
Iniciaram-se os levantamentos por nivelamento geométrico de alta precisão do IBGE,
realizados pela Seção de Nivelamento (SNi) da Divisão de Cartografia (DC), culminando no
surgimento da rede altimétrica do SGB.
DEZEMBRO DE 1946
A rede altimétrica foi conectada à Estação Maregráfica de Torres, no Rio Grande do Sul,
permitindo, assim, o cálculo das altitudes das RRNN já implantadas, dotando o Brasil de uma
estrutura altimétrica fundamental destinada ao apoio de mapeamento e suporte às grandes
obras de engenharia, tais como barragens, pontes, viadutos, rodovias, de saneamento básico
etc.


1958
Quando a rede contava com aproximadamente 30.000km de linhas de nivelamento, houve a
substituição do Datum Torres pelo Datum Imbituba, definido pela Estação Maregráfica de
Imbituba, localizada no município de mesmo nome, no estado de Santa Catarina.
Grande parte da rede altimétrica está conectada ao Datum Imbituba, mas, devido à
impossibilidade de estabelecimento de RRNN no entorno do baixo Rio Amazonas, a pequena
porção da rede altimétrica existente no estado do Amapá (veja a figura a seguir) não pôde ser
conectada, levando à utilização do nível médio do mar no Porto de Santana entre 1957 e 1958,
originando o Datum Santana.
 
Imagem: IV SIMPÓSIO BRASILEIRO DE CIÊNCIAS GEODÉSICAS E TECNOLOGIAS DA
GEOINFORMAÇÃO, 2012, p. 3.
 Rede altimétrica do SGB com os pontos datum Imbituba e Santana.

2005
No ajustamento da RAAP em 2005, não foi necessária a divisão dos dados em blocos de
Helmert, pois foram ajustadas somente as RRNN das linhas principais, algo de
aproximadamente 15 mil estações de RN.
2006
Foram inseridas no ajustamento todas as linhas (principais e internas) e, em função do grande
número de estações das linhas internas, aproximadamente 36 mil,foi necessária a divisão da
rede utilizando o método de blocos de Helmert.


JANEIRO DE 2009
Após as críticas e inserções de novas linhas, os dados totalizavam 69.102 RRNN entre 1.648
linhas e 2.175 ramais, sendo que 550 RRNN, menos de 1% da rede, foram desconsideradas
por apresentarem inconsistências não solucionáveis para esse ajustamento.
2011
Foram realizadas as análises dos resultados, cujos arquivos de entrada do ajustamento
possuíam as estatísticas compiladas na tabela a seguir.

Estações de ajustamento 69.590
Estações fixas 2
Desníveis observados 74.169
Graus de liberdade do ajuste 4.579
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Informações do ajustamento da rede altimétrica brasileira.
Extraída de IBGE (2018).
O ajustamento mais recente da RAAP é de 2018 e, na atualidade, o IBGE realiza
procedimentos para se integrar ao sistema internacional de altitudes, denominado International
Height Reference System (IHRF). A situação atual da rede altimétrica do Brasil pode ser vista
na figura a seguir:
 
