Integrais de linha e campos vetoriais

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de integral de linha de campos escalares e campos vetoriais.
PROPÓSITO
Calcular a integral de linha para campos escalares e vetoriais, bem como a sua aplicação em campos
conservativos e a do teorema de Green.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral de linha de campos escalares
MÓDULO 2
Calcular a integral de linha de campos vetoriais
MÓDULO 3
Calcular integrais de linha de campos conservativos
MÓDULO 4
Aplicar o Teorema de Green
BEM-VINDO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS
VETORIAIS!
MÓDULO 1
 Calcular a integral de linha de campos escalares
INTRODUÇÃO
Existem alguns problemas práticos para os quais é necessário calcular o efeito de uma função escalar sobre
uma determinada trajetória.
Imagine que você conheça a densidade linear de massa de um objeto que tem a forma de uma curva. Essa
densidade linear define como a massa se distribui pelo comprimento do objeto em cada ponto dele. Se essa
densidade não for constante, deve ser analisado o efeito desta função em cada ponto do objeto, e depois somar
todos esses valores.
A integral de linha de campos escalares é a ferramenta matemática que fornece uma solução para esses
problemas.
Nós já conhecemos a integração simples que permitiria a integração de uma função real para um intervalo [a,b].
Essa integral simples permitiria resolver esse tipo de problema caso a função dependesse apenas de uma
variável e a forma da curva fosse uma reta obtida pela variação dessa variável de a até b.
A integral de linha amplia essa possibilidade, permitindo trabalhar com um campo escalar, que depende de
várias variáveis, integradas por uma curva que tem um trajeto qualquer.
Neste módulo, você vai conhecer a definição e como calcular a integral de linha.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES
Iniciaremos nosso estudo apresentando uma curva parametrizada.
CURVA PARAMETRIZADA
A curva paramétrica γ t : a , b ⊂R → Rn, com n inteiro maior do que 1, é percorrida variando o valor do
parâmetro t.
Vejamos dois exemplos:
EXEMPLO 1
A curva γ ( t ) = ( cos t , sen t ) , para 0 ≤ t ≤ 2π. Observe que x ( t ) = cos t e y ( t ) = sen t. Assim x2 ( t ) + y2 ( t ) = 1,
representando uma circunferência de raio 1 no plano XY, com a variação do valor de t.
EXEMPLO 2
A curva γ ( u ) = ( 2 cos u , 2 sen u , u ) , para 0 ≤ u ≤ 10. Observe que x ( u ) = cos u, y ( u ) = sen u e z ( u ) = u.
Assim x2 ( u ) + y2 ( u ) = 4 e z ( u ) = u, representando uma hélice circular, no espaço XYZ, com raio 2 e com z
variando de 0 até 10, com a variação do valor do parâmetro u.
( ) [ ]
Considere que esta curva é derivável em seu domínio. A derivada de γ ( t ) representa a taxa de variação
instantânea de γ ( t ) em relação ao parâmetro t. Portanto, podemos usar uma aproximação, tal que o
comprimento de um arco (“pedaço”) desta curva será dado por:
∆
Com ∆t=tf-ti, sendo tf e ti os valores do parâmetro para o ponto inicial e final do pedaço da curva analisado.
É óbvio que essa aproximação será mais precisa para quando ∆s→0.
RELEMBRANDO O CONCEITO DE CAMPO ESCALAR
Vamos relembrar a função escalar ou campo escalar, já estudada em outra oportunidade.
AS FUNÇÕES ESCALARES SÃO FUNÇÕES F: S ⊂ℝN → ℝ, ONDE S É UM
SUBCONJUNTO DO CONJUNTO ℝN COM N INTEIRO E N > 1. ASSIM,
CADA ELEMENTO X1,X2,…, XN∈S DE ENTRADA SERÁ ASSOCIADO A UM
ÚNICO NÚMERO REAL DENOTADO POR FX1,X2,…, XN NA SUA IMAGEM.
Vamos considerar o caso onde essa função escalar f apresenta em seu domínio os pontos percorridos pela
curva γt. Assim, γt ⊂ S, para t∈a,b.
PROBLEMA A SER RESOLVIDO PELA INTEGRAL DE
LINHA DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Imaginemos agora um problema em que desejamos obter o efeito da função em cada arco (“pedaço”) dessa
Curva C.
Imagine que conhecemos o valor da densidade linear de massa de um objeto (δ) que tem a forma de uma
Curva C, definida por uma parametrização γt. Essa densidade linear é representada por uma função que tem
um valor diferente em cada ponto dessa Curva C. Por exemplo, no caso do ℝ3, a densidade linear seria uma
função δ(x,y,z).
Como o objeto tem a forma de uma curva definida por sua parametrização, podemos dizer que a função
densidade será dada por δ=fγ(t), onde γt representa cada ponto da curva.
Como a densidade linear de massa é a razão entre a massa pelo comprimento, se desejarmos obter o valor da
massa em um pedaço ∆L do objeto, ela será obtida por:
∆M=Δ∆L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se fizermos esse pedaço ser tão pequeno quanto desejarmos, isto é, ∆L→0, podemos definir que ∆ m =
f γ ( t ) ∆ L = f γ ( t ) γ ' ( t ) ∆ t.
Vamos usar um raciocínio análogo ao da Soma de Riemann, utilizada na definição de integrais simples. Vamos
pegar o objeto, na forma da curva, e dividir em m pedaços. A massa total pode ser obtida por:
M=LIMM→∞ ∑I=1M∆MI=LIMM→∞ ∑I=1MFΓ(TI)Γ'(TI)∆TI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse limite do somatório, quando existir, será representado na forma de uma integral e denominado integral de
linha de um campo escalar.
Repare, portanto, que a integral de linha de funções escalares é uma ferramenta definida para determinar o
valor do produto de uma função escalar pelo comprimento em uma trajetória definida por uma curva.
No exemplo anterior, foi usada a densidade linear de massa, mas há várias aplicações práticas nas áreas de
Eletromagnetismo, Física, estudo de escoamento de fluidos, entre outras.
Vamos, agora, definir matematicamente a integral de linha de uma função escalar.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO ESCALAR
Como exemplificado no item anterior, a integral de linha de função escalar é semelhante à integral simples de
uma função real, com a seguinte diferença:
A INTEGRAÇÃO É FEITA POR MEIO DE UMA TRAJETÓRIA DEFINIDA POR
UMA CURVA (OU LINHA) QUALQUER, E QUE O INTEGRANDO SERÁ O
PRODUTO DE UMA FUNÇÃO PELO COMPRIMENTO DE UM PEDAÇO
INFINITESIMAL DA TRAJETÓRIA.
Seja uma curva paramétrica C, definida por γ(t): a,b⊂ℝ→ℝn, com n inteiro maior do que 1, derivável em todo
seu domínio. Seja uma função escalar f: S ⊂ ℝn → ℝ, com a imagem γ(t) pertencente ao domínio S da função.
A integral de linha da função escalar f sobre C será definida por:
∫CFΓTDL=∫ABFΓTΓ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra denominação para essa integral é integral de linha com relação ao comprimento de arco. Essa
denominação é para diferenciar da integral de linha de campos vetoriais, que será estudada posteriormente.
Repare na simbologia: a letra C colocada abaixo da integral representando que está se integrando sobre a
Curva C.
Como estamos obtendo uma integração sobre a Curva C, para cada ponto do percurso é obtido o valor de
f( γ(t0)) vezes o comprimento infinitesimal ∆s(t0). Lembrando que ∆s(t0)=γ'(t0)∆t.
 
Fonte: EnsineMe
Vamos, agora, particularizar para o caso do ℝ2 e ℝ3, considerando que a Curva C é definida pelas
parametrizações γt=xt,y(t), no caso do ℝ2, e γt=xt,yt, z(t), para ℝ3.
Assim:
∫CFX,YDL=∫ABFXT,Y(T)DX(T)DT2+DY(T)DT2DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou
∫CFX,Y,ZDL=∫ABFXT,YT,Z(T)DX(T)DT2+DY(T)DT2+DZ(T)DT2DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, após a montagem da integral de linha, o problema recai no cálculo de uma integral definida
simples com o integrando sendo uma função real.
EXEMPLO
Calcule o valor da integral de linha ∫C f dl, onde f(x,y) = 2xy + 1, e a Curva C é a semicircunferência de centro
na origem com raio 2 e com y ≥ 0.
RESOLUÇÃO
Vamos inicialmente definir a Curva C. Como ela é uma semicircunferência de raio 2, temos que:
γt=2cos t, 2 sen t
Observe que x2t+y2t=4cos2t+4sen2t, que é uma circunferência no plano XY de raio 2.
Como desejamos apenas a partede cima dessa semicircunferência, isto é, y ≥ 0. O parâmetro t não irá variar
de 0 até 2π, que seria o caso da circunferência inteira, e sim de 0 até π.
Montando o integrando da integral de linha fγtγ'(t).
Como γt=2cos t, 2 sen t, então x(t)=2 cos t e y(t)=2 sen t.
f(x,y)=2xy+1→f(γ(t))=2 (2 cos t)(2 sen t)+1=8 cos t sen t+1=4 sen(2t) +1
f(x,y)=4 sen(2t) +1 
x'(t)=2 ( – sen t) e y’(t)=2 cos t →γ’(t) = ( – 2 cos t , 2 sen t) 
γ'(t)=-2 cos t2+2 sen t2=4 cos2t+4 sen2t=4=2
Dessa forma:
∫Cf dl=∫0πfγtγ'(t)dt=∫0π24 sen2t+1 dt
∫Cf dl=8 12(-cos(2t)0π+2t0π=-4(cos2π-cos0)+2π-0=2π
A integral de linha independe da parametrização utilizada para a curva. Em outras palavras, se usarmos duas
parametrizações diferentes, desde que as duas definam a mesma curva, a integral de linha tem que dar o
mesmo resultado.
EXEMPLO
Calcule o valor da integral de linha ∫C f dl, onde f(x,y) = 2xy + 1, e a Curva C é definida pela equação γu=
(-2sen 2u, 2cos 2u) com -π4≤u≤π4
RESOLUÇÃO
Observe que este exemplo é igual ao anterior, pois γu=(-2sen 2u, 2cos 2u) com -π4≤u≤π4 representando a
semicircunferência de raio 2 no plano XY com y ≥ 0.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 
 
Assim, γ'(u)=-2sen 2u', 2cos 2u'=(-4cos 2u, -4 sen 2u)
 
 
Portanto, γ'(u)=-4 cos 2u2+-4 sen 2u2=16 cos2(2u)+16 sen2(2u)=16=4
 
 
E:
 
 
fx,y=2xy+1→fγt=2 (-2sen2u)2cos2u+1
 
 
fγt=-8cos2usen2u+1=-4sen4u+1
 
 
Dessa forma:
 
 
∫Cf dl=∫0πfγuγ'(u)du=∫-π4π44-4 sen4u+1du
 
 
∫Cf dl=16 14(-cos(4u)-π4π4+4u-π4π4=-4(cosπ-cos(-π))+4π4-π4=2π
 
 
Observe que, apesar da mudança de parametrização para a curva, a integral de linha não mudou de valor.
Repare que quando o caminho C é uma reta sobre o eixo x, y ou z, a integral de linha se transforma na integral
simples de uma função real.
 EXEMPLO
Se a Curva C for a reta no plano XY que une os pontos (a,0) e (b,0), assim:
 
∫Cfx,0ds=∫abfxt,0dx(t)dt2+02dt=∫abfxt,0dx(t)dtdt
 
∫Cfx,0ds=∫abfxt,0dxt=∫abfxdx
Por fim, para definirmos a integral de linha, supomos que a equação que parametriza a curva apresenta
derivada. Outra forma é dizer que a curva é suave.
QUANDO TEMOS UMA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA QUE
APRESENTA PONTOS ONDE NÃO EXISTE DERIVADA, PARA
CALCULAR A INTEGRAL DE LINHA, DEVEMOS DIVIDIR O
PERCURSO EM PEDAÇOS QUE, JUNTOS, OBTÊM TODA A
CURVA, MAS QUE SÃO INDIVIDUALMENTE SUAVES.
Observe a figura a seguir, a curva não apresenta derivadas no ponto c e d. Repare que forma um “bico”, tendo
limites laterais diferentes da variação da função. Outra forma de não ter a derivada no ponto é se a curva não
fosse contínua. Observe:
 
