Nota de aula 6 - Aplicacoes EDO 1a ordem

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Algumas aplicações das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
 
 - Modelamento - 
Rebello 
Out/1999 (rev. Mar/2015, Ago/2015) 
 
 
Crescimento e decrescimento 
 
Admitindo que uma quantidade Q de uma substância ( ou população ) cresce ou decresce a uma 
taxa proporcional à quantidade de substância presente, então: 
 
 Qk
dt
dQ
. 
 
onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
Obs: Como a função Q(t) é diferenciável (contínua no tempo). Os problemas de população por 
trabalharem com realidade discreta não se adaptam totalmente a este modelo, embora dê uma 
boa aproximação. 
 
 
Este mesmo conceito pode ser usado para decaimento de uma massa radioativa: 
 
 Mk
dt
dM
. , onde M é massa 
 
Pode ser usada para datação de fóssil, neste caso, o carbono 14 - (instável) decai para 
carbono 12 - (estável). 
 
Explicando melhor: O carbono 14 é produzido constantemente na atmosfera por interação de 
raios cósmicos que são bombardeados nas altas camadas. Existe um equilibrio entre sua 
formação e seu decaimento, com isso, a relação entre é sempre constante. 
 
Os seres vivos apresentam também a mesma relação. Com a morte, a fonte de é cortada, e 
assim, essa relação começa reduzir por conta do seu decaimento. A meia vida do é de 5730. 
 
 
Ex.: A amostra do uma ossada de uma criança, localizada na Etiópia, foi enviada para 
laboratório e revelou a presença de carbono 14 com percentual de 62 % em relação ao carbono 
14 encontrada normalmente em seres vivos. Sabendo que a vida média do carbono 14 é de 5730 
anos, estime a idade do achado ( tempo estimado da morte da criança). 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora verificar uma evolução do modelo anterior: 
 
Modelo de crescimento com restrição ou crescimento logistico 
 
Considere a evolução de uma epidemia num universo (fechado) com L pessoas. 
Podemos adotar as hipóteses: 
 
* Se “ ” pessoas estão infectadas, então, “ ” , não estão infectadas; 
** A variação ” 
 
 
 “ é proporcional a “ ” e “ ” simultaneamente. 
 
 
 
 
 ( ) , onde: {
 
 
 
 
Obs.: Este mesmo modelo apresenta sua aplicação na química. 
Considere num processo quimico onde uma substância é transformada, quando em contado de 
um reagente que apresenta uma quantidade limitada. 
A reação será rápida no inicio, porém, perderá sua intensidade por falta de reagente. 
O mesmo se aplica a corrosão de depende de uma superfície exposta ao ar. 
A evolução de pessoas que pretendem assistir um evento (show, futebol) 
Propagação de uma notícia “bombastica” na internet, enfim... 
 
Obs.: É lógico que o modelo acima, pode sofrer alguma variáriação para atender determinado 
evento. 
 
O resultado gráfico típico é mostrado abaixo. Chamada de curva logistica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: Num vilarejo, foi verificado o aumento de uma doença, a princípio, provocada por algum 
tipo de rotavirus. 
Segundo relato do lider comunitário tinha começado a 5 dias atras com 2 pessoas, e no momento 
já se tinha notícia de 8 indivíduos infectados. 
Por precaução, foi feito o total isolamento desta comunidade composta por 400 individuos. 
Sabendo que a taxa de crescimento de infectados, é simultaneamente proporcional ao número 
de indivíduos contaminados e aos números dos não contaminados, dê a estimativa para o 
número de infectados no decorrer de 30 dias. Considere o tempo a partir do inicio da doença. 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 
 
Para integrar o termo da esquerda será inevitável o uso de franções parciais. 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
Logo: ( ) , isso para qualquer valor de . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Reescrevendo a equação acima de integrando, temos: 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
Ou ainda: | | | | 
 
 
Usando propriedade de logaritmo * ( ) . 
 
 
 / + 
 
 ( 
| |
| |
 ) 
 
 
Aplicando exponencial, temos: 
| |
| |
 , 
 
 
| |
| |
 
 
 
Veja que estamos diante uma equação modular e para continuarmos, precisamos fazer algumas 
considerações isso para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Claro que nossa condição será a segunda e faremos 
 
Agora sim, podemos seguir: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 { solução geral } 
 
Aplicando as condições dadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 .
 
 
/ 
 
Finalmente, temos a solução particular: 
 
 
 
 
 
 
Assim, para 
 
Ainda na linha de crescimento restringido, podemos imaginar um produto “P” que é 
transformado pela mistura de duas substâncias A e B. 
 
Como exemplo, digamos que para forma um grama de usamos 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevendo a equação, usando como massa de , temos 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) ( 
 
 
 ) 
 
Obs.: como no caso anterior, a integração envolverá frações parciais. 
 
