af2_cr_21158(2015)

Prévia do material em texto

Relatório da
Actividade Formativa (AF2)
Matemática Aplicada à Gestão (21158)
2015/16
Mário J. Edmundo
Universidade Aberta
20 de Novembro de 2015
Proposta de trabalho (AF2.1)
1. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 21−3P
Qs =−4+8P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
−2 2 4 6
−20
20
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 21−3P =−4+8P
⇔−3P−8P =−4−21
⇔−11P =−25
⇔ P = −25
−11
=
25
11
.
Logo P∗ = 2511 e Q
∗ = 21−3P∗ = 21−3(2511) =
156
11 .
2
(b)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 35−7P
Qs =−9+6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
−4 −2 2 4 6 8 10
−40
−20
20
40
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 35−7P =−9+6P
⇔−7P−6P =−9−35
⇔−13P =−44
⇔ P = −44
−13
=
44
13
.
Logo P∗ = 4413 e Q
∗ = 35−7P∗ = 35−7(4413) =
147
13 .
(c)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 51−3P
Qs =−10+6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
3
10 20 30
−60
−40
−20
20
40
60
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 51−3P =−10+6P
⇔−3P−6P =−10−51
⇔−9P =−61
⇔ P = −61
−9
=
61
9
.
Logo P∗ = 619 e Q
∗ = 51−3P∗ = 51−3(619 ) =
276
9 =
92
3 .
(d)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 30−2P
Qs =−6+5P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
−6 −4 −2 2 4 6 8 10
−40
−20
20
40
P
Q Qd
Qs
4
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 30−2P =−6+5P
⇔−2P−5P =−6−30
⇔−7P =−36
⇔ P = −36
−7
=
36
7
.
Logo P∗ = 367 e Q
∗ = 30−2P∗ = 30−2(367 ) =
138
7 .
5
2. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 3−P2
Qs =−4+6P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
−6 −4 −2 2 4 6
−40
−20
20
40
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 3−P2 =−4+6P
⇔−P2−6P+3+4 = 0
⇔ P2 +6P−7 = 0
⇔ P = −6±
√
62−4(1)(−7)
2(1)
⇔ P =−7 ou P = 1.
Logo P∗ = 1 e Q∗ = 3− (P∗)2 = 3− (1)2 = 2.
(b)
6
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 8−P2
Qs =−2+P2
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
−6 −4 −2 2 4 6
−40
−20
20
40
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 8−P2 =−2+P2
⇔−P2−P2 +8+2 = 0
⇔ 2P2−10 = 0
⇔ P2 = 5
⇔ P =−
√
5 ou P =
√
5.
Logo P∗ =
√
5 e Q∗ = 8− (P∗)2 = 8− (
√
5)2 = 8−5 = 3.
(c)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 25−5P
Qs =−9+6P2
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
7
−5 5 10 15
−60
−40
−20
20
40
60
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 25−5P =−9+6P2
⇔−6P2−5P+25+9 = 0
⇔ 6P2 +5P−34 = 0
⇔ P = −5±
√
52−4(6)(−34)
2(6)
⇔ P =−17
6
ou P = 2.
Logo P∗ = 2 e Q∗ = 25−5(P∗) = 25−5(2) = 25−10 = 15.
(d)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 2P2−P3
Qs =−2+3P
i. Represente o modelo graficamente.
Solução:
8
−4 −2 2 4 6
−20
−10
10
20
P
Q Qd
Qs
ii. Calcule os valores de equilibrio P∗ e Q∗.
Solução:
Por substituição temos:
Qd = Qs⇔ 2P2−P3 =−2+3P
⇔−P3 +2P2−3P+2 = 0
⇔ P = 1 ou outras duas raı́zes complexas (pelo gráfico).
Logo P∗ = 1 e Q∗ = 2(P∗)2− (P∗)3 = 2(1)2− (1)3 = 2−1 = 1.
9
3. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado
Qs1 = Qd1
Qd1 = 18−3P1 +P2
Qs1 =−2+4P1