Fonte: EnsineMe
Se desejarmos calcular uma integral de linha do ponto t = a até o ponto t = b, não poderíamos aplicar a forma
direta, pois a curva não é integrável em todo o percurso.
É possível que você esteja se perguntando: Qual seria a solução?
Dividir a trajetória em três trechos:
t = a até t = c
t = c até t = d
t – d até t = b
Assim:
∫CFΓTDS=∫ACFΓTΓ'(T)DT+∫CDFΓTΓ'(T)DT+∫DBFΓTΓ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Toda vez que conseguirmos dividir a Curva C dessa forma, dizemos que ela é suave em partes.
EXEMPLO
Determine a integral de linha do campo escalar f(x,y) = x2y sobre a Curva C definida pelos pontos (x,y) tais que
γt=t,t com -1≤t≤1.
RESOLUÇÃO
Observe que não existe a derivada para γt quanto t = 0. Assim, para realizar a integral de linha, dividiremos a
curva em duas partes:
 
 
γt=t,-t, -1≤t≤0 t,t, 0≤t≤1
 
 
Obtendo a derivada de γt:
 
 
γ't=1,-1, -1≤t≤0 1,1, 0≤t≤1
 
 
Para ambos os casos γ'(t)=1+1=2
 
 
Acontece que o valor de f(x,y) = xy em relação à parametrização da curva será:
 
 
fx,y=xy→f(γt)=t2-t=-t3, -1≤t≤0t2.t=t3, 0≤t≤1
 
 
javascript:void(0)
Assim:
 
 
∫Cf dl=∫-11fγuγ'(u)du=∫-10fγuγ'(u)du+∫01fγuγ'(u)du
 
 
∫Cf dl=∫-10-t32dt+∫01t32 dt=-214t4-10+214t401
 
 
∫Cf dl=-2404--14+2414-04=22
APLICAÇÃO DE INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS
ESCALARES
Vale a pena recordamos algumas aplicações possíveis da integral de linha para campos escalares.
Muitas dessas aplicações, quando temos uma configuração em duas ou três dimensões, são solucionadas por
integrais duplas ou triplas.
Em relação ao nosso problema atual, trabalharemos um objeto no espaço que possua uma dimensão.
MEDIDA DE COMPRIMENTO
Um objeto definido pela Curva C, com equação paramétrica γt, pode ter seu comprimento medido considerando
na integral de linha à função escalar como unitária.
COMPRIMENTO= ∫CDL=∫ABΓ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o ponto inicial da curva a ser medida se dá para o parâmetro t = a, e o ponto final, para o parâmetro t = b.
EXEMPLO
Qual é o comprimento total da hélice circular com a equação paramétrica definida por γu=3 cos u, 3 sen u, u,
para 0≤u≤5.
RESOLUÇÃO
Se γu=3 cos u, 3 sen u, u → γ'u=-3 sen u, 3 cos u, 1.
 
 
Assim, γ'u=9sen2u+9cos2u+1=9+1=10.
 
 
Portanto:
 
 
Comprimento= ∫Cdl=∫0510 du=105-0=510
DENSIDADES LINEARES
Dependendo das dimensões de um objeto, podemos definir a massa do mesmo em relação a sua dimensão
pela densidade de massa. Quando o objeto tiver apenas uma dimensão, isto é, uma linha, a densidade linear
de massa será medida em kg/m.
Assim, cada parte infinitesimal do objeto (dl) terá massa dada por:
Δ=LIM∆L→0 ∆M∆L=DMDL (KG/M) 
 
DM=Δ DL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando esse objeto tiver a forma de uma Curva, definida pela equação γ(t):
MASSAM= ∫CΔΓTDL=∫ABΔΓTΓ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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 COMENTÁRIO
O exemplo de aplicação foi dado para grandeza de massa, mas pode ser utilizado para diversas grandezas
físicas que podem ser definidas pelas suas densidades, como carga elétrica, corrente elétrica etc.
CENTRO DE MASSA
A densidade linear de massa também pode ser usada para obter as coordenadas do centro de massa de um
objeto.
O CENTRO DE MASSA É UM PONTO HIPOTÉTICO, ONDE, NA MECÂNICA
CLÁSSICA, SE CONSIDERA QUE TODA MASSA DO SISTEMA FÍSICO
ESTARÁ CONCENTRADA.
As coordenadas do centro de massa de um objeto são obtidas dividindo o momento pela massa total. Para um
objeto com densidade linear dada por δ(x,y,z), as coordenadas do centro de massa, de um corpo de massa m,
onde m= ∫Cδγtdl, podem ser obtidas pelas expressões:
X-=∫CX DMM=∫CX ΔΓTDLM
Y-=∫CY DMM=∫CY ΔΓTDLM
Z-=∫CZ DMM=∫CZ ΔΓTDLM
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotação de um objeto em torno de um
eixo e de um ponto. Quanto maior for o momento de inércia de um objeto, mais difícil será girá-lo ou alterar sua
rotação. Podemos definir o momento de inércia para um sólido definido no espaço.
Seja um objeto no espaço com massa dada por sua densidade linear de massa δ(x,y,z). Esse objeto tem forma
definida por uma Curva C e sua equação paramétrica γ(t).
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO X:
Ix=∫Cy2+z2 dm=∫Cy2+z2 δx,y,zdl
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y:
Iy=∫Cx2+z2 dm=∫Cx2+z2 δx,y,zdl
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z:
Iz=∫Cx2+y2 dm=∫Cx2+y2 δx,y,zdl
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto tem a forma de uma hélice circular de raio 2 e altura π. Sabe-se que a densidade linear de massa
desse objeto vale δx,y,z=2y sen z. Para esse objeto colocado no espaço xyz, determine: a massa do objeto,
sabendo que a forma do objeto pode ser parametrizada por γt=(2cos t, 2 sen t , t) com ≤t≤π.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL DE LINHA – DENSIDADES LINEARES
MÃO NA MASSA
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL DE LINHA DA FUNÇÃO
F(X,Y,Z) = X2Y + Z SOBRE A CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO ΓT=T , 2T2, T+5 COM
0≤T≤5:
A) ∫05(t4+t+5)t2+2dt
B) ∫05(2t4+t+5)16t2+2dt
C) ∫01(2t4+t+5)t2+4dt
D) ∫05(t2+t)16t2+2dt
E) ∫01(4t4+5)6t2+4dt
2. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL PARA CALCULAR O
MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z DE UM OBJETO NA FORMA DE UM
QUARTO DE CIRCUNFERÊNCIA NOPLANO XY, DE RAIO 2, COM CENTRO NA
ORIGEM, E COM X E Y MAIOR OU IGUAL A ZERO. SABE-SE QUE A DENSIDADE
LINEAR DE MASSA DO OBJETO VALE ΔX,Y,Z=2X2+Y2.
A) ∫0π24 cos2t-1 dt
B) ∫0π4 4 cos2t+1 dt
C) ∫0π28 4 cos2t+1 dt
D) ∫0π28 4 sen2t+1 dt
E) ∫0π8 4 cos2t+1 dt
3. DETERMINE ∫C(X2+Y) DL ONDE C É UM ANEL CENTRADO NA ORIGEM DE RAIO 4:
A) 16 π
B) 32 π
C) 64 π
D) 128 π
E) 256 π
4. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA ∫C15 (X+3Y) DL, ONDE A CURVA C É DEFINIDA
PELA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA ΓT=(T,2T2,3T3) COM 0≤T≤1:
A) 90
B) 91
C) 92
D) 93
E) 94
5. DETERMINE AS COORDENADAS DA ORDENADA DO CENTRO DE MASSA DE UM
FIO COM A FORMA DE UMA HÉLICE CIRCULAR COM EQUAÇÃO PARAMÉTRICA
DADA POR ΓT=(2 COST, T, T SEN T), COM 0≤T≤2. SABE-SE QUE A DENSIDADE
LINEAR DESSE FIO É IGUAL À QUARTA POTÊNCIA DA DISTÂNCIA DE UM PONTO DO
FIO ATÉ A ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO.
A) 3111
B) 107
C) 57
D) 511
E) 133
6. SEJAM O CAMPO ESCALAR F(X,Y) = EX+Y E O QUADRADO CENTRADO NA
ORIGEM COM LADO 2 NO PLANO XY. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA EM
RELAÇÃO AO COMPRIMENTO DE ARCO DA FUNÇÃO F SOBRE OS LADOS DO
QUADRADO:
A) 2(e2-e-2+1)
B) 2(e2+e-2)
C) 2(e2-e-2-1)
D) 2(e2-e-2)
E) 2(e4-e-2)
GABARITO
1. Assinale a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y,z) = x2y + z sobre a curva
definida pela equação γt=t , 2t2, t+5 com 0≤t≤5:
A alternativa "B " está correta.
 
Como γt=t , 2t2, t+5: 
 
 γ'(t)=t' , 2t2',t+5'=1 , 4t, 1 
 
 γ't=12+(4t)2+12=16t2+2 
 
 f(x,y,z) = x2y + z → fγ(t)=t2 (2t2)+t+5=2t4+t+5 
 
Assim: 
 
∫Cf dl=∫05fγtγ'(t)dt=∫05(2t4+t+5)16t2+2dt
2. Assinale a alternativa que apresenta a integral para calcular o momento de inércia em relação ao eixo
z de um objeto na forma de um quarto de circunferência no plano XY, de raio 2, com centro na origem, e
com x e y maior ou igual a zero. Sabe-se que a densidade linear de massa do objeto vale δx,y,z=2x2+y2.
A alternativa "C " está correta.
 
Pela definição do objeto, a equação que define a sua parametrização será γt= 2cos t , 2 sen t, 0 para 0≤t≤π2. 
 
Assim, γ't=- 2sen t , 2 cos t, 0 →γ't=4 sen2t+4cos2t+0=4=2. 
 
Mas, Iz=∫Cx2+y2 dm=∫Cx2+y2 δx,y,zdl. 
 
Então: 
 
 x2+ y2 em relação ao parâmetro t será 4cos2t+4 sen2t=4. 
 
 δx,y,z=2x2+y2→δγt=2. 4cos2t+4 sen2t →δγ(t)=8 cos2t+4 sen2t=4 cos2t+1 
 
Dessa forma: 
 
Iz=∫0π2x2(t)+y2(t)δγtγ'(t)dt 
 
Iz=∫0π24. 4 cos2t+1 .2dt=∫0π28 4 cos2t+1 dt
3. Determine ∫C(x2+y) dl onde C é um anel centrado na origem de raio 4:
A alternativa "C " está correta.
 
Necessitamos, inicialmente, parametrizar a Curva C. Como a curva é um anel (circunferência) de raio 4,
teremos que γt=(4 cos t, 4 sen t) com 0≤t≤2π. 
 
Assim: 
 
γ't=(- 4sen t , 4 cos t) → γ't=(-4sen t)2+(4cos t)2 = 16=4 
 
 fx,y= (x2+y) → fγt=(4cos t)2+4 sen t=16cos2t+4 sen t 
 
Assim: 
 
∫Cf dl=∫02πfγtγ'(t)dt=∫02π4(16cos2t+4 sen t)dt 
 
∫Cf dl=64∫02πcos2tdt+16∫02πsen tdt 
 
Usando a fórmula do arco duplo 2 cos2t =1 + cos 2t 
 
∫Cf dl=32∫02π(1+cos 2t)dt+16∫02πsen tdt=32∫02πdt+32∫02πcos2tdt+16∫02πsen tdt 
 
∫Cf dl=32 t02π+32 12sen 2t02π-16 cos t02π 
 
∫Cf dl=32 2π-0+16sen 4π-sen 0-16 (cos 2π-cos 0)=64π
4. Determine a integral de linha ∫C15 (x+3y) dl, onde a Curva C é definida pela equação paramétrica γt=
(t,2t2,3t3) com 0≤t≤1:
A alternativa "B " está correta.
 
Como γt=(t,t2,23t3), então γ'(t)=(1, 2t, 2t2) 
 
Assim, γ't=1+4t2+4t4=1+2t22=1+2t2. 
 