Variação de temperatura 
 
A lei da variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de 
um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Sendo T a 
temperatura do corpo e Ta a temperatura do meio ambiente, podemos formular como: 
 
 ).( TaTk
dt
dT

 
onde k é uma constante de proporcionalidade. 
 
 
Fluxo térmico por condução ( regime estacionário ) 
 
Considerando um corpo homogêneo, em virtude da diferença de temperatura entre as faces 
opostas, um fluxo térmico se estabelece através da seção transversal. 
Dizemos que o fluxo térmico  está em regime estacionário quando ele é igual em qualquer 
seção transversal do corpo, em outras palavras, não há mais variação térmica em função do 
tempo. 
Assim podemos dizer que o fluxo térmico  é proporcional a área A e ao gradiente térmico 
estabelecido numa distância longitudinal 
 
Obs: O sentido do fluxo será adotado como perpendicular às faces (seção transversal) com 
sentido da menor temperatura ( contrário ao gradiente térmico ). 
Assim podemos fazer a seguinte formulação: 
 
 
 
 
 
 
Onde k é a condutividade térmica com unidade usual no SI (
K.m.s
J
). 
 
 
Problema da difusão ( Lei de Fick ) 
 
Considere uma célula de volume V constante exposta a um meio contendo um soluto com 
concentração Co constante. 
Se dentro desta célula a concentração de soluto for diferente da concentração externa, espera-se 
um fluxo de moléculas através da membrana celular. 
A lei de Fick, expressa que a taxa de variação de massa, de soluto em relação ao tempo, é 
proporcional a área da membrana e à diferença de concentração entre o lado interno e o lado 
externo da membrana celular. 
 
 
 
 
 
 
 
Matematicamente: 
 
 
 
 ( ) , {( ) 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na EDO acima temos: 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Queda de corpos 
Supondo um corpo de Massa em queda livre, portanto sujeito à gravidade e à resistência do 
ar. Sabe-se que a força de atrito de um corpo é proporcional à velocidade, quando pequena e 
proporcional ao quadrado da velocidade, quando elevada. Usando a 2º lei de Newton para o 
movimento e considerando o sentido para baixo como positivo, podemos montar a equação: 
 
Newton propos que a taxa da quantidade de movimento ( ) é igual a força: 
 
 
 
 ( )
 
 ( ) 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando constante temos 
 
 
 
 
 
Simplificando a equação para 
 
 
 ou ainda 
 
 
Sabe-se que 
dt
dv
a  e que a força resultante é o peso do corpo menos a força de atrito ou seja, 
kvmgFr  
 
 kvmg
dt
dv
m  ou 
 
 
Obs: Para altas velocidades costuma-se usar a força de atrito proporcional a velocidade ao 
quadrado ( fat = k.v² ) , que implicaria numa EDO de 1° ordem não linear. 
 
 
Para uma situação mais real: 
 
 
 
 
 Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
Diluição 
 
Considerando um tanque contendo um volume inicial Vo de uma solução com uma 
concentração Co de um produto. Despeja-se no tanque outra solução do mesmo produto, agora 
com concentração Ce a uma vazão Qe, no mesmo instante há um escoamento da solução bem 
misturada com uma vazão Qs. 
Através de um modelamento adequado, podemos determinar a quantidade M do produto 
presente no Tanque para qualquer instante. 
 
A taxa de variação 
dt
dM
 pode ser definida pela quantidade do produto que entra menos a 
quantidade do produto que sai por unidade de tempo, isto é: 
 
 
 Qs
tV
tM
QeCe
dt
dM
.
)(
)(
.  
 
 
Lembrando: concentração x vazão = quantidade de produto por unidade de tempo. 
Para determinação do volume da solução presente no tanque para qualquer instante pode ser 
feita considerando o volume inicial mais o volume que entra menos o volume que sai, ficando: 
 
 
 tQstQeVotV ..)(  
 
 
Lembrando que vazão x tempo = volume. 
Substituindo na equação diferencial, vem: 
 
 
 
 Qs
tQsQeVo
tM
QeCe
dt
dM
.
)(
)(
.

 
 
 
 
 
 
 
 
Qe.t 
Vo 
Qs.t 
Circuito Elétrico ( RL ) 
 
O circuito RL representa uma unidade básica para construção de diversos sistemas elétricos. 
 
Pela lei de Kirchoff , num circuito elétrico fechado, a tensão aplicada é igual à soma das quedas 
de tensão dos componentes. 
 
 
 
Então, vamos entender a quantificação da queda de tensão em cada componente: 
 
Obs.: Usaremos I(t) no lugar de i(t) para não confundir com a unidade imaginária. 
 