Qs2 = Qd2
Qd2 = 12+P1−2P2
Qs2 =−2+3P2
Calcule os valores de equilibrio P∗1 ,P
∗
2 e Q
∗
1,Q
∗
2.
Solução:
Por substituição temos: {
18−3P1 +P2 =−2+4P1
12+P1−2P2 =−2+3P2
⇔{
−3P1−4P1 +P2 =−2−18
P1−2P2−3P2 =−2−12
⇔{
−7P1 +P2 =−20
P1−5P2 =−14
⇔{
−7P1 +P2 =−20
P1 = 5P2−14
⇔{
−7(5P2−14)+P2 =−20
P1 = 5P2−14
⇔{
−35P2 +P2 =−20−98
P1 = 5P2−14
⇔{
−34P2 =−118
P1 = 5P2−14
⇔{
P2 = −118−34 =
118
34 =
59
17
P1 = 5(5917)−14 =
57
17
Logo P∗1 =
57
17 ,P
∗
2 =
59
17 e Q
∗
1 =−2+4(P∗1 ) =
194
17 ,Q
∗
2 =−2+3(P∗2 ) =
143
17 .
10
(b)
Considere o modelo de mercado
Qs1 = Qd1
Qd1 = 24−2P1 +3P2
Qs1 =−3+6P1

Qs2 = Qd2
Qd2 = 18+P1−P2
Qs2 =−4+3P2
Calcule os valores de equilibrio P∗1 ,P
∗
2 e Q
∗
1,Q
∗
2.
Solução:
Por substituição temos: {
24−2P1 +3P2 =−3+6P1
18+P1−P2 =−4+3P2
⇔{
−2P1−6P1 +3P2 =−3−24
P1−P2−3P2 =−4−18
⇔{
−8P1 +3P2 =−27
P1−4P2 =−22
⇔{
−8P1 +3P2 =−27
P1 = 4P2−22
⇔{
−8(4P2−22)+3P2 =−27
P1 = 4P2−22
⇔{
−32P2 +3P2 =−27−176
P1 = 4P2−22
⇔{
−29P2 =−203
P1 = 4P2−22
⇔{
P2 = −203−29 =
203
29 = 7
P1 = 4(7)−22 = 6
Logo P∗1 = 6,P
∗
2 = 7 e Q
∗
1 =−3+6(P∗1 ) =−3+6(6) = 33,Q∗2 =−4+3(P∗2 ) =−4+3(7) = 17.
11
4. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora de soluções de equações.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 5+ 23Y
I0 = 6
G0 = 4
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ da renda nacional e despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos: {
Y =C+6+4
C = 5+ 23Y
⇔{
Y = (5+ 23Y )+10
C = 5+ 23Y
⇔{
Y − 23Y = 15
C = 5+ 23Y
⇔{
1
3Y = 15
C = 5+ 23Y
⇔{
Y = 45
C = 5+ 23(45) = 5+30 = 35.
Logo Y ∗ = 45 e C∗ = 35.
(b)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 25+6
√
Y
I0 = 16
G0 = 14
Calcule os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ da renda nacional e despesas de consumo.
12
Solução:
Por substituição temos:{
Y =C+16+14
C = 25+6
√
Y
⇔{
Y = (25+6
√
Y )+30
C = 25+6
√
Y
⇔{
Y −6
√
Y −55 = 0
C = 25+6
√
Y
⇔
Z :=
√
Y
Z2−6Z−55 = 0
C = 25+6Z
⇔
Z :=
√
Y
Z = 6±
√
(−6)2−4(1)(−55)
2(1)
C = 25+6Z
⇔
Z :=
√
Y
Z = 6±
√
256
2
C = 25+6Z
⇔
Z :=
√
Y
Z = 6±162
C = 25+6Z
⇔
Z :=
√
Y
Z =−5 ou Z = 11
C = 25+6Z
⇔{
Y = Z2 = 25 ou Y = Z2 = 121
C = 25+6(−5) =−5 ou C = 25+6(11) = 91
Logo Y ∗ = 121 e C∗ = 91.
13
(c)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 4+ 16(Y −T )
T = 6+ 14Y
I0 = 4
G0 = 2
Calcule os valores de equilibrio Y ∗,T ∗ e C∗ da renda nacional, imposto e despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos: 
Y =C+6
C = 4+ 16(Y −T ) = 4+
1
6Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
Y = (4+ 16Y −
1
6T )+6
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
Y = 16Y −
1
6T +10
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
Y = 16Y −
1
6(6+
1
4Y )+10
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
Y = 16Y − (1+
1
24Y )+10
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
14
⇔
Y = 16Y −
1
24Y +9
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
7
8Y = 9
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14Y
⇔
Y = 9(87) =
72
7
C = 4+ 16Y −
1
6T
T = 6+ 14(
72
7 ) =
60
7
⇔
Y = 727
C = 4+ 16(
72
7 )−
1
6(
60
7 ) =
30
7
T = 607
Logo Y ∗ = 727 ,C
∗ = 307 e T
∗ = 607 .
15
(d)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G
C = 3+ 15(Y −T0)
G = 14Y
I0 = 3
T0 = 3
Calcule os valores de equilibrio Y ∗,G∗ e C∗ da renda nacional, despesas governamentais e
despesas de consumo.
Solução:
Por substituição temos: 
Y =C+3+G
C = 3+ 15(Y −3) =
12
5 +
1
5Y
G = 14Y
⇔
Y = (125 +
1
5Y )+3+
1
4Y
C = 125 +
1
5YG = 14Y
⇔
Y = 920Y +
27
5
C = 125 +
1
5Y
G = 14Y
⇔
11
20Y =
27
5
C = 125 +
1
5Y
G = 14Y
⇔ 
Y = 10811
C = 125 +
1
5Y =
12
5 +
1
5(
108
11 ) =
48
11
G = 14(
108
11 ) =
27
11
Logo Y ∗ = 10811 ,C
∗ = 4811 e G
∗ = 2711 .
16
Proposta de trabalho (AF2.2)
5. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere as matrizes
A =
[
7 −1
6 9
]
, B =
[
0 4
3 −2
]
, C =
[
8 3
6 1
]
Calcule
i. 4B+2C
Solução:
4B+2C = 4
[
0 4
3 −2
]
+2
[
8 3
6 1
]
=
[
0 16
12 −8
]
+
[
16 6
12 2
]
=
[
16 22
24 −6
]
ii. CA
Solução:
CA =
[
8 3
6 1
][
0 4
3 −2
]
=
[
9 26
3 22
]
iii. 3A−5C
Solução:
3A−5C = 3
[
7 −1
6 9
]
−5
[
8 3
6 1
]
=
[
21 −3
18 27
]
+
[
−40 −15
−30 −5
]
=
[
−19 −12
−12 22
]
(b)
Considere as matrizes
A =
2 83 0
5 1
 , B = [2 03 8
]
, C =
[
7 2
6 3
]
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou não definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
17
i. 14A+
1
2C
Solução:
A matriz 14A (resp.
1
2C) é uma matriz 3×2 (resp. 2×2). A adição de uma matriz 3×2 com
uma matriz 2×2 não está definida.
ii. AB
Solução:
AB =
2 83 0
5 1
[2 0
3 8
]
=
28 646 0
13 8