Como fx,y=15( x+3y)→fγt=15(t+3.2t2)=15(1+6t2) 
 
Portanto, 
 
∫Cf dl=∫01fγtγ'(t)dt=15∫011+6t21+2t2 dt 
 
A solução agora cai na de uma integral definida: 
 
∫Cf dl=15∫011+8t2+12t4 dt 
 
∫Cf dl=15t01+15.813t301+15.12 15t501=151+83+125=15.9115=91
5. Determine as coordenadas da ordenada do centro de massa de um fio com a forma de uma hélice
circular com equação paramétrica dada por γt=(2 cost, t, t sen t), com 0≤t≤2. Sabe-se que a densidade
linear desse fio é igual à quarta potência da distância de um ponto do fio até a origem do sistema
cartesiano.
A alternativa "B " está correta.
INTEGRAL DE LINHA – CENTRO DE MASSA
6. Sejam o campo escalar f(x,y) = ex+y e o quadrado centrado na origem com lado 2 no plano XY.
Determine a integral de linha em relação ao comprimento de arco da função f sobre os lados do
quadrado:
A alternativa "D " está correta.
INTEGRAL DE LINHA
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A INTEGRAL DE LINHA DA FUNÇÃO
F(X,Y) = 2XY SOBRE A CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO ΓT=2T2 , 2T+10 COM 0≤T≤2:
A) ∫018t2(t+5)4t2+2dt
B) ∫02t2(t+5)t2+2dt
C) ∫0216t2(t+5)4t2+1dt
D) ∫0216t2(t+1)t2+1dt
E) ∫0116t2t2+1dt
2. DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z DE UM OBJETO NA
FORMA DE UMA SEMICIRCUNFERÊNCIA NO PLANO XY, DE RAIO 1, COM CENTRO NA
ORIGEM E COM X MAIOR OU IGUAL A ZERO. SABE-SE QUE A DENSIDADE LINEAR
DE MASSA DO OBJETO VALE ΔX,Y,Z=X.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
GABARITO
1. Assinale a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y) = 2xy sobre a curva definida
pela equação γt=2t2 , 2t+10 com 0≤t≤2:
A alternativa "C " está correta.
 
Como γt=2t2, 2t+10: 
 
 γ'(t)= 2t2',2t+10'=4t , 2 
 
 γ't=(4t)2+22=16t2+4=24t2+1 
 
 f(x,y) = 2xy → fγ(t)=2(2t2)2t+10=8t2(t+5) 
 
Assim, ∫Cf dl=∫02fγtγ'(t)dt=∫0216t2(t+5)4t2+1dt
2. Determine o momento de inércia em relação ao eixo z de um objeto na forma de uma
semicircunferência no plano XY, de raio 1, com centro na origem e com x maior ou igual a zero. Sabe-se
que a densidade linear de massa do objeto vale δx,y,z=x.
A alternativa "C " está correta.
 
Pela definição do objeto, a equação que define a sua parametrização será γt= sen t ,cos t, 0 para 0≤t≤π. 
 
Assim, γ't=cos t , -sen t, 0 →γ't= cos2t+sen2t+0=1=1. 
 
Mas, Iz=∫Cx2+y2 dm=∫Cx2+y2 δx,y,zdl. 
 
Então: 
 
 x2+ y2 em relação ao parâmetro t será sen2t+ cos2t=1. 
 
 δx,y,z=x→δγt=sen t. 
 
Dessa forma: 
 
Iz=∫0πx2(t)+y2(t)δγtγ'(t)dt=∫0πsen tdt=-cos t0π=(cos 0-cosπ)=2
MÓDULO 2
 Calcular a integral de linha de campos vetoriais
INTRODUÇÃO
Nós já estudamos em outras oportunidades a função real, a função escalar e a função vetorial. Neste módulo,
definiremos o quarto tipo de função que está faltando: os campos vetoriais.
OS CAMPOS VETORIAIS SÃO AS FUNÇÕES EM QUE TANTO OS
ELEMENTOS DO DOMÍNIO QUANTO OS DA IMAGEM SÃO VETORES.
No módulo passado, foi definida a integral de linha para campos escalares. Aqui, vamos definir e aplicar a
integral de linha para campos vetoriais.
CAMPOS VETORIAIS
Dependendo da definição do conjunto domínio e do contradomínio de uma função matemática, definimos vários
tipos diferentes de função. A função real, a função escalar e a função vetorial já foram estudadas por nós em
outras oportunidades.
Vamos relembrá-las:
FUNÇÃO REAL
FUNÇÃO VETORIAL
FUNÇÃO ESCALAR
Tem domínio e contradomínio contidos no conjunto dos números reais. Assim, a entrada e a saída são números
reais.
Tem domínio contido no conjunto dos números reais e contradomínio no conjunto ℝm, com m inteiro e maior do
que um. Dessa forma, sua entrada é um número real, mas sua saída é um vetor com m componentes.
Tem domínio contido no conjunto ℝn, com n inteiro maior do que um, e contradomínio no conjunto dos números
reais. Portanto, sua entrada é um vetor com n componentes e a saída é um número real.
Nesse momento, vamos definir o quarto tipo de função, denominada campo vetorial.
O CAMPO VETORIAL É A FUNÇÃO QUE TEM DOMÍNIO CONTIDO NO
CONJUNTO ℝN E CONTRADOMÍNIO CONTIDO NO CONJUNTO ℝ M , COM
M E N INTEIROS E MAIORES DO QUE 1.
Em outras palavras, tanto a entrada quanto a saída dessa função são vetores. O valor de m e n podem ser
iguais ou até mesmo diferentes.
Um outro nome para os campos vetoriais é função de diversas variáveis reais a valores vetoriais. Vamos definir
formalmente o campo vetorial.
DEFINIÇÃO
O CAMPO VETORIAL É A FUNÇÃO F→: S ⊂ ℝN → ℝM, ONDE S É
UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO ℝN E TANTO M QUANTO N
SÃO INTEIROS MAIORES DO QUE UM.
Assim a cada elemento x1,x2,…, xn∈S ⊂ℝn, será associado um único vetor F→x1,x2,…, xn=y1,y2,…,ym∈ℝm.
Portanto, a imagem da função será dada por:
IM F=F→X1,X2,…, XN=Y1,Y2,…, YM∈RM/ X1,X2,…, XN∈S⊂RN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A imagem do campo vetorial é um vetor e cada uma de suas componentes serão funções escalares que
dependerão das variáveis independentes de entrada.
Para o caso de uma função F→: S ⊂ ℝ3 → ℝ3, podemos escrever o campo vetorial em relação às suas funções
escalares componentes, como:
F→X,Y,Z=PX,Y,Z,QX,Y,Z,RX,Y,Z=PX,Y,ZX^+QX,Y,ZY^+RX,Y,ZZ^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Seja o campo vetorial F→x,y,z=ex+y, 2z2+10, ln y+1, x+y+z. Determine as imagens de F→ para quando o
elemento de entrada for (– 1, 0, 2).
RESOLUÇÃO
javascript:void(0)
Repare que o campo vetorial F→ apresenta domínio no ℝ3 e imagem no ℝ4. Assim, terá em sua entrada um
vetor de 3 componentes e a saída um vetor do ℝ 4 .
 
 
Dessa forma, F→-1,0,2=e-1+0, 2.22+10, ln 0+1, -1+0+2=e-1, 18, 0, 1
O campo vetorial tem várias aplicações práticas.
 EXEMPLO
O mapeamento de velocidade de um líquido, isto é, em cada ponto do espaço, definido por variáveis (x,y,z), tem
definido um vetor velocidade com suas três componentes (vx, vy, vz) que dependem das variáveis de entrada.
Outro exemplo é o valor de uma força tridimensional em cada ponto de um sólido. Que também associa em
cada ponto espacial (x,y,z) um vetor força. O campo elétrico em cada ponto do espaço.
Quando estudamos campos escalares, vimos o gradiente de uma função escalar, que foi definida como:
∇FX1,X2,…, XN=∂F∂X1X1,X2,…, XN,…, ∂F∂XJX1,X2,…, XN,…, ∂F∂XNX1,X2,…, XN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o gradiente de uma função escalar é um campo vetorial, pois apresenta um vetor com n
componentes na entrada e n funções escalares na saída.
O campo vetorial, por ser um vetor, obedece a todas as operações e propriedades vetoriais.
EXEMPLO
Determine o produto vetorial entre a imagem dos campos vetoriais F→x,y,z=x+y, x-z,z e G→x,y,z=2y-
z, 3x+y,y+1 no ponto (1,1,1).
RESOLUÇÃO
Calculando as imagens dos campos vetoriais no ponto (1,1,1):
 
 
F→1,1,1=1+1,1-1,1=2,0,1
 
 
javascript:void(0)
G→1,1,1=2-1, 3+1,1+1=1,4,2
 
 
F→1,1,1XG→1,1,1=x^y^z^201142=0-4x^+1-4y^+8-0z^=-4x^-3y^+8z^
INTEGRAL DE LINHA PARA CAMPO VETORIAL
A integral de linha de um campo escalar f: S ⊂ ℝn → R sobre uma Curva C definida pela equação
parametrizada γ(t) já foi estudada e tem a forma:
∫CFΓTDS=∫ABFΓTΓ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, de forma análoga, definir uma integral de linha para um campo vetorial.
A PRINCIPAL DIFERENÇA É QUE O CAMPO VETORIAL
APRESENTA COMO IMAGEM UM VETOR E NÃO UM NÚMERO
REAL, COMO NO CASO DO CAMPO ESCALAR.
Para definir essa integral de linha, vamos seguir um exemplo prático que seria o cálculo do trabalho de uma
força sobre uma trajetória.
Seja a Curva C definida pela equação parametrizada γ(t). Imagine um objeto tendo como trajetória a Curva C.
Assim, a posição do objeto para o instante to, seria dada por γ(t0).
Seja um campo vetorial que representa uma força F→. Considere que as posições definidas pela trajetória
façam parte do domínio do campo vetorial. Assim, em cada posição, teremos um valor para o vetor F→. No
instante t0, o objeto estará na posição γ(t0), e sobre essa posição existirá um campo vetorial de valor F→γt0.
 
Fonte: EnsineMe
Necessitaremos definir um sentido para essa trajetória. Tanto faz qual seja, mas após a sua definição, a
parametrização da curva deve respeitar o sentido escolhido. Em nosso exemplo, consideraremos sentido
positivo da esquerda para direita.
Quando não é informada a orientação da curva, considera-se o sentido de percurso o do crescimento do
parâmetro.
Aprendemos, na Física, que o trabalho que uma força exerce sobre um deslocamento vale o produto escalar
entre a força e o vetor deslocamento.
 ATENÇÃO
Lembre-se que o vetor deslocamento é o que tem início na posição inicial do objeto e extremidade na posição
final. Como consideramos o sentido positivo da esquerda para a direita, o vetor deslocamento terá sempre esse
sentido.
Durante o percurso, a força pode variar. Assim, temos que fazer o percurso tão pequeno quanto pudermos para
usarmos a condição que a força não varia nesse trecho. Dessa forma, podemos dizer que o trabalho realizado
pela força F→γt0 para um deslocamento infinitesimal ∆γ, no ponto t0, será dado por:
∆Τ=F→ΓT0.∆Γ→T0=F→ΓT0.Γ→T0+∆T-Γ→T0 
 