Imagem: IBGE (2018).
 Rede altimétrica atual do SGB.
MÉTODOS DE NIVELAMENTO
O método para determinação da cota é denominado nivelamento, o qual pode ser classificado
por tipo: barométrico; trigonométrico ou geométrico.
A aplicação de determinado tipo de nivelamento vai depender da precisão requerida na
determinação das altitudes.
Veja os tipos de nivelamento a seguir:
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Realizado com base em nível de luneta e miras graduadas. Atualmente, tem-se aparelhos
digitais capazes de ler miras dotadas de código de barras. Esse método pode ser aplicado para
fins topográficos ou geodésicos. No caso da geodésia, utilizam-se equipamentos mais
aperfeiçoados, com aplicação das devidas correções da geodésia. No Brasil, esse método foi
usado nos levantamentos altimétricos de alta precisão que se desenvolveram ao longo de
rodovias e ferrovias.
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
Baseia-se em relações trigonométricas com leitura de ângulos verticais e distâncias utilizando
teodolitos ou estações totais. Trata-se de um método menos preciso que o nivelamento
geométrico e fornece apoio altimétrico para os trabalhos topográficos, podendo ser utilizado
também para determinar a altitude de pontos inacessíveis.
NIVELAMENTO BAROMÉTRICO
Baseia-se na relação inversamente proporcional entre pressão atmosférica e altitude. É o de
mais baixa precisão, usado em regiões onde é impossível utilizar os métodos aqui descritos ou
em casos de urgência.
Quando houver a necessidade de levantamentos altimétricos de baixa precisão
(levantamentos expeditos), pode-se utilizar a mangueira de nível aplicada na construção civil
com a adoção de uma superfície de referência arbitrária.
O nivelamento geométrico é o mais aplicado na prática em função da precisão proporcionada.
Baseia-se na leitura de miras graduadas com o nível de luneta ou também chamado de nível
de precisão.
NÍVEL DE PRECISÃO
Consiste em uma luneta de alta potência (ampliação de 20 a 45 vezes) com um nível de bolha
fixado. Quando o equipamento está nivelado sobre uma base, permite definir de forma precisa
um plano horizontal ortogonal à vertical do lugar, definido pelo eixo principal do equipamento.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Esquema de um nível de precisão.
As principais partes de um nível são:
Luneta
Nível de bolha
Sistemas de compensação (para equipamentos automáticos)
Dispositivos de calagem
Os níveis podem ser classificados segundo a NBR 13133, quanto ao seu desvio-padrão de
1km de duplo nivelamento, como informa a tabela:
Classes de níveis Desvio-padrão
Classes de níveis Desvio-padrão
1 - Precisão baixa > ± 10 mm/km
2 - Precisão média ≤ ± 10 mm/km
3 - Precisão alta ≤ ± 3 mm/km
4 - Precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classificação dos níveis segundo seu desvio-padrão.
Extraída de ABNT (1994).
Atualmente, podem-se utilizar aparelhos mais modernos para o nivelamento, como o nível
digital eletrônico, um equipamento que possui compensador capaz de auxiliar no
nivelamento, além de capacidade de leitura eletrônica de mira dotada de código de barra.
 EXEMPLO
Outros equipamentos usados em trabalhos de nivelamento são as miras graduadas ou
estadimétricas, sapatas, trenas, piquetes, entre outros.
Diversos modelos de miras podem ser encontrados, sendo as mais comuns aquelas fabricadas
em madeira, alumínio ou fibra de vidro, em modelos dobráveis ou retráteis.
As miras são réguas graduadas com valores de metros, decímetros, centímetros e milímetros,
onde cada espaço em branco ou preto corresponde a um centímetro. Os decímetros são
indicados ao lado da escala centimétrica.
No exemplo a seguir, o número 6 corresponde a 6 decímetros, ou 60cm e a escala métrica é
representada pelo círculo na cor vermelha (1m).
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Exemplo de medida dos fios estadimétricos.
CLASSIFICAÇÃO DOS LEVANTAMENTOS
DE NIVELAMENTO
Os nivelamentos podem ser especificados pela sua ordem:
PRIMEIRA ORDEM
São nivelamentos mais precisos e realizados para redes nacionais de controle vertical primário,
além de levantamentos de áreas metropolitanas e para estudos científicos.
SEGUNDA ORDEM
É menos preciso que o de primeira ordem e usado para densificar redes e para controle em
áreas urbanas. Podem ser utilizados para projetos de construção, rodovias, reservatórios e
monitoramento da crosta terrestre.
TERCEIRA ORDEM
É relativamente menos preciso que o de segunda ordem, sendo utilizados para pequenos
projetos de engenharia, plantas topográficas de pequena escala e levantamentos de limites.
Classe do nivelamento Erro de fechamento esperado (k em km)
1ª Ordem
2ª Ordem
3ª Ordem
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Classe de Nivelamentos.
Extraída de McCormac et al. (2016).
NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO
É aquele no qual são observados ângulos e distância, e a cota de um ponto é obtida com base
na resolução de um triângulo retângulo.
Dessa forma, é necessário coletar em campo informações relativas à distância (horizontal ou
inclinada) e aos ângulos (verticais ou zenitais), além da altura do instrumento e do alvo, seja
ele um refletor ou uma mira.
≤ 4 mm √K
≤ 6 a 8 mm √K
≤ 12 mm √K
A figura a seguir mostra um teodolito no ponto A observando um alvo no ponto B, onde temos a
distância inclinada (
) e o ângulo zenital (
). A altura do instrumento é dada por
e tem-se ainda na figura, a distância horizontal (
), a altura do alvo (
) e a distância vertical (
).
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Nivelamento trigonométrico.
Na figura, verifica-se que:
di
Z
hi
dh
hs
DV
dv + hi = hs + △hAB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
OU AINDA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo ** em *, temos o seguinte:
⇒ △hAB = hi − hs + dv
∗
tg (Z) =
dh
dv
⇒ dv = = dh . cotg (Z)
dh
tg (Z)
dv = di. cos(Z)∗∗
△hAB = hi − hs + [dh. cotg(Z)]
OU
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
É o método mais preciso para determinar altitudes, sendo utilizado pela geodésia e topografia
para a determinação das altitudes ortométricas de pontos na superfície física da Terra.
Os procedimentos de campo envolvem um nível óptico devidamente instalado e nivelado sobre
um tripé com as leituras estadimétricas de uma mira no ponto ré (leitura ré) e outra mira no
ponto vante (leitura vante), como exemplificado a seguir para o caso de nivelamento simples:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Observações no lance de nivelamento geométrico simples.
Na figura, verifica-se que o desnível
pode ser calculado a partir de:
△hAB = hi − hs + [di. cos(Z)]
△hAB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aleitura se refere à observação do fio médio (
) da luneta do nível de precisão.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Mira e fios estadimétricos.
Logo, o desnível é calculado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
△hAB = Leitura Ré − Leitura V ante
FM
△hAB = FMré − FMvante
 ATENÇÃO
É muito importante que o nível esteja situado em igual distância de cada uma das miras (ré e
vante).
O nível, porém, não precisa necessariamente estar no mesmo alinhamento das miras,
conforme imagem com vista superior:
 
