Álgebra Linear e Vetorial

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22/06/2023, 00:10 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:822888)
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Prova 66720091
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na 
direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se 
desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a 
força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e 
a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = 
(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (-3,0,6).
II- R = (-1,6,-6).
III- R = (-1,-6,6).
IV- R = (3,0,6).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos determinar o 
vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais 
tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A 
para B:
A u = (1,4,-2).
B u = (1,4,4).
C u = (1,4,2).
D u = (0,4,4).
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
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T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
B [(0,1,0);(1,0,-1)].
C [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
D [(0,-1,0);(1,0,-1)].
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por 
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou 
norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este 
resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, 
determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a 
seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção III está correta.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = -2.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 0.
( ) u x v = 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - F - V - F.
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C F - F - F - V.
D F - V - F - F.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação 
possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da 
transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções II e III estão corretas.
D As opções I e IV estão corretas.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de 
adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de 
partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de 
adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, 
números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações 
lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B V - V - F - F.
C F - V - V - F.
D V - V - V - F.
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O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no 
eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial 
aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores 
tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto 
ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v = (3,0,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (4,6,-6).
II- u x v = (0,6,4).
III- u x v = (0,-6,6).
IV- u x v = (-4,6,-6).
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção III está correta.
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-
la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são 
puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V.
B F - F - V - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - V.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor 
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida 
em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor 
z = (1,4):
A Raiz de 17.
B Raiz de 5.
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C 4.
D 2.
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