COM ∆T→0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere que a equação parametrizada da curva apresenta derivada, isto é, que a curva é suave no seu
domínio. Como o vetor ∆γ→t0 será tão pequeno quanto desejarmos, podemos afirmar que ele terá a direção da
reta tangente à curva e usará o teorema do valor médio para calcular esse vetor por meio da derivada:
∆Γ→T0=Γ→T0+∆T-Γ→T0=Γ→'T0∆T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, ∆τ=F→γt0.∆γ→t0=F→γt0.γ→'t0∆t com ∆t tendendo para zero.
 COMENTÁRIO
Observe a figura anterior, como γ→'t0 terá a direção da tangente à curva:
∆τ=F→γt0.γ→'t0∆t=F→γt0 γ→'t0cos α∆t
Onde α é o ângulo entre o vetor F→ e a tangente à curva da trajetória no ponto t0.
Se considerarmos a componente do vetor F→ na direção e sentido da trajetória F→T, como F→T=F→cos α:
∆Τ=F→ΓT0.Γ→'T0∆T=F→TΓT0 Γ→'T0∆T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em cada posição da trajetória, tanto o módulo do campo vetorial quanto o ângulo, que o vetor força faz com o
deslocamento, pode mudar. Para calcular o trabalho total exercido pela força F→ desde um instante t = a até
um instante t = b, necessitaremos somar todos os trabalhos realizados em cada trecho da trajetória.
Seguindo um raciocínio análogo que foi feito com a Soma de Riemann, dividiremos as trajetórias em partições
tão pequenas quantos desejarmos e calcularemos o trabalho para cada uma dessas partições infinitesimais.
Quando o tamanho das partições tenderem a zero, ou como outra forma de pensar, quando o número de
partições tenderem ao infinito, o trabalho total será obtido pelo somatório do trabalho em cada partição.
Τ=LIMM→∞ ∑I=1M∆ΤI=LIMM→∞ ∑I=1MF→ΓTI.Γ→'TI∆TI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Quando o tamanho de cada partição tender a zero, será o mesmo que fazer a variação da parametrização ∆t
tender a zero, garantindo a aproximação do vetor deslocamento através de sua derivada.
Esse limite é semelhante ao da integral simples, sendo definido como a integral de linha do campo vetorial F→
sobre a Curva C, definida por γ(t):
LIMM→∞ ∑I=1MF→ΓTI.Γ→'TI∆TI=∫ABF→ΓT.Γ→'TDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Deduzimos a integral de linha para campo vetorial por meio de um exemplo prático de cálculo de trabalho.
Existem, porém, diversas outras aplicações. Toda vez que desejarmos obter o efeito de um campo vetorial
sobre uma trajetória, a integral de linha para campo vetorial será usada.
Vamos, agora, definir matematicamente a Integral de linha de um campo vetorial.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
Como exemplificado no item anterior, a integral de linha de campo vetorial é semelhante a integral de linha de
campo escalar, com a diferença que desejamos o efeito da projeção do campo vetorial sobre a trajetória e não
apenas o módulo do campo.
Seja uma curva paramétrica C, definida por γ(t):[a,b]⊂ℝ→ℝn, com n inteiro maior do que 1, derivável em todo
seu domínio. Seja uma função escalar F →: S ⊂ ℝn → ℝn, com a imagem γ(t) pertencente ao domínio S da
função.
A integral de linha do campo vetorial F→ sobre C é definida por:
∫CF→.DΓ→=∫ABF→ΓT.Γ→'TDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
É preciso tomar cuidado, pois no integrando temos um produto escalar entredois vetores e não uma
multiplicação simples.
Observe que, após a montagem da integral de linha e o cálculo do produto escalar, o problema recai no cálculo
de uma ou mais integrais simples com os integrandos sendo funções reais.
Quando essa curva for fechada, podemos representar a integral pela simbologia a seguir:
∮CF→.DΓ→ = ∫ABF→ΓT.Γ→'TDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se, também, que caso a Curva C não seja suave em todo seu domínio, devemos dividir a trajetória em
pedaços onde a curva é suave, da mesma forma que fizemos para integral de linha em campos escalares para
curvas suaves em partes.
Da mesma forma, a integral de linha de campo vetorial também independe da parametrização da curva
utilizada.
Agora, veremos dois exemplos para entender melhor.
EXEMPLO 1
Determine o valor da integral de linha ∫CF→.dγ→, onde F→x,y,z=2x,-y,3z e a Curva C é definida pela equação
γt=(1-t2, 2t, t) com 0 ≤ t ≤2, com orientação positiva no sentido do crescimento do parâmetro t.
EXEMPLO 1
RESOLUÇÃO
Como F→x,y,z=x,y,z e γt=(1-t2, 2t, t), então:
 
 
F→γt=2-2t2,-2t, 3t
 
 
γ't=-2t, 2, 0
 
 
Assim, F→γt.γ'→t=2-2t2-2t+-2t.2+3t.0=4t3-4t-4t=4t3-8t
 
 
∫CF→.dγ→=∫024t3-8tdt=t402-4t202=16-4.4=0
javascript:void(0)
 
 
Vamos, agora, particularizar para o caso do ℝ3. Seja a Curva C definida pelas parametrizações γ t = x t , y t , z
( t ) .
 
 
Dessa forma, γ't=x't,y't, z'(t)=dxdt t,dydt t,dzdt t,
 
 
Considere o campo vetorial:
 
 
F→x,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z=Px,y,zx^+Qx,y,zy^+Rx,y,zz^.
 
 
Assim:
 
 
∫CF→γt.dγ→=∫abF→γt.γ→'tdt
 
 
∫CF→γt.dγ→=∫abPx,y,zdxdt+Qx,y,zdydt+Rx,y,zdzdtdt
 
 
Os valores de dxdt t,dydt t,dzdt t são obtidos pelas coordenadas de γ't.
 
 
Esta expressão pode ser simbolizada como:
 
 
∫CF→γt.dγ→=∫C(P dx+Qdy+Rdz)
 
 
A forma px,y,zdx+Qx,y,zdy+Rx,y,zdz é denominada de forma diferencial definida.
 
 
Para o caso do ℝ2, só não teríamos a parcela R dz.
EXEMPLO 2
Determine o valor de ∫Cx2dx+2y dy, sendo a Curva C definida por γt=(2t2,cos t), com 0≤t≤π2. Considere a
orientação positiva da curva no sentido do crescimento do parâmetro t.
RESOLUÇÃO
Pelo enunciado, F→x,y,z=x2,2y.
 
 
Assim, ∫Cx2dx+2y dy=∫0π22t22dxdt+2cos t dydtdt.
 
 
Mas, dxdt=2t2'=4t e dxdt=cos t'=-sen t.
 
 
Então:
 
 
∫Cx2dx+2y dy=∫0π24t4.4t+2cos t (-sent)dt=∫0π216t5-2cos t sen tdt
 
 
∫Cx2dx+2y dy=∫0π216t5-sen 2tdt=1616t60π2+12cos (2t)0π2=83π664=π624
RESUMO DO MÓDULO 2
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, localizada na origem do sistema cartesiano, apresenta
uma equação dada por E→(x,y,z)=kQx2+y2+z23/2x x^+y y^+z z^ [Volts/m], onde k é uma constante real
positiva.
Determine a diferença de potencial elétrico entre os pontos finais e iniciais de uma Curva C dada pela equação
γt=(t,t,t), com 1 ≤ t≤ 2, sabendo que a diferença de potencial é dada pela equação:
∆V=Vf-Vi=-∫CE→.dγ→ [Volts]
RESOLUÇÃO
CAMPOS VETORIAIS
MÃO NA MASSA
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM CAMPO VETORIAL COM DOMÍNIO
NO R3:
A) f(y)= y2+ 2 ln y
B) F→t=2t, t+1,cos t
C) F→u,v,w=2v, u+w
D) fx,y,z=2x+zln y
E) F→x,y=x+y, y+2, yln x
2. SEJAM OS CAMPOS VETORIAIS F→X,Y=X+Y, X2+3, Y-1, G→U,V,W=U+V, V+W, U+W
E H→X,Y,Z=X2+Y, Z2,3Y. DETERMINE O MÓDULO DA IMAGEM DO CAMPO VETORIAL
T→X,Y,Z, PARA O PONTO (X,Y,Z) = (1, 0, 2). SABE-SE QUE
T→X,Y,Z = 2F→X,Y ×(G→X,Y,Z-3H→X,Y,Z).
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
3. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA ∫CF→.DΓ→, SENDO O CAMPO VETORIAL
F→X,Y,Z=XYX^+YZY^+XZZ^ E A CURVA C DEFINIDA PELA EQUAÇÃO ΓT=(T2,T3,T),
PARA 0≤T≤1.
A) 2728
B) 2324
C) 2928
D) 2123
E) 1921
4. DETERMINE A INTEGRAL ∫C(X DX+Y DY+ZDZ) COM C DEFINIDA PELA EQUAÇÃO
PARAMÉTRICA ΓT=(T3,T2,T) COM 0 ≤ T ≤2. CONSIDERE A ORIENTAÇÃO DO
PERCURSO NO SENTIDO DE CRESCIMENTO DO PARÂMETRO T.
A) 32
B) 40
C) 42
D) 48
E) 50
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL ∫C(XZ DX+Y DY+DZ). A CURVA C É DEFINIDA
PELA INTERSEÇÃO DA ESFERA DE RAIO 2, CENTRADA NA ORIGEM, AS REGIÕES
X ≥ 0, Y ≥ 0 E Z ≥ 0 E O PLANO X = Z. O SENTIDO DO PERCURSO DA CURVA C SERÁ
ENTRE SEU PONTO INICIAL (0,2,0) ATÉ 2,0,2.
A) -52+63
B) 52-63
C) 22-63
D) 22+63
E) 52+63
6. UMA FORÇA F→X,Y,Z=X+2, Y+1 ATUA SOBRE UM OBJETO QUE SE MOVIMENTA
SOBRE UMA CURVA, QUE, POR SUA VEZ, É UM ARCO DE CICLOIDE DE EQUAÇÃO
ΓT=2T-SEN T, 2(1-COS T) COM 0≤T≤2Π DETERMINE O TRABALHO REALIZADO POR
ESTA FORÇA:
A) 8π2
B) 8π(π-1)
C) π(π+1)
D) 8π(π+1)
E) 8π2-1
GABARITO
1. Assinale a alternativa que apresenta um campo vetorial com domínio no R3:
A alternativa "C " está correta.
 
A alternativa a apresenta uma função real. 
 
A alternativa b apresenta uma função vetorial com imagem no ℝ3. 
 
A alternativa d apresenta uma função escalar com domínio no ℝ3. 
 
As alternativas c e e apresentam campos vetoriais, porém somente a alternativa c apresenta domínio no ℝ3,
sendo a alternativa verdadeira. 
 
O domínio do campo vetorial da alternativa e é o conjunto ℝ2.
2. Sejam os campos vetoriais F→x,y=x+y, x2+3, y-1, G→u,v,w=u+v, v+w, u+w e H→x,y,z=x2+y, z2,3y.
Determine o módulo da imagem do campo vetorial T→x,y,z, para o ponto (x,y,z) = (1, 0, 2). Sabe-se que
T→x,y,z = 2F→x,y ×(G→x,y,z-3H→x,y,z).
A alternativa "A " está correta.
 
Calculando os valores das imagens dos campos vetoriais: 
 
F→1,0=1+0, 12+3, 0-1=1,4,-1 →F→1,0=2.1,2.4,2.(-1)=2,8,-2 
 
G→1,0,2=1+0, 0+2, 1+2=1, 2,3 
 
H→1,0,2=12+0, 22, 3.0=1, 4,0→3H→1,0,2=3, 12,0 
 
Assim, G→1,0,2-3H→1,0,2=1-3,2-12,3-0=-2,-10,3 
 
T→1,0,2=2,8,-2X-2,-10,3=x^y^z^28-2-2-103 
 
T→1,0,2=24-20x^+4-6y^+-20+16z^=4x^-2y^-4z^ 
 
T→1,0,2=42+(-2)2+42=16+4+16=36=6
3. Determine a integral de linha ∫CF→.dγ→, sendo o campo vetorial F→x,y,z=xyx^+yzy^+xzz^ e a Curva
C definida pela equação γt=(t2,t3,t), para 0≤t≤1.
A alternativa "A " está correta.
 
Como F→x,y,z=xyx^+yzy^+xzz^ e γt=(t2,t3,t) 
 
F→γ(t)=t2.t3,t3.t,t2.t=t5,t4,t3 
 
γt=(2t,3t2,1) 
 
Portanto, F→γt.γ→'t=2t.t5+3t2.t4+1.t3=5t6+t3 
 
Assim, ∫CF→.dγ→=∫01(5t6+t3)dt=517t701+14t401=57+14=2728
4. Determine a integral ∫C(x dx+y dy+zdz) com C definida pela equação paramétrica γt=(t3,t2,t) com
0 ≤ t ≤2. Considere a orientação do percurso no sentido de crescimento do parâmetro t.
A alternativa "C " está correta.
 
Como γt=(t3,t2,t) 
 
γ't=3t2,2t,1 
 
Analisando a integral de linha pedida: 
 
F→x,y,z=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z=x x^+yy^+zz^ 
 
Assim: 
 
∫CF→γt.dγ→=∫02F→γt.γ→'tdt 
 
∫CF→γt.dγ→=∫02x dxdt+ydydt+zdzdtdt 
 
∫CF→γt.dγ→=∫02t3 3t2+t2 2t+t.1dt=∫02(3t5+2t3+t) dt 
 
∫CF→γt.dγ→=316t602+214t402+12t202=262+242+222=32+8+2=42
5. Determine o valor da integral ∫C(xz dx+y dy+dz). A Curva C é definida pela interseção da esfera de raio
2, centrada na origem, as regiões x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0 e o plano x = z. O sentido do percurso da Curva C
será entre seu ponto inicial (0,2,0) até 2,0,2.
A alternativa "B " está correta.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
6. Uma força F→x,y,z=x+2, y+1 atua sobre um objeto que se movimenta sobre uma curva, que, por sua
vez, é um arco de cicloide de equação γt=2t-sen t, 2(1-cos t) com 0≤t≤2π Determine o trabalho realizado
por esta força:
A alternativa "D " está correta.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM OS CAMPOS VETORIAIS G→U,V=2U+V, V2, U+2, F→X,Y,Z=X+2Y, Y+2Z, Z-2X
E H→U,V,W=U2+2, V2,3W. DETERMINE O MÓDULO DA IMAGEM DO CAMPO
VETORIAL R→X,Y,Z PARA O PONTO (X,Y,Z) = (– 1 , 1, 0). SABE-SE QUE
R→X,Y,Z=3G→X,Y ×(F→X,Y,Z-H→X,Y,Z).
A) 6
B) 62
C) 12
D) 63
E) 102
2. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA ∫CF→.DΓ→, SENDO O CAMPO VETORIAL
F→X,Y,Z=2Y2ZX^+XZY^+Z2Z^, E A CURVA C DEFINIDA PELA EQUAÇÃO ΓT=(T2,T,T2),
PARA 0≤T≤1.
A) 34
B) 57
C) 65
D) 98
E) 23
GABARITO
1. Sejam os campos vetoriais G→u,v=2u+v, v2, u+2, F→x,y,z=x+2y, y+2z, z-2x e H→u,v,w=u2+2, v2,3w.
Determine o módulo da imagem do campo vetorial R→x,y,z para o ponto (x,y,z) = (– 1 , 1, 0). Sabe-se que
R→x,y,z=3G→x,y ×(F→x,y,z-H→x,y,z).
A alternativa "B " estácorreta.
 