Imagem: Fundamentos de topografia, Veiga et al, 2012, p. 202.
 Nível à igual distância das miras.
O nivelamento é denominado composto quando há a necessidade de instalar o nível mais de
uma vez durante o circuito ou seção de nivelamento.
 
Imagem: Fundamentos de topografia, Veiga et al, 2012, p. 204.
 Nivelamento Composto.
Veja algumas definições relacionadas ao nivelamento:
VISADA
Leitura efetuada sobre a mira.
LANCE
É a medida direta do desnível entre duas miras verticais.
SEÇÃO
É a medida do desnível entre duas RRNN, obtida pela soma algébrica dos desníveis dos
lances.
LINHA DE NIVELAMENTO
É o conjunto das seções compreendidas entres duas RRNN chamadas principais.
CIRCUITO DE NIVELAMENTO
É a poligonal fechada constituída de várias linhas justapostas. Pontos nodais são as RRNN
principais, às quais concorrem duas ou mais linhas de nivelamento.
REDE DE NIVELAMENTO
É a malha formada por vários circuitos justapostos.
EXECUÇÃO NO NIVELAMENTO
GEOMÉTRICO
O nivelamento geométrico é realizado com o nível situado em um ponto entre as miras ré e
vante, de modo que as distâncias sejam equidistantes, sendo o ideal de no máximo 60m, para
efetuar a compensação do efeito da curvatura terrestre e da refração atmosférica.
 DICA
Em função dos efeitos de reverberação, as visadas nas miras devem ser efetuadas com
distância de 50cm acima do solo.
Para minimizar o erro de índice, a mira posicionada no ponto ré deve ser levada adiante para o
próximo lance e se torna vante, e assim sucessivamente.
Em muitos casos, o nivelamento é feito em dois sentidos, ou seja, nivelamento e
contranivelamento, o que garante maior confiabilidade.
Todas as anotações de campo são feitas em uma caderneta (veja o modelo a seguir):
Ponto visado Distância ré
Leituras estadimétricas
Distância vante
Fio nivelador
Desnível
Ré Vante Ré Vante
Ponto visado Distância ré
Leituras estadimétricas
Distância vante
Fio nivelador
Desnível
Ré Vante Ré Vante
FS:
FM:
FI:
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Quadro: Modelo de caderneta de campo utilizada no levantamento altimétrico.
Elaborado por Haroldo Antonio Marques.
CÁLCULO DO DESNÍVEL
Já vimos que a equação para o cálculo do desnível é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as altitudes dos pontos inicial e final sejam conhecidas, o erro de
fechamento altimétrico (
) é dado por:
△hAB = FMré(A) − FMvante(B)
eH
eH = (HF − HI) − ∑△H
Em que:
– Altitude da RN de chegada
– Altitude da RN de partida
– Somatório dos desníveis calculados
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O erro encontrado deve estar abaixo de uma tolerância estabelecida, normalmente dada por:
TOLERÂNCIA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
dado em quilômetros.
 SAIBA MAIS
Na prática, costuma-se adotar o valor de
como sendo a média da distância percorrida durante o nivelamento e contranivelamento.
HF
HI
∑△H
= x(mm)√k
k
k
Seguindo a NBR13133, o nivelamento geométrico pode ser classificado em função da
tolerância:
Classe I: 12
Classe II: 20
A compensação dos erros é calculada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é o número de estações envolvidas no levantamento altimétrico.
A altitude de um ponto
pode ser calculada pela soma da altitude do ponto anterior
com o desnível entre esses pontos e a compensação
:
mm√k
mm√k
cH =
eH
n
n
Hi+1
Hi
cH
Hi+1 = Hi + △Hi−i+1 + cH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
A COTA É A DISTÂNCIA DE UM PONTO NA SUPERFÍCIE ATÉ O:
A) Geoide
B) Elipsoide
C) Plano topográfico
D) Nível de referência arbitrário
E) Nível ortométrico
AO USAR O NÍVEL DO MAR COMO REFERÊNCIA, A ALTITUDE
DETERMINADA NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO ESTÁ RELACIONADA
COM A:
A) Cota
B) Altitude geométrica
C) Altitude vertical
D) Altitude ortométrica
E) Altitude direta
GABARITO
A cota é a distância de um ponto na superfície até o:
A alternativa "D " está correta.
Cota é a distância medida ao longo da linha vertical de um ponto até um plano de referência
arbitrário.
Ao usar o nível do mar como referência, a altitude determinada no nivelamento
geométrico está relacionada com a:
A alternativa "D " está correta.
A altitude determinada no nivelamento é a ortométrica, uma vez que seja utilizado o nível
médio do mar como referência.
MÓDULO 2
 Descrever curvas de nível e suas aplicações
CURVAS DE NÍVEIS
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos estudar sobre as propriedades de curvas de nível, procedimentos de
interpolação, cálculo de declividade e a geração de perfil longitudinal e transversal.
DEFINIÇÃO DE CURVA DE NÍVEL
Curvas de nível ou isolinhas são linhas sinuosas fechadas que ligam pontos do terreno com
mesmo valor de cota ou altitude. Elas são formadas a partir da interseção de vários planos
horizontais com a superfície do terreno.
 
