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4o Mini-teste de Análise Matemática 2-D, versão A
Oleksiy Karlovych
7 de Abril de 2011
Considere a função
f(x, y) =

xy(x2 − y2)
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
1. Calcule ∇f(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
h · 0 · (h2 − 02)
h2 + 02
− 0
h
= lim
h→0
0
h
= 0,
∂f
∂y
(0, 0) = lim
k→0
f(0, k)− f(0, 0)
k
= lim
k→0
0 · k · (02 − k2)
02 + k2
− 0
k
= lim
k→0
0
k
= 0.
Então ∇f(0, 0) = (0, 0).
2. Calcule ∂f
∂y
(x, y) em todos os pontos de R2.
Pela aĺınea 1, ∂f
∂y
(0, 0) = 0. Se (x, y) 6= (0, 0), então
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
(
x3y − xy3
x2 + y2
)
=
∂
∂y
[x3y − xy3] · (x2 + y2)− (x3y − xy3) · ∂
∂y
[x2 + y2]
(x2 + y2)2
=
(x3 − 3xy2) · (x2 + y2)− (x3y − xy3) · 2y
(x2 + y2)2
=
x5 − 3x3y2 + x3y2 − 3xy4 − 2x3y2 + 2xy4
(x2 + y2)2
=
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
.
Logo
∂f
∂y
(0, 0) =
{
x5−4x3y2−xy4
(x2+y2)2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
1
3. Utilizando o resultado da aĺınea anterior, calcule ∂
2f
∂x ∂y
(0, 0).
∂2f
∂x ∂y
(0, 0) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
(0, 0)
= lim
h→0
∂f
∂y
(h, 0)− ∂f
∂y
(0, 0)
h
= lim
h→0
h5 − 4 · h3 · 02 − h · 04
(h2 + 02)2
− 0
h
= lim
h→0
h5
h5
= 1.
4. (Bónus) A função é de classe C2 em R2? O seu vizinho da versão B pode ajudar :-). (No caso
da ajuda, escreva o nome do seu parceiro da versão B).
Pela aĺınea 3 da versão B,
∂2f
∂y ∂x
(0, 0) = −1,
pela aĺınea 3,
∂2f
∂x ∂y
(0, 0) = 1.
Logo
∂2f
∂y ∂x
(0, 0) 6= ∂
2f
∂x ∂y
(0, 0).
Pelo teorema de Schwarz, f /∈ C2(R2).
2