Mat Ensino 10 - Integrais Definidas SOLIDOS REVOL 2017-1

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IFSC / Integrais Definidas Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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Notas de Aula: Integrais Definidas – Volume de um Sólido de Revolução 
 
 
 A região de revolução R será rotacionada em relação ao eixo x : 
 
 
 
 
 
b
a
dxxfV 2)]([ 
 
 
 
 Observação: 
 O Volume de um Disco: 
 
xRV 
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 A região de revolução R será rotacionada em relação ao eixo y : 
 
 
 
 
 
 

d
c
dyygV 2)]([ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A região de revolução R está entre os gráficos das funções )(xf e )(xg : 
 
 
 
 
 
 
b
a
dxxgxfV ))]([)](([ 22
 
 
 
 Observação: 
 O Volume de uma Arruela: 
 
xrRV  )(
22
 
 
 sendo: 





internoraior
externoraioR
 
 
 
Y 
c 
d 
X 
R 
)(ygx  
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 A região de revolução R será rotacionada em relação a uma reta paralela a um eixo coordenado. 
 
 
 
 
 
 
b
a
dxLxfV 2])([ 
 
 
 O eixo de rotação é a reta de equação: Ly  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
d
c
dyMygV 2])([ 
 
 
 O eixo de rotação é a reta de equação: Mx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – Integrais Definidas: Volume de um Sólido de Revolução 
 
 
1) Em cada um dos casos a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x , 
da região delimitada pelos gráficos das equações dadas: 
 
a) 1 xy , 0x
 
 , 2x e 0y . 
b) 12  xy , 0x
 
 , 2x e 0y . 
c) xy cos , xseny 
 
 , 0x e 
4
x . 
 
 
 
2) Em cada um dos casos a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y , 
da região delimitada pelos gráficos das equações dadas: 
 
a) xy ln , 1y
 
 , 2y e 0x . 
b) 
3xy  e 2xy  . 
c) 
x
y 1 , 0x
 
 , 
4
1y e 4y . 
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3) Em cada um dos casos a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada 
pelos gráficos das equações dadas, em relação aos eixos indicados: 
 
a) 12  xy , 0y
 
 , 0x , 4x e eixo x . 
b) xy 22  , 0x
 
 , 0y , 2y e eixo y . 
c) 22xy  , 1x
 
 , 2x , 2y e eixo 2y . 
d) 2xxy  , 12  xy , 0x
 
e eixo 1y . 
e) 3/2xy  , 4y
 
e eixo 9x . 
f) 3/2xy  , 4y
 
e eixo 0y . 
g) 3/2xy  , 4y
 
e eixo 0x . 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
 
1a)
 
..
3
26
vuV 
 
 
1b) ..
15
206
vuV 
 
 
1c) ..
2
vuV


 
 
 
 
 
2a)
 
..
1
2 2
4 vu
e
eV 







 
 
2b) ..
10
vuV


 
 
2c) ..
4
15
vuV 
 
 
 
 
 
3a)
 
..
2
172
vuV 
 
 
3b) ..
5
8
vuV 
 
 
3c) ..
15
152
vuV 
 
 
3d)
 
..
2
3
vuV 
 
 
3e) ..
5
2304
vuV 
 
 
3f) ..
7
1024
vuV 
 
 
 
3g)
 
..64 vuV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Este material foi produzido com base no livro: FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2006. 
 
Nota: 
 
A função 
3/2xy  tem RD  +