Imagem: Shutterstock.com
 Curvas de nível.
Note que quanto mais afastadas as curvas de nível, menor é a declividade, ou seja, menos
íngreme é o terreno. E quanto mais próximas as curvas, maior é a declividade do local.
Os planos horizontais de interseção são sempre paralelos e equidistantes. A diferença de cota
ou altitude entre duas curvas de nível é denominada de equidistância vertical, obtida em
função da escala da carta, tipo do terreno e precisão das medidas altimétricas.
Alguns exemplos de escalas e de equidistâncias adotadas são apresentados na tabela a
seguir:
Escala Equidistância
1:500 0,25 a 0,50m
Escala Equidistância
1:1000 1,00 m
1:2000 2,00 m
1:5000 5,00 m
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela: Escala e equidistância.
Elaborada por Haroldo Antonio Marques.
PROPRIEDADES DAS CURVAS DE NÍVEL
As curvas de nível, segundo seu traçado, são classificadas da seguinte forma:
CURVAS MESTRAS
São todas as curvas múltiplas de 5 ou 10 metros e nos desenhos são representadas com traço
mais grosso.
CURVAS INTERMEDIÁRIAS OU SECUNDÁRIAS
Todas as curvas múltiplas da equidistância vertical, excluindo-se as mestras.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curvas primárias e secundárias.
 ATENÇÃO
As curvas de nível devem ser numeradas para que seja possível a sua leitura.
 
