prova1-S25-Gab

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Prof. Ronie - Gabarito da Primeira Avaliação Escrita - 06/04/2022 - S25
Questão 1) Determine o domı́nio e a imagem das funções
(a) z = 4 + 2x + y (b) z = ln(5x− 2y + 4).
A primeira função tem domı́nio R2, note que o gráfico é um plano (não paralelo ao plano z = 0). A imagem
é R. A segunda função tem domı́nio D = {(x, y) ∈ R2 | y < 5
2
x+ 2} e imagem igual a R.
Questão 2) Determine a função que representa o cone circular reto da figura:
Como z = k
√
x2 + y2 + 4, para algum k ∈ R, e z = 0 implica x2 + y2 = 9, obtemos k = −4/3.
Questão 3) Desenhe ao menos três curvas de ńıvel e esboce o gráfico da função
z = 1− x2 − y2.
Questão 4) Calcule (ou mostre que não existe) o limite
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y
x6 − y
não existe, pois f(x, y) tende a −1 sobre x = 0 e tende a 0 sobre y = −x3.
(b) lim
(x,y)→(π
2
,0)
sen
(
x + y
1 + y2
)
= sen
(
lim
(x,y)→(π
2
,0)
x+ y
1 + y2
)
= sen(π/2) = 1.
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x
√
xy2√
x2 + y2
= 0, pois
x√
x2 + y2
é limitada e
√
xy2 tende a zero.
(d) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
não existe, pois f(x, y) tende a 0 sobre x = y e não possui limite sobre y = −x.
,
Questão 5) Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são cont́ınuas?
(a) f(x, y) =

xy√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =
x− 2
(xy − 2x− y + 2)(y + 1)
A primeira função é cont́ınua em (x, y) 6= (0, 0), pois é quociente de funções cont́ınuas. Contudo, não é
cont́ınua em (0, 0), pois lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
= 0 6= 1 = f(0, 0). O denominador da segunda função pode ser
escrito como (x− 1)(y− 2)(y+ 1). Portanto, a função é cont́ınua nos pontos (x, y) fora das retas x = 1, y = 2
e y = −1.