G→-1,1=2.-1+1,12,-1+2=-1,1,1 
 
3G→-1,1=3.(-1),3.1,3.1= -3,3,3 
 
F→-1,1,0=-1+2.1, 1+2.0, 0-2.(-1)=1, 1,2 
 
H→-1,1,0=(-1)2+2, 12, 3.0=3, 1,0 
 
Assim F→-1,1,0-H→-1,1,0=1-3,1-1,2-0=-2,0,2 
 
R→-1,1,0=-3,12,3X-4,0,-2=x^y^z^-333-202 
 
R→-1,1,0=6-0x^+-6+6y^+0+6z^=6x^+6z^ 
 
R→-1,1,0=62+02+62=72=62
2. Determine a integral de linha ∫CF→.dγ→, sendo o campo vetorial F→x,y,z=2y2zx^+xzy^+z2z^, e a
Curva C definida pela equação γt=(t2,t,t2), para 0≤t≤1.
A alternativa "C " está correta.
 
Como F→x,y,z=2y2zx^+xzy^+z2z^ e γt=t2,t,t2: 
 
F→γ(t)=2.t2.t2,t2.t2,t4=2t4,t4,t4 
 
γt=(2t,1,2t) 
 
Portanto: 
 
F→γt.γ→'t=2t.2t4+1.t4+2t.t4=4t5+t4+2t5=6t5+t4 
 
Assim: 
 
∫CF→.dγ→=∫01(6t5+t4)dt=616t601+15t501=1+15=65
MÓDULO 3
 Calcular integrais de linha de campos conservativos
INTRODUÇÃO
O rotacional e o divergente de um campo vetorial são dois operadores diferenciais aplicados em um campo
vetorial que são bastantes utilizados em diversas áreas de aplicação. Esses operadores quando aplicados a
campos reais apresenta um significado físico, como será estudado neste módulo.
Baseado no resultado de alguns operadores diferenciais, o campo vetorial pode ser classificado como campo
conservativo.
ESSE TIPO DE CAMPO TEM UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE: A SUA
INTEGRAL DE LINHA INDEPENDER DO CAMINHO DE INTEGRAÇÃO,
DEPENDENDO APENAS DO PONTO FINAL E INICIAL.
Na física, por exemplo, trabalha-se com diversos tipos de campos conservativos que são associados a suas
funções potenciais. Podemos citar o campo gravitacional e o campo elétrico.
Os campos conservativos também serão estudados neste módulo.
OPERADORES DIFERENCIAIS
Antes de estudarmos o campo conservativo, precisamos definir alguns operadores diferenciais para um campo
vetorial.
Já estudamos em outras oportunidades o gradiente de um campo escalar.
 COMENTÁRIO
O gradiente é um operador aplicado em uma função que tem saída real e tem como resultado um vetor,
composto pelas derivadas parciais da função que foi operada matematicamente.
Além do gradiente, podemos definir dois outros operadores diferenciais que são o rotacional e o divergente, que
serão aplicados em campos vetoriais.
ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL
Seja um campo vetorial F→: S ⊂ ℝ3 → ℝ3 representado por suas funções componentes da forma:
F→X,Y,Z=PX,Y,ZX^+QX,Y,ZY^+RX,Y,ZZ^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que as funções P, Q e R são funções escalares que admitem derivadas parciais em S. Assim, o
rotacional de F→, simbolizado por rot F→ é também um campo vetorial definido por:
ROT F→=ΔRΔY-ΔQΔZX^+ΔPΔZ-ΔRΔXY^+ΔQΔX-ΔPΔYZ^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa expressão também pode ser representada por meio do cálculo de um determinante:
ROT F→=X^Y^Z^ΔΔXΔΔYΔΔZPQR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo o operador ∇=∂∂x,∂∂y,∂∂z no ℝ3, o determinante acima pode ser analisado como rot F→=∇×F→, por
isso que ∇×F→ também é uma simbologia usada para o rotacional de F→.
Observe que o rotacional é um operador aplicado a um campo vetorial e tem como resultado também um
campo vetorial. O rotacional só será definido para um campo do R3 e seu caso particular no R2.
 COMENTÁRIO
A interpretação geométrica do rotacional de um campo vetorial é que ele é um vetor que representa quanto o
campo se rotaciona em torno de um ponto, por isso o nome rotacional. 
 
Se um campo apresenta rotacional nulo é denominado de campo irrotacional.
EXEMPLO
Determine o rotacional do campo vetorial F→x,y,z=2x2z x^+3xyz y^+y2 z^ no ponto (1,1,2).
RESOLUÇÃO
rot F→x,y,z=x^y^z^δδxδδyδδzPQR
 
 
Assim:
 
 
rot F→x,y,z=x^y^z^δδxδδyδδz2x2z3xyzy2
 
 
Resolvendo o determinante:
 
 
rot F→x,y,z=δδy(y2)-δδz(3xyz)x^+δδz(2x2z)-δδx(y2)y^+δδx(3xyz)-δδy(2x2z)z^
 
 
rot F→x,y,z=2y-3xyx^+2x2-0y^+3yz-0z^
javascript:void(0)
 
 
rot F→x,y,z=2y-3xyx^+2x2y^+3yzz^
 
 
Para (1,1,2):
 
 
rot F→1,1,2=2-3x^+2y^+3.2z^=-x^+2y^+6z^
Como lembrado no item anterior, o gradiente de uma função escalar (∇f) é um campo vetorial. Existe uma
propriedade que diz que, para qualquer função escalar:
rot∇f=0
DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL
Seja um campo vetorial F→: S ⊂ ℝn → ℝn, com n inteiro maior do que 1, representado por suas funções
componentes da forma F→=f1,f2,…, fn. Considere que as derivadas parciais de primeira ordem de todas as
componentes no domínio de F→⃗ existem.
Assim, define o divergente de um campo vetorial, representado por div F→⃗, por:
DIV F→=∂F1∂X1+∂F2∂X2+…+∂FN∂XN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo o operador ∇=∂∂x1,∂∂x2,…, ∂∂xn no ℝn, o divergente pode ser considerado o produto escalar entre o
operador ∇ e o campo vetorial F→. Por isso, também, se usa a simbologia ∇.F→ para representar o divergente
de um campo vetorial F→.
Observe que o divergente é aplicado em um campo vetorial, mas tem como resultado um campo escalar.
NO CASO DE UMA FUNÇÃO F→: S ⊂ ℝ3 → ℝ3 COM A
SEGUINTE REPRESENTAÇÃO: 
No caso de uma função F→: S⊂R3 → R3 com F→x,y,z = Pz,y,zx^ + Qx,y,zy^ + Rx,y,zz^
 
 
div F→x,y,z = ∂P∂x x,y,z + ∂Q∂y x,y,z + ∂R∂z x,y,z
PARA O CASO DO ℝ2, COM F→X,Y=PX,YX^+QX,YY^:
Para o caso do ℝ2, com F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^
 
 
div F→x,y = ∂P∂x x,y + ∂Q∂y x,y
EXEMPLO
Determine o divergente do campo vetorial F→x,y,z=2x2z x^+3xyz y^+y2 z^ no ponto (1,1,2).
RESOLUÇÃO
Se F→x,y,z=Px,y,zx^+Qx,y,zy^+Rx,y,zz^, então: 
 
 
 
div F→x,y,z=∂P∂xx,y,z+∂Q∂yx,y,z+∂R∂zx,y,z
 
 
div F→x,y,z=∂∂x2x2z+∂∂y3xyz+∂∂zy2=4xz+3xz+0=7xy
 
 
No ponto (1,1,2):
 
 
div F→1,1,2=7.1.1=7
A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO DIVERGENTE DE UM
CAMPO VETORIAL É QUE ELE MEDE QUANTO UM CAMPO SE
ESPALHA (DIVERGE) A PARTIR DE UM PONTO, POR ISSO O
NOME DIVERGENTE.
javascript:void(0)
Pode também ser analisado que se temos um campo vetorial que mede um fenômeno físico, o ponto onde o
divergente é diferente de zero, são os pontos onde o campo é criado (fonte de campo) ou destruído (sumidouro
de campo).
Existe uma propriedade que mostra que para um campo vetorial:
divrot F→=0
Por fim, o divergente pode ser combinado com o gradiente, definindo um novo operador diferencial denominado
de Laplaciano de um Campo Escalar (∇2f):
∇2F=∇.∇F OU ∇2F=DIV (GRAD F)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um campo escalar f(x,y,z), com domínio no ℝ3:
∇2F X,Y,Z =∂2F∂X2 X,Y,Z +∂2F(X,Y,Z∂Y2 X,Y,Z +∂2F∂Z2 X,Y,Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um campo vetorial, define o Laplaciano de um Campo Vetorial (∇2F→) pelo laplaciano de
cada componente do campo vetorial.
Assim no caso do ℝ3, com:
F→X,Y,Z=PX,Y,ZX^+QX,Y,ZY^+RX,Y,ZZ^ 
 
∇2F→X,Y,Z=∇2PX,Y,ZX^+∇2QX,Y,ZY^+∇2RX,Y,ZZ^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAMPOS CONSERVATIVOS
O campo vetorial F→: S ⊂ ℝn → ℝn, com n inteiro e maior do que 1, será um campo conservativo se existir um
campo escalar f: S ⊂ ℝn → ℝ tal que:
∇F=F→ EM S 
 
A FUNÇÃO ESCALAR F É DENOMINADA DE FUNÇÃO
POTENCIAL DE F→ EM S.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto importante que podemos citar é que se F→ for contínuo em S, a função potencial f será contínua e
derivável no domínio S.
Observe que o campo vetorial será conservativo se puder ser representado pelo gradiente de uma função
escalar.
De início, para que isso seja possível, o domínio e a imagem precisam ter a mesma dimensão.
 COMENTÁRIO
Repare que se o domínio estiver em ℝn, a imagem, obrigatoriamente, deve estar em ℝn. Em outras palavras,
não existe campo conservativo para um campo vetorial F→: S ⊂ ℝn → ℝm, com n diferente de m.
Para o caso de n = 2 e n = 3, que são os casos principais de nossos problemas, uma condição necessária, mas
não suficiente para que o campo vetorial seja conservativo é que rot F→ seja nulo,isto é, que o campo seja
irrotacional. Ou seja, o rotacional nulo é necessário para que um campo seja conservativo. Quando o rotacional
do campo é diferente de zero, o campo, com certeza, não é conservativo.
Apenas um cuidado: pode ocorrer campos com rotacional nulo que não são conservativos. Por isso que a
condição não é suficiente. Mais à frente, analisaremos a condição suficiente para garantir que um campo
vetorial seja conservativo.
EXEMPLO
Verifique se o campo vetorial F→x,y,z=2x2z x^+3xyz y^+y2 z^ é um campo conservativo
RESOLUÇÃO
Já calculamos em um exemplo anterior o rotacional deste campo vetorial
 
 
Assim, rot F→x,y,z=2y-3xyx^+2x2y^+3yzz^.
javascript:void(0)
 
 
Repara que esse campo não é irrotacional, pois existem pontos onde o rotacional não é nulo.
 