Imagem: Fundamentos de topografia, Veiga et al, 2012, p. 255.
 Numeração das curvas de nível.
Outras propriedades das curvas de nível são:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curvas de nível nunca se cruzam.
As curvas de nível nunca se cruzam, caso contrário resultaria num único ponto com duas
altitudes diferentes.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curvas não se encontram e continuam em uma única.
Duas curvas de nível não se encontram e continuam em uma única curva.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curva não desaparece.
Uma curva não desaparece repentinamente.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curvas de nível são linhas suaves.
As curvas de nível são lisas, ou seja, não apresentam cantos ou movimentos bruscos.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Curvas em torno do curso d’água.
As curvas de nível não atravessam perpendicularmente um curso d’água, como um rio. As
curvas acompanham o leito do rio no sentido inverso das águas e a atravessam descrevendo
umV e retornam pela margem oposta.
GERAÇÃO DE CURVA DE NÍVEL
A geração de curvas de nível ocorre a partir das cotas ou altitudes dos pontos. As coordenadas
planimétricas são importantes nessa etapa, visto que permitem posicionar os pontos com cotas
conhecidas no plano ou mapa a ser gerado. As curvas de nível proporcionarão melhor
representatividade do terreno em função de um número maior de pontos levantados no terreno.
A curva de nível é gerada a partir da interpolação de cotas usando dois pontos com cotas
conhecidas.
 EXEMPLO
Considere uma grade regular de 20m com pontos de cotas conhecidas (figura abaixo), em que
se deseja gerar a curva de nível na cota 4,60.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Grade regular com pontos de cotas conhecidas.
SOLUÇÃO
Podemos utilizar a regra de semelhança de triângulos para obter a distância da curva de nível
4,60 ao ponto P1.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Interpolação da curva de nível.
(4, 75 − 4, 50) → 20 m
(4, 60 − 4, 50) → x
javascript:void(0)
ENTÃO, TÊM-SE:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a curva de nível 4,60 está localizada a 8m do ponto P1. Esse procedimento pode ser
aplicado para todos os pontos envolvidos.
DECLIVIDADE
Declividade ou gradiente entre os pontos do terreno é a relação entre o desnível vertical
e a distância horizontal
entre eles.
EM PORCENTAGEM:
EM GRAUS:
x = = 8m
20 m . (4, 60 − 4, 50)
(4, 75 − 4, 50)
(△H)
(dh)
d% =
△H
dh
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONSTRUÇÃO DE PERFIS
O perfil é a representação gráfica do nivelamento e uma forma de representar o relevo do
terreno. A finalidade do perfil é o estudo do relevo a partir das curvas de nível e proporciona a
realização de atividades como a locação de rampas de determinada declividade em projetos de
engenharia: edificações, linhas de transmissão, gasodutos, trabalhos de terraplanagem
envolvendo o corte e aterro, entre outros.
O perfil de uma linha no terreno pode ser:
LONGITUDINAL
Determinado ao longo do perímetro de uma poligonal ou ao longo de seu maior afastamento.

TRANSVERSAL
Determinado ao longo de uma faixa do terreno e perpendicular à longitudinal.
d∘ = arctg( )△H
dh
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Perfil longitudinal.
O perfil transversal é muito aplicado para o caso de estradas, onde em uma seção transversal
típica tem-se os offsets (esquerdo e direito), cotas do terreno natural (eixo central e
intersecções talude-plataforma), larguras da plataforma, entre outros, como exemplificado a
seguir:
 
Imagem: FEC, UNICAMP, p. 5.
 Seção transversal de uma estrada.
Para o desenho do perfil é necessário conhecer as distâncias entre os pontos medidos no
terreno e a diferença de nível entre eles.
EIXO X
São representadas as distâncias horizontais no terreno, no eixo X.
EIXO Y
São representados os valores correspondentes às diferenças de nível, cotas ou altitudes, no
eixo Y.
Os valores das distâncias horizontais no terreno são geralmente maiores que as distâncias
verticais
, e, por esta razão, utilizam-se escalas diferentes em
e
no desenho do perfil com o objetivo de realçar o relevo do terreno. Tradicionalmente, adota-se
a escala vertical (altitudes) dez vezes maior que a escala horizontal (distâncias).
VERIFICANDO O APRENDIZADO
QUANDO AS CURVAS DE NÍVEL ESTÃO MAIS AFASTADAS IMPLICA
DIZER:
A) Menor declividade
(△H)
X
Y
B) Equidistância
C) Menor escala
D) Que a curva é secundária
E) Que a curva é contínua
OS TIPOS DE PERFIS SÃO CONHECIDOS COMO:
A) Longitudinal e lateral
B) Longitudinal e vertical
C) Longitudinal e transversal
D) Longitudinal e tangencial
E) Longitudinal e diagonal
GABARITO
Quando as curvas de nível estão mais afastadas implica dizer:
A alternativa "A " está correta.
Quanto mais afastadas as curvas de nível, menor é a declividade, ou seja, menos íngreme é o
terreno.
Os tipos de perfis são conhecidos como:
A alternativa "C " está correta.
O perfil topográfico pode ser o longitudinal e o transversal.
MÓDULO 3
 Descrever modelos digitais de terreno
PROCEDIMENTOS PARA A GERAÇÃO DE
MDT
INTRODUÇÃO
Neste tópico, vamos estudar sobre a geração de MDT, envolvendo procedimentos de
triangulação, além de aplicações, como o cálculo de volumes.
MODELAGEM DIGITAL DE TERRENO (MDT)
O MDT consiste na representação de seu relevo utilizando informações altimétricas e
ferramentas computacionais. Os dados de MDT são de fundamental importância em aplicações
de geoprocessamento desenvolvidas no ambiente de um sistema de informações geográficas
(SIG).
O MDT também pode ser usado para representar a variabilidade de fenômenos que ocorrem
em determinada região.
Na literatura, comparecem os termos MDT e MNE ou MNT, sendo que:
MDT
Trata apenas as informações referentes ao terreno que está sendo modelado.

