Questão resolvida - Considere h(x)e^x para todo x R Considere um polinômio W(x) de grau 2, satisfazendo W(0)h(0), W'(0)h'(0) e W''(0)h''(0) Calcule o valor de W(6) - cálculo I - UFBA (adaptada)

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- Considere h x = e para todo x ∈ R. Considere um polinômio W x de grau 2, satizfazendo ( ) x ( )
W 0 = h 0 , W' 0 = h' 0 e W'' 0 = h'' 0 . Calcule o valor de W 6 .( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Resolução:
 
Uma função do 2° tem sua forma genericamente dada por;
 
W x = ax + bx + c( ) 2
 
De acordo com a condição fornecida no enunciado, temos que;W 0 = h 0( ) ( )
 
e = a 0 + b ⋅ 0 + c 1 = a ⋅ 0 + 0 + c 1 = c c = 10 ( )2 → → →
 
Agora, derivando , temos;W x e h x( ) ( )
 
W x = ax + bx + 1 W' x = 2ax + b( ) 2 → ( )
 
h x = e h' x = e( ) x → ( ) x
 
Sabemos que , então;W' 0 = h' 0( ) ( )
 
2a ⋅ 0 + b = e 0 + b = 1 b = 10 → →
 
Fazendo a segunda derivada da função temos que;W x e h x( ) ( )
 
W' x = 2ax + 1 W'' x = 2a( ) → ( )
 
h' x = e h'' x = e( ) x → ( ) x
 
Sabemos também que , então;W'' 0 = h'' 0( ) ( )
 
2a = e 2a = 1 a =0 → →
1
2
 
 
 
Conhecidas as constantes ; temos que função é;a, b e c W x( )
 
W x = x + x + 1( )
1
2
2
Finalmente, é;W 6( )
 
W 6 = 6 + 6 + 1 W 6 = ⋅ 36 + 7 W 6 = + 7 W 6 = 18 + 7( )
1
2
( )2 → ( )
1
2
→ ( )
36
2
→ ( )
 
W 6 = 25( )
 
 
(Resposta )