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7 Teorema de Taylor e suas aplicações
1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = ln(2x + 3).
(a) Calcule f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (4)(x) e obtenha uma expressão para f (n)(x).
(b) Prove, por indução matemática, que a expressão de f (n)(x), obtida na alínea anterior,
é válida para todo o número natural.
(c) Escreva a fórmula de Taylor de ordem n, para f , em torno do ponto x = −1.
2. Considere a função f(x) = sen(x).
(a) Calcule a expressão da derivada de ordem n de f .
(b) Escreva a fórmula de MacLaurin de f com resto de ordem n.
(c) Designando por Rn(x) o resto de ordem n obtido na fórmula de MacLaurin de f ,
verifique que
∀ x ∈]− 1, 1[ lim
n→+∞
|Rn(x)| = 0.
(d) Identifique uma função polinomial que aproxime f em ] − 1, 1[ com erro inferior a
1
120
.
3. (a) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem três, da função f(x) = xe−
1
x em
torno do ponto 1.
(b) Use a alínea anterior para mostrar que:
xe−
1
x < e−1 + 2(x− 1)e−1 + (x− 1)
2
2
e−1,∀x > 1.
4. Use a fórmula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades:
(a) xe−x ≤ x− x2 + x
3
2
,∀x < 4;
(b) x2 ln(x) < (x− 1) + 3
2
(x− 1)2 + 1
3
(x− 1)3,∀x ∈ R+\{1}.
5. Calcule, usando a fórmula de Taylor, os seguintes limites:
(a) lim
x→0
ln(1 + x)− x
x2
(b) lim
x→π
4
x− π
4
− arctg(x− π
4
)
(x− π
4
)2
6. Usando o Teorema de Taylor, estude a existência de extremos relativos da função definida
por f(x) = ln(sen2(x)).
1
7. Usando o Teorema de Taylor, estude a existência de extremos relativos e pontos de inflexão
da função definida por f(x) = e−xsen(x).
8. Considere a função definida no exercício 3 do estudo de funções: continuidade e diferen-
ciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
9. Considere a função definida no exercício 5 do estudo de funções: continuidade e diferen-
ciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
10. Considere a função definida no exercício 7 do estudo de funções: continuidade e diferen-
ciabilidade. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
11. Considere a função definida no exercício 9 do estudo de funções: continuidade e diferen-
ciabilidade, com k = 0. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de
f .
12. Considere a função definida no exercício 11 do estudo de funções: continuidade e diferen-
ciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f .
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