MNE
Representa também informações contidas na superfície, como edificações, vegetações etc.
As aplicações do MDT são diversas e podemos citar:
Análise de informações altimétricas na topografia.
Cálculo de volume de corte e aterro para projetos de engenharia.
Geração de mapas de declividade, de drenagem e curva de nível.
Análise geomorfológica, geofísica e geoquímica etc.
Os dados para a geração do MDT são representados pelas coordenadas
,
e
, em que
é o parâmetro a ser modelado sendo função de
e
:
X
Y
Z
Z
X
Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A componente
pode ser a cota, altitude ou outra variável de interesse. Os dados altimétricos são geralmente
adquiridos segundo uma distribuição regular ou irregular no plano
.
A aquisição de cotas e altitudes é feita por levantamentos altimétricos, digitalização de mapas,
levantamentos fotogramétricos (modelos estereoscópicos), batimetria, levantamentos por
Global Navigation Satellite System (GNSS), entre outros.
Os dados altimétricos podem ser dispostos em grades com espaçamento regular ou irregular,
como exposto a seguir:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Grade regular (a) e irregular de pontos (b).
A grade regular pode ser gerada a partir de uma amostra de pontos distribuídos irregularmente.
Nesse caso, aplicam-se procedimentos de interpolação, sendo que os mais utilizados são
vizinho mais próximo, média simples, média ponderada etc.
Z = f(X,Y )
Z
XY
A tarefa de geração de MDT envolve procedimentos de triangulação e pode ser realizada a
partir de softwares de topografia, CAD ou outros. A determinação altimétrica dos pontos de
entrada é necessária para a geração do modelo.
TRIANGULAÇÃO DE PONTOS PARA
GRADES IRREGULARES
Os pontos levantados pela altimetria geralmente contam com uma distribuição irregular no
terreno, embora seja possível definir uma malha regular desde que o terreno não seja muito
acidentado.
Na prática, selecionam-se os pontos notáveis do relevo, ou seja, pontos de inflexão do relevo,
pontos sobre linhas de descontinuidade do relevo etc.
Uma forma de densificar o número de pontos e, consequentemente, realizar a geração
automática de curvas de nível ou MDT é a partir de processos de triangulação.
 
Imagem: Fundamentos de topografia, Veiga et al, 2012, p. 265.
 Triangulação para a geração de curvas de nível.
As malhas de triângulos com dimensões variáveis definidas sobre amostras de pontos
distribuídos de forma irregular, associadas a algoritmos de interpolação local, constituem os
chamados modelos com triangulação irregular, também conhecidos como modelos
Triangulated Irregular Network (TIN).
 DICA
Durante a triangulação, é preciso atenção para formar os triângulos entre os pontos mais
próximos e evitar triângulos com ângulos agudos.
Existem técnicas e modelos que visam otimizar a formação dos triângulos, como a
triangulação de Delaunay, um dos métodos mais conhecidos e que maximiza o menor dos
ângulos, garantindo uma triangulação o mais equiangular possível.
O problema de triangulação de uma nuvemde pontos é que não possui unicidade, ou seja, é
possível obter diferentes triangulações a partir do conjunto de pontos, sendo cada uma delas
com
triângulos e
arestas, sendo
o número de pontos na fronteira da triangulação.
Na figura a seguir pode-se observar duas triangulações de um mesmo conjunto de pontos.
 