 
Assim, podemos garantir que o campo vetorial F→ não é conservativo.
Na Física, trabalhamos com diversos campos conservativos.
 EXEMPLO
O campo elétrico será representado pelo gradiente de uma função escalar que denominamos de potencial
elétrico. Por isso que o campo é conservativo e terá propriedades relacionadas a sua integral de linha. Essas
propriedades serão vistas no próximo item.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS
CONSERVATIVOS
Quando o campo vetorial for conservativo, vamos verificar que podemos aplicar um teorema semelhante ao
Teorema Fundamental do Cálculo que denominaremos de Teorema Fundamental para Integrais de Linha.
Seja C uma curva suave definida por γ(t), com a ≤ t ≤ b. Seja F→ um campo vetorial contínuo e conservativo,
com função gradiente f, então o Teorema Fundamental para Integrais de Linha nos diz que:
∫CF→ΓT.DΓ→=∫AB∇FΓT.Γ→'TDT=FΓ(B)-FΓ(A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em outras palavras, a integral de linha só depende do valor da função potencial nos pontos final e inicial.
Dizemos que a integral de linha de um campo conservativo independe da trajetória.
A INTEGRAL DE LINHA DE QUALQUER CAMPO VETORIAL INDEPENDE
DO PARÂMETRO. SE O CAMPO FOR CONSERVATIVO, ALÉM DE
INDEPENDER DA PARAMETRIZAÇÃO, A INTEGRAL DE LINHA
INDEPENDERÁ DO CAMINHO TRAÇADO. SE O CAMPO FOR NÃO
CONSERVATIVO, A INTEGRAL DE LINHA DEPENDERÁ DO CAMINHO
PERCORRIDO ENTRE OS PONTOS INICIAIS E FINAIS.
Um ponto importante é que a volta do teorema não vale para qualquer região. Em outras palavras, se o valor da
integral de linha de um campo for independente do caminho para todas as curvas dentro de uma região,
dependendo apenas dos pontos inicial e final, só podemos garantir que esse campo será conservativo se a
região for uma região conexa.
Outra conclusão importante do teorema é que, caso o campo seja conservativo, a integral de linha através de
um percurso fechado será obrigatoriamente nula. Ou se o valor da integral de linha através de qualquer
percurso fechado for nulo, o campo será conservativo.
Os teoremas e suas conclusões não foram demonstrados, mas essas demonstrações podem ser estudadas, se
for o caso, nas obras de referência deste tema.
Obs.: Uma região será conexa se quaisquer dois pontos da região puderem ser sempre ligados por uma
poligonal totalmente contida na região B. Por exemplo, uma região que é dividida em duas regiões
separadas não é uma região conexa.
 DICA
Toda vez que formos calcular a integral de linha de um campo vetorial, temos que observar antes se o campo é
ou não conservativo, pois assim podemos resolvê-la de forma muito mais rápida.
EXEMPLO
Seja o campo conservativo F→x,y=1+4xy, 2x2-y2. Determine a sua integral de linha entre o ponto inicial (1,1)
até o ponto final (2,2). Sabe-se que a função potencial de F→ vale fx,y=x+2x2y-13y3 para todo seu domínio ℝ2.
RESOLUÇÃO
O enunciado já informa que o campo é conservativo. Repare que:
 
 
rot F→x,y,0=x^y^z^δδxδδyδδz1+4xy 2x2-y20=
 
 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
=δδy(0)-δδz(2x2-y2)x^+δδz(1+4xy)-δδx(0)y^+δδx(2x2-y2)-δδy(1+4xy)z^
 
 
=0-0x^+0-0y^+4x-4xz^=0
 
 
Mostrando que o campo atende a condição necessária por ser irrotacional, isto é, seu rotacional é nulo para
todos os pontos (x,y,z).
 
 
O enunciado já forneceu a função potencial do campo vetorial, observe:
 
 
∂f∂x=1+4xy=Fx
 
 
∂f∂y=2x2-y2=Fy
 
 
Provando que ∇f=F→.
 
 
Resolvendo a integral de linha, repare que o exemplo não informou qual é o caminho a ser traçado, pois, ao
afirmar que o campo era conservativo, a integral de linha só depende do seu ponto inicial e final.
 
 
∫CF→γt.dγ→=fγb-fγa=f2,2-f1,1
 
 
∫CF→γt.dγ→=2+2.22.2-1323-1+1.12.1-1313=383
 
 
Vamos apenas escolher um caminho para provar que a integral de linha para este campo vetorial, para qualquer
caminho, tem que fornecer o valor calculado. Seja o caminho γt=(t,t) para 1 ≤ t≤ 2.
 
 
Neste caso, γ't=(1,1) e F→γt=1+4t2,t2
 
 
F→γt.γ→'t=1+4t2+t2 =1+5t2
 
 
∫CF→.dγ→=∫12F→γt.γ→'tdt=∫12(1+5t2)dt=t12+5 t3312
 
 
∫CF→.dγ→=2-1+583-13=1+353=383
 
 
Fornecendo o mesmo valor obtido anteriormente.
Esse conceito de campo conservativo pode parecer novo para você, mas já foi utilizado diversas vezes em seus
estudos de Física.
OS CAMPOS GRAVITACIONAL, ELÉTRICO E DE FORÇA DA
MOLA SÃO CONSERVATIVOS, E VOCÊ APRENDEU QUE O
TRABALHO QUE ESSAS FORÇAS EXERCIAM SÓ DEPENDIA
DOS PONTOS INICIAL E FINAL.
Outra forma de abordar isso era com a criação da Energia potencial, que dependia apenas do ponto do objeto.
Só resta buscarmos uma forma de verificar se um campo é conservativo, isto é, uma condição suficiente para
essa garantia.
Antes disso, necessitamos definir alguns pontos:
Uma curva será simples se nenhum ponto dela se intercepta.
 
Fonte: EnsineMe
Uma região B será simplesmente conexa quando toda curva simples fechada dentro de sua região
contornar apenas pontos que pertence à região B. Em outras palavras, a região B não pode ter buracos
ou ser constituída por regiões separadas, veja:
 
Fonte: EnsineMe
Agora vamos definir uma condição suficiente para o campo vetorial ser conservativo.
SEJA F→: S ⊂ ℝN → ℝN, PARA N = 2 OU N = 3, UM CAMPO VETORIAL
DIFERENCIÁVEL EM S. SE O DOMÍNIO S FOR SIMPLESMENTE CONEXO E
O ROT F→ FOR NULO, ENTÃO F→ SERÁ UM CAMPO CONSERVATIVO.
Assim, a condição de simplesmente conexo para o domínio do campo vetorial garante que caso o campo seja
irrotacional, o campo vetorial será conservativo.
Os casos mais comuns serão aqueles em que o domínio da função será o próprio ℝn. Podemos observar que o
conjunto ℝn é simplesmente conexo. Assim, para esse caso, basta garantirmos que o campo vetorial seja
irrotacional.
Para o caso do ℝ2, seja F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^, então o rotacional do campo será:
ROT F→=X^Y^Z^ΔΔXΔΔYΔΔZPQ0=ΔQΔX-ΔPΔYZ^ 
 
POIS P E Q SÓ DEPENDEM DE X E Y.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Neste caso, para o rotacional ser nulo δQδx-δPδy=0..
Assim, dizemos que se F→ for conservativo, então δQδx=δPδy. E se o domínio do campo vetorial F→ for
simplesmente conexo e δQδx=δPδy em todos os seus pontos, então F→ é conservativo.
EXEMPLO
Seja o campo vetorial F→x,y=4xy, x2-y2. Verifique se é um campo conservativo.
RESOLUÇÃO
Como o domínio de F→ é o ℝ2, que é um conjunto simplesmente conexo, basta verificarmos se será um campo
irrotacional.
 
 
No caso do ℝ2, basta verificarmos se δQδx=δPδy, com F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^
 
 
∂Q∂x=∂∂x x2-y2=2x
 
 
∂P∂y=∂∂y 4xy=4x
 
 
Como ∂Q∂x≠∂P∂y então, o campo não é irrotacional e não será conservativo.
javascript:void(0)
EXEMPLO
Seja o campo vetorial F→x,y=8-3xy2, 2y2-3yx2. Verifique se é um campo conservativo.
RESOLUÇÃO
Como o domínio de F→ é o ℝ2, que é um conjunto simplesmente conexo, então basta verificarmos se será um
campo irrotacional.
 
 
No caso do ℝ2, basta verificarmos se δQδx=δPδy, com F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^
 
 
∂Q∂x=∂∂x (2y2-3yx2)=-6xy
 
 
∂P∂y=∂∂y (8-3xy2)= -6xy
 
 
Como ∂Q∂x=∂P∂y, com domínio no ℝ2, o campo será conservativo.
Por fim, para o caso de um campo ser conservativo, existem formas de obter a sua função potencial. Essa
metodologia não será vistaneste módulo, mas pode ser estudada, se for o caso, nas referências deste tema.
RESUMO DO MÓDULO 3
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TEORIA NA PRÁTICA
Sabe-se que um campo elétrico gerado por determinada carga puntiforme, localizada na origem do sistema
cartesiano, tem uma equação dada por:
E→x,y,z=100x2+y2+z23/2x x^+y y^+z z^ [Volts/m].
Esse campo é conservativo e apresenta uma função potencial dada por:
Vx,y,z=-100x2+y2+z21/2 [Volts/m].
Determine a integral de linha para o campo elétrico entre os pontos (2, 23, 2) e (22, 4, 1) através de uma Curva
C. A Curva C será contida na interseção de um paraboloide e um cone.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO CONSERVATIVO
MÃO NA MASSA
1. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z= ZEYX^+3 ARCTGYY^+X2+3Y Z^. DETERMINE
O VALOR DO ROTACIONAL ∇XF→ NO PONTO (1,0,2):
A) x^- y^+2z^
B) 3x^+2y^+z^
C) 3x^-2y^+2z^
D) - y^+2z^
E) 3x^-z^
2. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z=2ARCTGZ X2 X^+3ZEY Y^+3X+Y Z^.
DETERMINE O VALOR DO SEU DIVERGENTE ∇·F→ NO PONTO (2,0,1).
A) π2+3
B) π-3
C) π4+e3
D) 21
E) π2
3. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y=2XCOS Y+YCOS X, -X2SEN Y+SEN X.
DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL DE LINHA DESTE CAMPO VETORIAL SOBRE
UMA ELIPSE NO PLANO XY DE EQUAÇÃO 9X2+ 7Y2 = 23, PARA UM PERCURSO QUE
SE INICIA E TERMINA, APÓS UMA VOLTA COMPLETA NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO,
NO PONTO 1,2.
A) 4
B) -4
C) 3
D) -2
E) 0
4. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM CAMPO CONSERVATIVO:
A) F→x,y=2xy x^+x3+1 y^
B) F→x,y=2y x^+y+x3 y^
C) F→x,y=2xy x^+x2+1 y^
D) F→x,y=2x x^+x3+1 y^
E) F→x,y=2xy2 x^+x3+x y^
5. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z=2Y2SENZ, 4 XY SEN Z, 2XY2COS Z. ASSINALE
A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA AFIRMATIVA FALSA RELACIONADA AO
CAMPO VETORIAL F→:
A) Domínio do campo vetorial é o conjunto R3.
B) O campo vetorial F→ é irrotacional.
C) O campo vetorial F→ é conservativo.
D) O divergente do campo vetorial F→ no ponto (1,1, π2) vale 3.
E) O divergente do rotacional do campo vetorial F→ é nulo.
6. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z=2Y2SENZ, 4 XY SEN Z, 2XY2COS Z.
DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA DESTE CAMPO VETORIAL EM RELAÇÃO À
CURVA ΓT=(T2+1,27-19T3,37T2+9 DESDE O PONTO INICIAL (1,3,3) ATÉ O PONTO
FINAL (2,2,4). SABE-SE QUE ESTE CAMPO É CONSERVATIVO E APRESENTA UMA
FUNÇÃO POTENCIAL DADA PELO CAMPO ESCALAR FX,Y,Z=2XY2SEN Z.
A) 3 sen 4-2 sen 3
B) 4 sen 4+3 sen 3
C) 6 sen 4+8 sen 3
D) 18 sen 4-16 sen 3
E) 16 sen 4-18 sen 3
GABARITO
1. Seja o campo vetorial F→x,y,z= zeyx^+3 arctgyy^+x2+3y z^. Determine o valor do rotacional ∇XF→ no
ponto (1,0,2):
A alternativa "C " está correta.
 
rot F→(x,y,z)=x^y^z^δδxδδyδδzzey3 arctgy(x2+3y) 
 
Assim, resolvendo o determinante: 
 
rot F→x,y,z=δδy(x2+3y)-δδz(3 arctgy)x^ +δδz(zey)-δδx(x2+3y)y^ +δδx(3 arctgy)-δδy(zey)z^ 
 
rot F→x,y,z=3-0x^+ey-2xy^+zeyz^ 
 
rot F→x,y,z=3x^+ey-2xy^+zeyz^ 
 
Para o ponto (1,0,2): 
 
rot F→1,0,2=3x^+e0-2.1y^+2.e0z^=3x^- 2y^+2z^
2. Seja o campo vetorial F→x,y,z=2arctgz x2 x^+3zey y^+3x+y z^. Determine o valor do seu divergente
∇·F→ no ponto (2,0,1).
A alternativa "A " está correta.
 