iii. BA
Solução:
A multiplicação de uma matriz 2×2 com uma matriz 3×2 não está definida.
(c)
Considere as matrizes
A =
51
3
 , B = [3 1 −1] , C = [7 5 8]
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou não definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
i. 13B−A
Solução:
A matriz 13B é uma matriz 1× 3. A adição de uma matriz 1× 3 com uma matriz 3× 1 não
está definida.
ii. AC
Solução:
AC =
51
3
[7 5 8]=
35 25 407 5 8
21 15 24

iii. CA
Solução:
CA =
[
7 5 8
]51
3
= [64]
18
(d)
Considere as matrizes
A =
5 0 41 −1 3
0 3 1
 , B = [3 1 −1] , C = [7 5 8]
Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou não definidas e no caso afirmativo calcule o
resultado
i. 13AC
′
Solução:
1
3
AC′ =
5 0 41 −1 3
0 3 1
75
8
= 1
3
6726
23

ii. A′B
Solução:
A transposta A′ de A é uma matriz 3× 3. A multiplicação de uma matriz 3× 3 com uma
matriz 1×3 não está definida.
iii. CA′
Solução:
CA′ =
[
7 5 8
]5 1 00 −1 3
4 3 1
= [67 26 23]
19
6. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere a matriz
A =
4 −2 17 3 0
2 0 1