Imagem: Piteri et al., 2007, p. 667.
 Triangulação que não satisfaz o critério de otimização de Delaunay (a); triangulação de
Delaunay (b).
2(n − 1) − k
3(n − 1) − k
k
Na figura a seguir, pode-se ver um conjunto de pontos sobre a superfície do terreno e
projetados ortogonalmente sobre um plano com a respectiva triangulação de Delaunay.
 
Imagem: Piteri et al., 2007, p. 667.
 Pontos projetados ortogonalmente (a) e triangulação de Delaunay (b).
Verifica-se que a estrutura topológica da triangulação é preservada no espaço, e a inserção
da informação altimétrica (cota ou altitude) proporciona uma superfície aproximada
linearmente por partes.
CÁLCULO DE VOLUME USANDO SEÇÕES
TRANSVERSAIS
O problema fundamental em terraplenagem consiste na planificação de um terreno, ou seja,
aplanar as suas irregularidades, envolvendo o corte e aterro de elevações e baixadas,
respectivamente.
Existem duas possibilidades:
1. No primeiro caso, deseja-se uma compensação de terras, isto é, uma igualdade entre o
volume de corte e aterro, e a altitude do terreno planificado será função exclusiva da
configuração do terreno.
2. No segundo caso, deseja-se a planificação numa altitude prefixada, caso em que os volumes
de corte e aterro são diferentes, o que determina a falta ou a sobra de terra (se o volume de
corte for maior que o de aterro, sobrará terra; caso contrário, faltará).
O cálculo do volume pode ser feito a partir da seção transversal, onde cada seção pode ser
composta de figuras como trapézios e/ou triângulos.
Considere a figura a seguir representando o terreno com as seções transversais
e
, onde as cotas são conhecidas para cada vértice da malha.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Terreno para o cálculo de volume.
A seção transversal é representada abaixo:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Seção transversal para o cálculo de volume.
S1
S2
Em que:
,
e
são diferenças de nível entre o terreno e o plano de referência
e
são áreas componentes das seções
é a distância conhecida no plano de referência
As áreas componentes das seções podem ser calculadas por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a1
a2
a3
S ′
S”
l
S ′ = . l
a1 + a2
2
S "= . l
a2 + a3
2
A área da seção transversal
vai ser calculada a partir da soma de
e
:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O mesmo procedimento é feito para a seção transversal
.
Conhecendo-se a área das seções transversais, pode-se calcular o volume de terras
compreendidas entre elas.
Considera-se o volume de um prisma quando
, dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um tronco piramidal, em que
S1
S ′
S”
S1 = S
′
+ S
′′
S2
S1 ≈ S2
V = l
S1 + S2
2
, o volume é calculado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Vamos calcular o volume de corte quando o projeto exige um plano de referência na cota 3,
considerando as seguintes informações do terreno:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Terreno com as seções A e B.
O terreno possui cotas nas seções A e B com as áreas representadas por
e
S1 ≠ S2
V = (S1 + S2 + √S1.S2)
l
3
S1
S2
. A seção A pode ser vista na figura a seguir com o plano de referência na cota 3, onde se
deseja calcular o volume de corte:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Seção transversal A.
O cálculo das áreas componentes da seção A pode ser feito a partir de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área
é dada por:
s1 = .10 = 17, 5 m2
1, 4 + 2, 1
2
s2 = .10 = 23, 5 m2
2, 1 + 2, 6
2
S1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o mesmo procedimento para a área
, obtemos o valor de
. Logo, o volume de corte será calculado a partir de:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VOLUME IGUAL DE CORTE E ATERRO
Para os casos em que se deseja que o volume de corte seja igual ao de aterro, utiliza-se o
método das alturas ponderadas.
Considere a seguinte quadrícula regular no terreno:
S1 = s1 + s2 = 41 m2
S2
S2 = 20 m2
V = (S1 + S2 + √S1.S2) = (41 + 20 + √41.20)
l
3
10
3
∴ V = 298, 79 m3
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Quadrícula regular para cálculo de corte e aterro.
O terreno é considerado reto entre dois pontos de altitudes conhecidas (vértices do quadrado).
Logo, podemos considerar a altitude média do quadrado como sendo a média aritmética das
altitudes dos seus quatro vértices.
Considerando que todos os quadrados são iguais, podemos adotar a altitude média geral (
) como a média ponderada das altitudes dos vértices pertencentes à quadrícula, com pesos 1,
2, 3 e 4, conforme a distribuição dos pontos em cada quadrícula.
Hm
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
Peso 1: P1 = (A1 + A4 + D4 + D2 + C1).1
Os outros pesos são obtidos por:
Peso 2: P2 = (A2+ A3 + B1 + B4 + C4 + D3).2
Peso 3: P3 = (C2).3
Peso 4: P4 = (B2 + B3 + C3).4
A altura média é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Hm =
P1 + P2 + P3 + P4
∑n
i = 1 pi
é o número de cotas usadas para o cálculo de cada peso vezes o valor do próprio peso.
EXEMPLO
Para o peso P4 foram utilizadas 3 cotas que, multiplicadas pelo peso 4, tornará o valor de
igual a 12.
Vamos exemplificar com uma atividade prática: calcular a cota final para a plataforma horizontal
de forma que os volumes de corte e aterro sejam iguais.
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Grade para o cálculo de volume de corte e aterro. A cor de cada vértice representa o seu
peso.
Efetuando os cálculos:
P1 = (2,2 + 4,4 + 5,2 + 0,8 + 1 + 4,4).1 = 18
P2 = (3,8 + 2,2).2 = 12
P3 = (2 + 4).3 = 18
pi
pi
TÊM-SE:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O volume de corte será igual ao de aterro ao traçar a linha divisória na cota 3. Aplicando os
procedimentos de interpolação de cotas, tem-se:
 