Se F→x,y,z=Px,y,zx^+Qx,y,zy^+Rx,y,zz^, então: 
 
div F→x,y,z=∂P∂xx,y,z+∂Q∂yx,y,z+∂R∂zx,y,z 
 
div F→x,y,z=∂∂x2arctgz x2+∂∂y3zey+∂∂z3x+y=4xz+3xz+0=7xy 
 
div F→x,y,z=2arctgz∂∂xx2+3z∂∂yey+3x+y∂∂z1=2arctgz.2x+3zey 
 
No ponto (2,0,1): 
 
div F→2,0,1=2 arctg1.2.2+3.1.e0=8π4+3=π2+3
3. Seja o campo vetorial F→x,y=2xcos y+ycos x, -x2sen y+sen x. Determine o valor da integral de linha
deste campo vetorial sobre uma elipse no plano XY de equação 9x2+ 7y2 = 23, para um percurso que se
inicia e termina, após uma volta completa no sentido anti-horário, no ponto 1,2.
A alternativa "E " está correta.
 
 
Considerando F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^: 
 
δQδx=-2xsen y+cosx e δPδy=-2xsen y+cosx 
 
Assim como δQδx=δPδy e o domínio do campo vetorial é o ℝ2, que é um conjunto simplesmente conexo, o
campo vetorial será conservativo. 
 
A integral de linha de um campo conservativo para um percurso que se inicia e acaba no mesmo ponto é zero.
4. Assinale a alternativa que apresenta um campo conservativo:
A alternativa "C " está correta.
 
Como o domínio de todos os campos apresentados está no ℝ2, que é simplesmente conexo, a condição de
irrotacional é suficiente para o campo ser conservativo. 
 
No caso do R2, o rotacional será nulo para um campo F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^ se δQδx=δPδy, 
 
Para alternativa da letra a: δQδx=3x2 e δPδy=2x 
 
Para alternativa da letra b: δQδx=3x2 e δPδy=2 
 
Para alternativa da letra c: δQδx=2x e δPδy=2x, sendo a resposta correta para questão. 
 
Para alternativa da letra d: δQδx=3x2 e δPδy=0 
 
Para alternativa da letra e: δQδx=3x2 +1 e δPδy=4xy
5. Seja o campo vetorial F→x,y,z=2y2senz, 4 xy sen z, 2xy2cos z. Assinale a alternativa que apresenta
uma afirmativa falsa relacionada ao campo vetorial F→:
A alternativa "D " está correta.
OPERADORES DIFERENCIAIS
6. Seja o campo vetorial F→x,y,z=2y2senz, 4 xy sen z, 2xy2cos z. Determine a integral de linha deste
campo vetorial em relação à curva γt=(t2+1,27-19t3,37t2+9 desde o ponto inicial (1,3,3) até o ponto final
(2,2,4). Sabe-se que este campo é conservativo e apresenta uma função potencial dada pelo campo
escalar fx,y,z=2xy2sen z.
A alternativa "E " está correta.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO CONSERVATIVO
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z=2YZ X^+2Z2EX Y^+3X+1 Z^. DETERMINE O
VALOR DO ∇XF→ NO PONTO (0,1,2):
A) rot F→0,1,2=-x^+y^+4z^
B) rot F→0,1,2=-8x^-y^+4z^
C) rot F→0,1,2=8x^-y^+z^
D) rot F→0,1,2=-2x^-y^+z^
E) rot F→0,1,2=3x^-1+4z^
2. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y,Z=16 XZCOS Y, -8ZX2 SEN Z, 8X2COS Y.
DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA DESTE CAMPO VETORIAL EM RELAÇÃO À
CURVA ΓT=(T2-1, 16T2+9, 27-19T33) DESDE O PONTO INICIAL ( – 1 ,3,3) ATÉ O PONTO
FINAL (0,5,2). SABE-SE QUE ESTE CAMPO É CONSERVATIVO E APRESENTA UMA
FUNÇÃO POTENCIAL DADA PELO CAMPO ESCALAR FX,Y,Z=8ZX2COS Y.
A) 24 cos 3
B) 24 sen 3
C) - 24 cos 3
D) 24 cos 3 - 12 sen 3
E) 24 cos 3 + 12 sen 3
GABARITO
1. Seja o campo vetorial F→x,y,z=2yz x^+2z2ex y^+3x+1 z^. Determine o valor do ∇XF→ no ponto (0,1,2):
A alternativa "B " está correta.
 
Primeiro temos que calcular o rotacional para depois tirar o divergente dele. 
 
rot F→x,y,z=x^y^z^δδxδδyδδz2yz2z2ex(3x+1) 
 
Assim, resolvendo o determinante: 
 
rot F→x,y,z=δδy(3x+1)-δδz(2z2ex)x^+δδz(2yz)-δδx(3x+1)y^+δδx(2z2ex)-δδy(2yz)z^ 
 
rot F→x,y,z=0-4zexx^+2y-3y^+2z2ex-2zz^ 
 
rot F→x,y,z=-4zexx^+2y-3y^+2z2ex-2zz^ 
 
No ponto (0,1,2): 
 
rot F→0,1,2=-4.2.e0x^+2.1-3y^+2.22.e0-2.2z^ 
 
rot F→0,1,2=-8x^-y^+4z^
2. Seja o campo vetorial F→x,y,z=16 xzcos y, -8zx2 sen z, 8x2cos y. Determine a integral de linha deste
campo vetorial em relação à curva γt=(t2-1, 16t2+9, 27-19t33) desde o ponto inicial ( – 1 ,3,3) até o ponto
final (0,5,2). Sabe-se que este campo é conservativo e apresenta uma função potencial dada pelo campo
escalar fx,y,z=8zx2cos y.
A alternativa "C " está correta.
 
O enunciado diz que o campo é conservativo. Mas como o domínio é ℝ3, determine o valor do rotacional deste
campo e prove que será nulo, confirmando a informação. 
 
Como o campo é conservativo, a integral de linha independe da curva e depende apenas dos pontos inicial e
final: 
 
∫CF→γt.dγ→=fγb-fγa=f0,5,2-f-1,3,3 
 
Mas fx,y,z=8zx2cos y 
 
∫CF→γt.dγ→=8.2.0.cos 5-8.3.-12cos3=-24 cos 3
MÓDULO 4
 Aplicar o Teorema de Green
INTRODUÇÃO
O cálculo de uma integral de linha e o de uma integral dupla podem ser relacionados por meio do chamado
Teorema de Green.
Através dele, você obtém a integral de linha de um campo vetorial resolvendo uma integral dupla de uma
função real.
Vamos estudá-lo?
TEOREMA DE GREEN
O Teorema de Green permite relacionar a integral de linha por meio de uma curva fechada simples C com a
integral dupla sobre a região B formada por esta curva. A região B será formada por todos os pontos da
fronteira C e os pontos dentro da curva fechada, veja a figura.
 
Fonte: EnsineMe
Necessitamos orientar a curva, assim para o Teoremade Green, a orientação positiva será quando a curva for
percorrida no sentido anti-horário apenas uma vez.
Vamos, agora, enunciar o teorema. A demonstração desse teorema para uma região retangular, pode ser
estudada, se for o caso, nas obras de referência que se encontram no fim deste tema. Quando se trata de uma
região qualquer, a demonstração do teorema é bastante complexa.
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE GREEN
SEJA C UMA CURVA PLANA SIMPLES, FECHADA, CONTÍNUA
POR TRECHOS E ORIENTADA POSITIVAMENTE. SEJA B A
REGIÃO DELIMITADA POR C. SEJAM AS FUNÇÕES ESCALARES
P E Q DERIVÁVEIS EM UM CONJUNTO ABERTO QUE
CONTENHA D, ENTÃO:
∮CPX,YDX+QX,YDY=∬B∂Q∂X-∂P∂YDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Determine a integral de linha ∮Cx4-y3dx+x3+y3dy, sobre a curva γt=(cos t, sen t), com 0≤t≤2π percorrida no
sentido do crescimento do parâmetro t.
RESOLUÇÃO
Se desejássemos resolver a integral de linha da forma direta:
 
 
Com γt=(cos t, sen t)→ γ't=(-sen t, cos t):
 
 
∮Cx4-y3dx+x3+y3dy=∫02πx4-y3dxdt+x3+y3dydtdt
javascript:void(0)
 
 
Com γt=(cos t, sen t)→ γ't=(-sen t, cos t):
 
 
=∫02πcos4t-sen3t(-sen t)+cos3t+sen3tcos tdt=
 
 
=∫02π(-cos4tsen t+sen4t+cos4t+sen3tcos t)dt
 
 
Que seria uma integral definida resolvida usando a substituição de variável que vai requerer muito trabalho.
 
 
Utilizando o Teorema de Green, a integral sairá de uma forma mais simples. Observe que, ao crescer o
parâmetro, a curva é percorrida no sentido anti-horário, que é o sentido definido como positivo para o teorema
de Green.
 
 
∮CPx,ydx+Qx,ydy=∬B∂Q∂x-∂P∂yds
 
 
Px,y=x4-y3→δPδy=-3y2
 
 
Qx,y=x3+y3→δQδx=3x2
 
 
Assim:
 
 
∬B∂Q∂x-∂P∂yds=∬B(3x2--3y2dxdy=∬B(3x2+3y2)dxdy
 
 
Ao analisarmos a Curva C fechada, que se trata de uma circunferência de raio 1. Assim, fica mais simples
resolver a integral dupla pelas coordenadas polares:
 
 
∬B3(x2+y2)dxdy=∫02π∫013ρ2 ρdρdθ=∫02π∫013ρ3 dρdθ
 
 
∫02π∫013ρ3 dρdθ=θ02π . 3 14ρ401=2π.34=3π2
REPRESENTAÇÃO VETORIAL PARA TEOREMA DE
GREEN
Observe que estamos trabalhando com funções e áreas no R2. Se considerarmos que F→x,y=Px,yx^+Qx,yy^, ,
então ∂Q∂x-∂P∂y é o seu rotacional, com direção do eixo x, isto é, perpendicular ao plano XY.
Portanto, o Teorema de Green pode ser representado por:
∮CF→.DΓ→=∬B ∇XF→.Z^ DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMA DE GREEN PARA UNIÃO DE REGIÕES
Se a região B for uma união finita de regiões simplesmente conexas, podemos também aplicar o Teorema de
Green. Veja a figura, na qual a região B será a união das regiões B1 e B2.
 