Calcule
i. |A|
Solução:
|A|= 4
∣∣∣∣3 00 1
∣∣∣∣− (−2) ∣∣∣∣7 02 1
∣∣∣∣+1 ∣∣∣∣7 32 0
∣∣∣∣= 20
ii. adjA
Solução:
adjA =
 3 −7 −62 2 −4
−3 7 26
′ =
 3 2 −3−7 2 7
−6 −4 26

iii. A−1 (se existir).
Solução:
A−1 =
 320 110 −320−7
20
1
10
7
20
−3
10
−1
5
13
10

(b)
Considere a matriz
B =
[
2 0
3 8
]
Calcule
i. |B|
Solução:
|B|= 2(8)−0(3) = 16
20
ii. adjB
Solução:
adjB =
[
8 −3
0 2
]′
=
[
8 0
−3 2
]
iii. B−1 (se existir).
Solução:
B−1 =
[ 1
2 0
−3
16
1
8
]
(c)
Considere a matriz
C =
[
7
]
Calcule
i. |C|
Solução:
|C|= 7.
ii. adjC
Solução:
adjC =
[
1
]
iii. C−1 (se existir).
Solução:
C−1 =
[1
7
]
(d)
Considere a matriz
D =

1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

Calcule
21
i. |D|
Solução:
|D|= 1
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
0 1 0
1 0 0
∣∣∣∣∣∣−0
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
0 1 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣+0
∣∣∣∣∣∣
0 0 1
0 0 0
0 1 0
∣∣∣∣∣∣−0
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
0 0 1
0 1 0
∣∣∣∣∣∣=−1
ii. adjD
Solução:
adjD =

−1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 −1 0 0

′
=

−1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 −1 0 0

iii. D−1 (se existir).
Solução:
D−1 =

1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

22
7. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o sistema {
−x+3y =−3
4x− y = 12
Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
A =
[
−1 3
4 −1
]
Temos
|A|=
∣∣∣∣−1 34 −1
∣∣∣∣=−11
adjA =
[
−1 −4
−3 −1
]′
=
[
−1 −3
−4 −1
]
A−1 =
[ 1
11
3
11
4
11
1
11
]
Logo, [
x
y
]
=
[ 1
11
3
11
4
11
1
11
][
−3
12
]
=
[
3
0
]
(b)
Considere o sistema {
8x−7y = 9
x+ y = 3
Resolva o sistema pela regra de Cramer.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
B =
[
8 −7
1 1
]
Temos
x =
∣∣∣∣9 −73 1
∣∣∣∣∣∣∣∣8 −71 1
∣∣∣∣ = 2
23
y =
∣∣∣∣8 91 3
∣∣∣∣∣∣∣∣8 −71 1
∣∣∣∣ = 1
(c)
Considere o sistema 
−x+3y+2z = 24
x+ z = 6
5y− z = 8
Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
C =
−1 3 21 0 1
0 5 −1

Temos
|C|=−1
∣∣∣∣0 15 −1
∣∣∣∣−3 ∣∣∣∣1 10 −1
∣∣∣∣+2 ∣∣∣∣1 00 5
∣∣∣∣= 18
adjC =
−5 1 513 1 5
3 5 −3
′ =
−5 13 31 1 5
5 5 −3

C−1 =
−518 1318 161
18
1
18
1
6
5
18
5
18
−1
6

Logo, xy
z
=
−518 1318 161
18
1
18
1
6
5
18
5
18
−1
6
246
8
=
−13
7

(d)
Considere o sistema 
4x+3y−2z = 1
x+2y = 6
3x+ z = 4
Resolva o sistema pela regra de Cramer.
Solução:
A matriz de coeficientes do sistema é:
24
D =
4 3 −21 2 0
3 0 1