Imagem: Haroldo Antonio Marques.
 Cota final plotada que otimiza o volume de corte igual ao de aterro.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
UM DOS MÉTODOS MAIS CONHECIDOS DE TRIANGULAÇÃO É O DE:
Hm = = 3
18 + 12 + 18
(6.1) + (2.2) + (2.3)
A) Vizinho mais próximo
B) Média simples
C) Delaunay
D) Média ponderada
E) Distância mediana
O CÁLCULO DE VOLUME PODE SER FEITO A PARTIR DE INFORMAÇÕES
DE:
A) Planimetria
B) Seções transversais
C) Forma do terreno
D) Método TIN
E) Declividade
GABARITO
Um dos métodos mais conhecidos de triangulação é o de:
A alternativa "C " está correta.
A triangulação de Delaunay é um dos métodos mais conhecidos e tem por característica
maximizar o menor dos ângulos, garantindo uma triangulação o mais equiangular possível.
O cálculo de volume pode ser feito a partir de informações de:
A alternativa "B " está correta.
O cálculo do volume pode ser feito a partir da seção transversal, onde cada seção pode ser
composta de figuras como trapézios e/ou triângulos.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos, inicialmente, sobre os levantamentos topográficos altimétricos, conceituando
cotas, altitudes, métodos de nivelamento e procedimentos de campo. Estudamos o histórico da
rede altimétrica de alta precisão do Brasil e as equações necessárias para o nivelamento
trigonométrico e geométrico.
No módulo 2, estudamos os conceitos relacionados com as curvas de nível. Apresentamos as
definições e propriedades das curvas de nível, o processo de geração das curvas a partir de
interpolação, o cálculo de declividade e a construção de perfis longitudinais e transversais.Por fim, no módulo 3 vimos o modelo digital de terreno (MDT), conceituando suas aplicações e
formas de obtenção de dados para a geração do MDT. Estudamos o processo de triangulação
de pontos para grades irregulares com destaque para a triangulação de Delaunay. Aprendemos
ainda o cálculo de volume de terras usando seções transversais com apresentação de
exemplos práticos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 13133. Execução de
levantamento topográfico. Rio de Janeiro: ABNT, maio 1994.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14166. Rede de
referência cadastral municipal: procedimentos. Rio de Janeiro: ABNT, ago. 1998.
IBGE – INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Diretoria de Geociências.
Relatório reajustamento da rede altimétrica com números geopotenciais – REALT-2018.
Rio de Janeiro: IBGE, 2018.
GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. Curitiba:
UFPR, 1994. p 319.
MCCORMAC, J.; SARASUA, W.; DAVIS, W. Topografia. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. p
414.
TORGE, W. Geodesy. 3. ed. Berlim: Walter de Gruyter, 2001.
VEIGA, L. A. K. et al. Fundamentos de topografia. Curitiba: UFPR, 2012.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
II Simpósio Brasileiro de Geomática e V Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas.
Piteri et al. (2007) exploram a questão da triangulação de Delaunay para a geração de malha
triangular e de MDT.
CONTEUDISTA
Haroldo Antonio Marques
 CURRÍCULO LATTES
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