 
Resistor 
 
No resistor, a queda de tensão é proporcional à intensidade da corrente . Em simbologia 
matemática fica: 
 
 
 , onde = Resistência elétrica ( - Ohm ) 
 
 
 
Indutor 
 
No indutor, a queda da tensão é proporcional à taxa de variação da corrente em função do 
tempo. Matematicamente pode ser representada por: 
 
 
 
 
 , onde Indutância ( H – Henry ) 
 
 
Pela Lei de Kirchoff : ( ) 
 
 
Portanto , finalmente a EDO : 
 
 
 ( ) 
 
Curvas Ortogonais 
 
A equação ( ) representa uma família de curvas, ou seja, temos uma curva para cada 
valor do parâmetro . 
 
Na engenharia, em muitas aplicações ( fluxos, trajetórias, campos eletromagnéticos, malhas para 
simulação numérica,...), dada uma família de curvas, temos a necessidade da determinação de 
outra família de curvas ortogonais a primeira, isto é, curvas cuja interseção se dá com ângulo 
reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da geometria sabemos que, dados dois ângulos : 
 
Se então ( ) ( ) 
 
Sabemos também, que a derivada de uma função f(x) contínua, representa o valor da tangente 
em qualquer ponto desta curva. 
 
 
Então, dada uma função ( ) , podemos determinar sua derivada (implicitamente) de 
forma a obter: 
 
 
 
( ( ) ) ( ) 
 
Agora, usando o conceito de ortogonalidade, temos a EDO: 
 
 ( ) 
 
Cuja solução, são famílias de curvas ortogonais a ( ) . 
 
 
Malha usada no TCC ( IST ) 
“Analise de escoamento em condutos forçados 
utilizando Maple” 
 
Ruan T. Burgardt 
Ex.: Seja a função 
 
 
 , determine as trajetórias ortogonais. 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 . 
 
 
/ 
 
 
 
 
 
 Lembrete: ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , multiplicando toda equação por , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, 
 
 
 representa as tangentes das curvas dadas. 
 
Aplicando a condição de ortogonalidade para achar a nova família de curvas: 
 
 .
 
 
 / 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando variáveis separáveis: 
 
 
 , encontraremos a solução implícita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva de perseguição 
 
Vamos aqui, inverter o problema de perseguição de forma a torna-lo mais didático. 
Considere um pequeno bote ancorado a margem de um lago de água tranquila, num local sem 
vento. Em dado momento resolvemos puxa-lo com corda de comprimento fixo numa direção 
perpendicular a margem, conforme desenho. 
 
A ideia central é considerar as direções sempre tangente a curva de trajetória do bote. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No esquema direito, temos a linha L tangente a trajetória a ser determinada. Com base na 
trigonometria básica e no conceito de derivada, podemos construir as seguintes relações: 
 
 ( )
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da primeira temos: √ , substituindo na segunda, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 , para L constante 
 
 
Assim, o problema de perseguição, apresenta o mesmo modelo matemático. Como se o bote 
perseguisse a pessoa que está puxando. 
 
O problema pode ser aprimorado considerando velocidades distintas entre perseguidor e 
perseguido, neste caso, L não é constante, porém o problema assumiria uma EDO de 2° ordem. 
 
 
Mecânica dos fluidos: Linhas de corrente 
 
Por definição, linha de corrente, em dado instante, é a linha tangente ao vetor velocidade, em 
todos os pontos do escoamento. Portanto, o conjunto de linhas de correntes não se cruzam entre 
si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um escoamento bidimensional, as linhas de correntes são governadas pela EDO: 
 
 
 
 
 
 
 onde: são componentes da velocidade nas direções x e y respectivamente. 
 
Ex.: Dado o campo de velocidades ⃗ , 
 
 
 -. Determine a equação que representa as 
linhas de corrente. 
 
 
 
Resultado gráfico: 
 
 
 
 
 
Escoamento de um reservatório 
 
Considere um tanque com fluido incompressível em equilíbrio, com a abertura de um orifício 
num ponto abaixo da superfície em repouso, dá-se o inicio ao escoamento, neste momento é 
desenvolvido um fluxo pelo orifício e simultaneamente a redução da coluna líquida. 
O modelamento deste pode serdesenvolvido de forma simples. 
 
 
 
Através da equação de Bernoulli, podemos comparar dois pontos P1 na superfície do fluido e P2 
na altura do orifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando: , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos que √ 
 
Essa aproximação é válida quando 
 
Sabemos que a coluna h decresce com a saída do fluido na base, dessa forma para garantir a 
continuidade podemos afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
Obs.: Como decresce temos 
 
 
 , isso justifica o sinal negativo. 
 
Quando um fluido é forçado a passar por um estrangulamento, ocorre uma contração do fluxo. 
Esta contração é conhecida por “ Vena Contracta ”. 
 
Portanto, , onde é fator de contração, normalmente tabelado. 
 
Assim a EDO assume sua forma final: 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom estudo! 
Rebello