Fonte: EnsineMe
Seja C1 o contorno da região B1, no sentido positivo, e C2, o contorno de B2, no sentido positivo. Repare que,
na fronteira que une as duas regiões, C1 e C2 estarão em sentidos contrários e se anularão.
Assim, se considerarmos C o contorno apenas externo da região, podemos dizer que:
∬B1∪B2∂Q∂X-
∂P∂YDS=∫C1∪C2PX,YDX+QX,YDY=∫CPX,YDX+QX,YDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMA DE GREEN PARA REGIÃO COM FUROS
Quando a região B não for simplesmente conexa, isto é, quando apresentar furos, teremos que fazer uma
adaptação do Teorema de Green para sua aplicação, aplicando-o por meio de uma diminuição de áreas.
Seja a região B abaixo desenhada:
 
Fonte: EnsineMe
Observe que a região B agora será definida por uma área entre duas curvas, que serão suas fronteiras C1 e C2.
Ambas as curvas são orientadas em seu sentido positivo, isto é, anti-horário.
Dessa forma, podemos afirmar que:
∬B∂Q∂X-∂P∂YDS=∫C1PX,YDX+QX,YDY-∫C2PX,YDX+QX,YDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A combinação acima pode ser feita para quantos buracos houver na região. Se você quiser fazer o contorno
externo C1 no sentido anti-horário, e os contornos que definem os buracos no sentido horário, o sinal muda
para essa integral de linha dos buracos.
Suponha que a região B é definida externamente pelo contorno C1, orientado no sentido positivo, e tem dois
buracos definidos, respectivamente, por C2 e C3, ambos orientados no sentido negativo (horário), assim:
∬B∂Q∂X-∂P∂YDS=∫C1PX,YDX+QX,YDY+∫C2PX,YDX+QX,YDY+∫C3PX,YDX+QX,YDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMA DE GREEN PARA CÁLCULO DE ÁREAS
O Teorema de Green pode também ser utilizado como outra forma de se calcular a área de uma região B. Na
verdade, será o cálculo da área por meio de uma integral de linha.
Lembrando que se o teorema nos apresenta a seguinte relação:
∮CPX,YDX+QX,YDY=∬B∂Q∂X-∂P∂YDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas sabemos que a área da região B pode ser calculada como:
A=∬BDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se observarmos o Teorema de Green na parte da integral dupla, seria o mesmo que fazer o termo ∂Q∂x-∂P∂y 
igual a 1.
Existem várias possibilidades para esta combinação. E, para cada uma delas, teremos uma integral de linha
diferente a ser calculada, através da curva fechada C que contorna a área analisada.
P(X,Y) = 0 E Q(X,Y) = X
A=∬Bds=∮Cx dy
P(X,Y) = – Y E Q(X,Y) = 0
A=∬Bds=∮C-y dx
P(X,Y) = -12Y E Q(X,Y) =12X
A=∬Bds=∮C12x dy-12ydx
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
A escolha do tipo utilizado dependerá da curva que determina a área. Sempre devemos buscar a integral mais
simples. Exemplificaremos este cálculo na seção “Teoria na prática” deste módulo.
RESUMO DO MÓDULO 4
TEORIA NA PRÁTICA
Determine a área da elipse de equação 3x2 + 2y2 = 6 através de uma integral de linha.
RESOLUÇÃO
TEOREMA DE GREEN
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA ∮C2EYDX-2XEYDY, ONDE A CURVA C É UM
QUADRADO CENTRADO NA ORIGEM, PERCORRIDO NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO,
COM LADOS (1,1), ( – 1,1), (– 1, – 1) E (1, – 1).
A) 2e-1+3e
B) 8e-1-2e
C) 8e-2+e
D) 6e-1-e
E) 8e-1-e
2. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y=Y2, XY. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA
DESSA FUNÇÃO SOBRE UM TRIÂNGULO, PERCORRIDO NO SENTIDO ANTI-
HORÁRIO, DE VÉRTICES (0,0), (0,2) E (2,0).
A) 13
B) -13
C) -43
D) 43
E) 23
3. SEJA A REGIÃO S DESENHADA NA FIGURA ABAIXO. SABE-SE QUE:
∮C1Y DX= - 16, ∮C2X DY=4 E ∮C3(X DY-Y DX)=10. DETERMINE A ÁREA DE B: 
 
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
4. SEJA A REGIÃO B DELIMITADA EXTERNAMENTE POR UMA CURVA
CIRCUNFERÊNCIA CENTRADA NA ORIGEM DE RAIO 2. INTERNAMENTE, ESTA
REGIÃO APRESENTA DOIS BURACOS EM SEU DOMÍNIO. ESTES BURACOS SÃO
DELIMITADOS, RESPECTIVAMENTE PELA CURVA C2 E C3. SABE-SE QUE ∮C2XDY-
YDX=2Π E ∮C3XDY-YDX=Π, COM C2 E C3 PERCORRIDA NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO.
DETERMINE O VALOR DA ÁREA DE B:
A) π2
B) 3π2
C) 5π2
D) 7π2
E) 9π2
5. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA ∮CX7-Y5DX+X5+Y4DY, SOBRE A CURVA ΓT=(-
SEN T,COS T), COM 0≤T≤2Π PERCORRIDA NO SENTIDO DO CRESCIMENTO DO
PARÂMETRO T.
A) π8
B) π4
C) 3π4
D) 5π4
E) 7π4
6. DETERMINE A ÁREA DELIMITADA PELAS CURVAS DE EQUAÇÃO PARAMÉTRICAS
ΓT=(2T-2SEN T, 2-2COS T) PARA 0≤T≤2Π E O EIXO X.
A) 4π
B) 6π
C) 8π
D) 12π
E) 14π
GABARITO
1. Determine a integral de linha ∮C2eydx-2xeydy, onde a Curva C é um quadrado centrado na origem,
percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,1), ( – 1,1), (– 1, – 1) e (1, – 1).
A alternativa "E " está correta.
 
Deseja-se calcular ∮C2eydx-2xeydy 
 
Utilizando o teorema de Green: 
 
Px,y=2ey→δPδy=2ey 
 
Qx,y=-2xey→δQδx=-2ey 
 
∮C2eydx-2xeydy=∬B∂Q∂x-∂P∂yds=∬B-2ey-2eydxdy 
 
A região B é um quadrado. Assim podemos considerar x variando de ( – 1 , 1) e y também variando de ( – 1 ,
1). 
 
∬B-4eydxdy=∫-11∫-11-4eydxdy=∫-11-4eydy∫-11dx 
 
∮C2eydx-2xeydy=-4ey-11x-11=-4e+4e-11--1=8e-1-8e
2. Seja o campo vetorial F→x,y=y2, xy. Determine a integral de linha dessa função sobre um triângulo,
percorrido no sentido anti-horário, de vértices (0,0), (0,2) e (2,0).
A alternativa "C " está correta.
 
Desejamos calcular ∮Cy2dx+xydy utilizando o Teorema de Green: 
 
Px,y=y2→δPδy=2y 
 
Qx,y=xy→δQδx=y∮Cy4dx+xydy=∬B∂Q∂x-∂P∂yds=∬By-2ydxdy 
 
A região B é um triângulo retângulo. Assim, podemos considerar x variando de [0,2} e y variando de 0 até a reta
que une os pontos (2,0) e (0,2). 
 
Obtendo a equação da reta: x-2y-0=0-22-0→2x-4=-2y→x+y-2=0 
 
Assim: 
 
∬B-ydxdy=∫02∫02-x-ydy dx 
 
Resolvendo a equação em y: 
 
∫02-x-ydy=-12y202-x=-122-x2=2x-2-12x2 
 
∫022x-2-12x2dx=x202-2x02-1213x302=4-4-86=-43
3. Seja a região S desenhada na figura abaixo. Sabe-se que: ∮C1y dx= - 16, ∮C2x dy=4 e ∮C3(x dy-
y dx)=10. Determine a área de B: 
 
A alternativa "D " está correta.
 
A área da figura B é dada por ∬Bds. 
 
Usando o Teorema de Green, ela pode ser representada por ∬Bds=∮Cx dy. 
 
Como a região B é delimitada externamente por C1 e internamente por C2 e C3. 
 
∬Bds=∮Cx dy=∮C1x dy-∮C2x dy-∮C3x dy 
 
Com C1, C2 e C3 percorridas no sentido anti-horário. 
 
Mas: 
 
∮C1x dy=∮C1-y dx=--16=16 
 
∮C3x dy=∮C3(12xdy-12x dy)=12∮C3(x dy-y dx)=12.10=5 
 
∬Bds=∮Cx dy=16-4 - 5 =7
4. Seja a região B delimitada externamente por uma Curva Circunferência centrada na origem de raio 2.
Internamente, esta região apresenta dois buracos em seu domínio. Estes buracos são delimitados,
respectivamente pela Curva C2 e C3. Sabe-se que ∮C2xdy-ydx=2π e ∮C3xdy-ydx=π, com C2 e C3
percorrida no sentido anti-horário. Determine o valor da área de B:
A alternativa "C " está correta.
TEOREMA DE GREEN
5. Determine a integral de linha ∮Cx7-y5dx+x5+y4dy, sobre a curva γt=(-sen t,cos t), com 0≤t≤2π 
percorrida no sentido do crescimento do parâmetro t.
A alternativa "D " está correta.
 
Utilizando o Teorema de Green, a integral sairá de uma forma mais simples. Observe que a equação γt está
orientada no sentido anti-horário. 
 
∮CPx,ydx+Qx,ydy=∬B∂Q∂x-∂P∂yds 
 
Px,y=x7-y5→δPδy=-5y4 
 
Qx,y=x5+y4→δQδx=5x4 
 
Assim: 
 
∬B∂Q∂x-∂P∂yds=∬B(5x4--5y4dxdy=∬B(5x4+5y4)dxdy 
 
Ao analisarmos a Curva C fechada, sendo uma circunferência de raio 1, fica mais simples resolver a integral
dupla pelas coordenadas polares: 
 
∬B5(x4+y4)dxdy=∫02π∫015ρ4(cos4θ+sen4θ) ρdρdθ=∫015ρ5dρ∫02π(cos4θ+sen4θ) dθ 
 
 ∫015ρ5dρ=56ρ601=56 
 
 ∫02πcos4θ+sen4θdθ 
 
Mas sabendo que cos2θ+sen2θ2=1=cos4θ+2cos2θsen2θ+sen4θ, então: 
 
cos4θ+sen4θ=1-2cos2θsen2θ=1-12sen22θ=1-14+14+14cos 4θ 
 
∫02πcos4θ+sen4θdθ=∫02π34+14cos 4θdθ=34θ02π+1414sen(4θ)02π=3π2 
 
∬B5(x4+y4)dxdy=56. 3π2=5π4
6. Determine a área delimitada pelas curvas de equação paramétricas γt=(2t-2sen t, 2-2cos t) para
0≤t≤2π e o eixo x.
A alternativa "D " está correta.
TEOREMA DE GREEN
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O CAMPO VETORIAL F→X,Y=XY+3, X2-2. DETERMINE A INTEGRAL DE LINHA
DESTA FUNÇÃO SOBRE UM TRIÂNGULO, PERCORRIDO NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO,
DE VÉRTICES (0,0), (0,1) E (1,0).
A) 16
B) 112
C) -112
D) 118
E) -110
2. SEJA A REGIÃO B DESENHADA NA FIGURA ABAIXO. SABE-SE QUE ∮C1X DY VALE
8 E ∮C2X DY=3. DETERMINE A ÁREA DE B:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
GABARITO
1. Seja o campo vetorial F→x,y=xy+3, x2-2. Determine a integral de linha desta função sobre um
triângulo, percorrido no sentido anti-horário, de vértices (0,0), (0,1) e (1,0).
A alternativa "A " está correta.
 
Deseja-se calcular ∮Cxy+3dx+(x2-2)dy. 
 
Utilizando o Teorema de Green, a integral sairá de uma forma mais simples: 
 
Px,y=xy+3→δPδy=x 
 
Qx,y=x2-2→δQδx=2x 
 
∮Cxy+3dx+(x2-2)dy=∬B∂Q∂x-∂P∂yds=∬B2x-xdxdy 
 
A região B é um triângulo retângulo. Assim, podemos considerar x variando de [0,1} e y variando de 0 até a reta
que une os pontos (1,0) e (0,1). 
 
Obtendo a equação da reta: x-1y-0=0-11-0→x-1=-y→x+y-1=0 
 
Assim: 
 
∬Bxdxdy=∫01∫01-xx dy dx 
 
Resolvendo a equação em y: 
 
∫01-xx dy=x y01-x=x1-x=x-x2 
 
∫01(x-x2)dx= 12x201-13x301=12-13=16
2. Seja a região B desenhada na figura abaixo. Sabe-se que ∮C1x dy vale 8 e ∮C2x dy=3. Determine a
área de B:
A alternativa "B " está correta.
 
A área da figura B é dada por ∬Bds.. 
 
Usando o Teorema de Green, ela pode ser representada por ∬Bds=∮Cx dy. 
 
Como a região B é delimitada externamente por C1 e internamente por C2. 
 
∬Bds=∮Cx dy=∮C1x dy-∮C2x dy 
 
Com C1 e C2 percorridas no sentido anti-horário. 
 
Pelo enunciado: 
 
∬Bds=∮C1x dy-∮C2x dy=8-3=5
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral de linha de campos escalares e vetoriais.
No primeiro módulo, foi definida e calculada a integral de linha de campos escalares.
No segundo módulo, foi definido o campo vetorial e calculada a integral de linha de campos vetoriais, com
sentido um pouco diferente da integral de linha de campos escalares.
No terceiro módulo, foram apresentados os operadores diferenciais rotacional e divergente e aplicada a integral
de linha em campos conservativos.
Por fim, no quarto módulo, foi apresentado o Teorema de Green, que relaciona o cálculo de uma integral de
linha a uma integral dupla.
Esperamos que, ao fim deste tema, você saiba definir um campo vetorial, calcular integrais de linha, usar os
operadores diferenciais e aplicar o Teorema de Green.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. Vol. II. 2. ed. Nova Jersey: John Wiley & Sons, 1969.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. III. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. II. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre integrais triplas e suas aplicações na Internet e em nossas referências.
Além disso, sugerimos a pesquisa e leitura do artigo Integrais de linha em um campo escalar, da Khan
Academy.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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