Temos
x =
∣∣∣∣∣∣
1 3 −2
6 2 0
4 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 3 −2
1 2 0
3 0 1
∣∣∣∣∣∣
=
0
17
= 0
y =
∣∣∣∣∣∣
4 1 −2
1 6 0
3 4 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 3 −2
1 2 0
3 0 1
∣∣∣∣∣∣
=
51
17
= 3
z =
∣∣∣∣∣∣
4 3 1
1 2 6
3 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 3 −2
1 2 0
3 0 1
∣∣∣∣∣∣
=
68
17
= 4
25
Proposta de trabalho (AF2.3)
8. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para a álgebra matricial.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere o modelo de mercado 
Qs = Qd
Qd = 51−3P
Qs =−10+6P
Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:
Qs−Qd = 0
Qd +3P = 51
Qs−6P =−10
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Qs,Qd,P):
A =
1 −1 00 1 3
1 0 −6

Temos
|A|= 1
∣∣∣∣1 30 −6
∣∣∣∣+1 ∣∣∣∣0 31 −6
∣∣∣∣+0 ∣∣∣∣0 11 0
∣∣∣∣=−9
adjA =
−6 3 −1−6 −6 −1
−3 −3 1
′ =
−6 −6 −33 −6 −3
−1 −1 1

A−1 =
 23 23 13−1
3
2
3
1
3
1
9
1
9
−1
9

Logo,
26
QsQd
P
=
 23 23 13−1
3
2
3
1
3
1
9
1
9
−1
9
 051
−10
=
92392
3
61
9

(b)
Considere o modelo de mercado
Qs1 = Qd1
Qd1 = 24−2P1 +3P2
Qs1 =−3+6P1

Qs2 = Qd2
Qd2 = 18+P1−P2
Qs2 =−4+3P2
Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:
Qs1−Qd1 = 0
Qd1 +2P1−3P2 = 24
Qs1−6P1 =−3
Qs2−Qd2 = 0
Qd2−P1 +P2 = 18
Qs2−3P2 =−4
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Qs1,Qd1,Qs2,Qd2,P1,P2):
B =

1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 −3
1 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 −3

Temos
Qs1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 0 0 0 0
24 1 0 0 2 −3
−3 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
18 0 0 1 −1 1
−4 0 1 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 −3
1 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
957
29
= 33
27
Qs2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 24 0 2 −3
1 0 −3 0 −6 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 18 1 −1 1
0 0 −4 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 −3
1 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
493
29
= 17
P1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 24 −3
1 0 0 0 −3 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 18 1
0 0 1 0 −4 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 −3
1 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
174
29
= 6
P2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 24
1 0 0 0 −6 −3
0 0 1 −1 00
0 0 0 1 −1 18
0 0 1 0 0 −4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0 0 0
0 1 0 0 2 −3
1 0 0 0 −6 0
0 0 1 −1 0 0
0 0 0 1 −1 1
0 0 1 0 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
203
29
= 7
(c)
28
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 4+ 16(Y −T )
T = 6+ 14Y
I0 = 4
G0 = 2
Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:
Y −C = 6
−16Y +C+
1
6T = 4
−14Y +T = 6
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Y,C,T ):
H =
 1 −1 0−16 1 16
−14 0 1

Temos
|H|= 1
∣∣∣∣1 160 1
∣∣∣∣+1 ∣∣∣∣−16 16−14 1
∣∣∣∣+0 ∣∣∣∣−16 1−14 0
∣∣∣∣= 2124 = 78
adjA =
 1 18 281 1 28
−1
6
−1
6
5
6

′
=
1 1 −161
8 1
−1
6
2
8
2
8
5
6

H−1 =
87 87 −4211
7
8
7
−4
21
2
7
2
7
20
21

Logo, YC
T
=
87 87 −4211
7
8
7
−4
21
2
7
2
7
20
21
64
6
=
72730
7
60
7

(d)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 5+ 23Y
I0 = 6
G0 = 4
29
Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente.
Solução:
O modelo é dado pelo sistema equivalente:{
Y −C = 10
−23Y +C = 5
cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordem Y,C):
H =
[
1 −1
−23 1
]
Temos
Y =
∣∣∣∣10 −15 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −1−23 1
∣∣∣∣ =
15
1
3
= 45
C =
∣∣∣∣ 1 10−23 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −1−23 1
∣∣∣∣ =
35
3
1
3
= 35
30