af3_cr_21158(2015)

Prévia do material em texto

Relatório da
Actividade Formativa (AF3)
Matemática Aplicada à Gestão (21158)
2015/16
Mário J. Edmundo
Universidade Aberta
08 de Janeiro de 2016
Proposta de trabalho (AF3.1)
1. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere a seguinte função
y = f (x) = 4x2 +9
i. Calcule o quociente das diferenças ∆y
∆x no ponto inicial x0 arbitrário e avalie em seguinda o
valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5.
Solução:
∆y
∆x
=
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
=
(4(x0 +∆x)2 +9)− (4x20 +9)
∆x
=
(4x20 +4 ·2x0∆x+4(∆x)2 +9)− (4x20 +9)
∆x
=
8x0∆x+4(∆x)2
∆x
= 8x0 +4∆x
Logo o valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é 8 · 2+ 4 · 0.5 =
16+2 = 18.
ii. Calcule a derivada de f no ponto x0:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
e avalie em seguida o valor da derivada de f quando x0 = 2.
Solução:
2
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(8x0 +4∆x)
= 8x0.
Logo o valor da derivada de f quando x0 = 2 é f ′(2) = 8 ·2 = 16.
iii. Represente graficamente, no mesmo gráfico:
- a função f ;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2).
Solução:
Temos (2, f (2)) = (2,4 ·22 +9) = (2,25). Logo:
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é dada
por
y−25
x−2
= 18⇔ y−25 = 18(x−2)
⇔ y−25 = 18x−36
⇔ y = 18x−11.
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2) é dada por
y−25
x−2
= 16⇔ y−25 = 16(x−2)
⇔ y−25 = 16x−32
⇔ y = 16x−7.
Assim a representação gráfica destas funções é:
−2 −1 1 2 3
−40
−20
20
40
x
y
3
(b)
Considere a seguinte função
y = f (x) = 5x2−4x
i. Calcule o quociente das diferenças ∆y
∆x no ponto inicial x0 arbitrário e avalie em seguinda o
valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5.
Solução:
∆y
∆x
=
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
=
(5(x0 +∆x)2−4(x0 +∆x))− (5x20−4x0)
∆x
=
(5x20 +5 ·2x0∆x+5(∆x)2−4x0−4∆x)− (5x20−4x0)
∆x
=
10x0∆x+5(∆x)2−4∆x
∆x
= 10x0−4+5∆x
Logo o valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é 10 ·2−4+5 ·0.5 =
20−4+2.5 = 18.5.
ii. Calcule a derivada de f no ponto x0:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
e avalie em seguida o valor da derivada de f quando x0 = 2.
Solução:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(10x0−4+5∆x)
= 10x0−4.
Logo o valor da derivada de f quando x0 = 2 é f ′(2) = 10 ·2−4 = 16.
iii. Represente graficamente, no mesmo gráfico:
- a função f ;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2).
Solução:
Temos (2, f (2)) = (2,5 ·22−4 ·2) = (2,12). Logo:
4
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é dada
por
y−12
x−2
= 18.5⇔ y−12 = 18.5(x−2)
⇔ y−12 = 18.5x−37
⇔ y = 18.5x−25.
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2) é dada por
y−12
x−2
= 16⇔ y−12 = 16(x−2)
⇔ y−12 = 16x−32
⇔ y = 16x−20.
Assim a representação gráfica destas funções é:
−2 −1 1 2 3
−40
−20
20
40
x
y
5
(c)
Considere a seguinte função
y = f (x) = 5x−2
i. Calcule o quociente das diferenças ∆y
∆x no ponto inicial x0 arbitrário e avalie em seguinda o
valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5.
Solução:
∆y
∆x
=
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
=
(5(x0 +∆x)−2)− (5x0−2)
∆x
=
(5x0 +5∆x−2)− (5x0−2)
∆x
=
5∆x
∆x
= 5
Logo o valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é 5.
ii. Calcule a derivada de f no ponto x0:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
e avalie em seguida o valor da derivada de f quando x0 = 2.
Solução:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
5
= 5.
Logo o valor da derivada de f quando x0 = 2 é f ′(2) = 5.
iii. Represente graficamente, no mesmo gráfico:
- a função f ;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2).
Solução:
Temos (2, f (2)) = (2,5 ·2−2) = (2,8). Logo:
6
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é dada
por
y = 5x−2
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2) é dada por
y = 5x−2
Assim a representação gráfica destas funções é:
−6 −4 −2 2 4 6 8
−40
−20
20
40
x
y
7
(d)
Considere a seguinte função
y = f (x) = x3 +2x−4
i. Calcule o quociente das diferenças ∆y
∆x no ponto inicial x0 arbitrário e avalie em seguinda o
valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5.
Solução:
∆y
∆x
=
f (x0 +∆x)− f (x0)
∆x
=
((x0 +∆x)3 +2(x0 +∆x)−4)− (x30 +2x0−4)
∆x
=
((x30 +3x
2
0∆x+3x0(∆x)
2 +(∆x)3)+(2x0 +2∆x)−4)− (x30 +2x0−4)
∆x
=
3x20∆x+3x0(∆x)
2 +(∆x)3 +2∆x
∆x
= 3x20 +3x0∆x+(∆x)
2 +2
Logo o valor do quociente das diferenças ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é 3 ·2
2 +3 ·2 ·0.5+
(0.5)2 +2 = 17.25.
ii. Calcule a derivada de f no ponto x0:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
e avalie em seguida o valor da derivada de f quando x0 = 2.
Solução:
f ′(x0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
(3x20 +3x0∆x+(∆x)
2 +2)
= 3x20 +2.
Logo o valor da derivada de f quando x0 = 2 é f ′(2) = 3 ·22 +2 = 14.
iii. Represente graficamente, no mesmo gráfico:
- a função f ;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5;
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2).
Solução:
Temos (2, f (2)) = (2,23 +2 ·2−4) = (2,8). Logo:
8
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive ∆y
∆x quando x0 = 2 e ∆x = 0.5 é dada
por
y−8
x−2
= 17.25⇔ y−8 = 17.25(x−2)
⇔ y−8 = 17.25x−34.5
⇔ y = 17.25x−26.5.
- a reta que passa pelo ponto (2, f (2)) com declive f ′(2) é dada por
y−8
x−2
= 14⇔ y−8 = 14(x−2)
⇔ y−8 = 14x−28
⇔ y = 14x−20.
Assim a representação gráfica destas funções é:
−2 −1 1 2
−20
−10
10
20
x
y
9
2. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando as regras de diferenciação.
i. y = f (x) = 7x5.
Solução:
d f (x)
dx
= 5 ·7x5−1 = 35x4.
ii. w = g(u) =−4u 12 .
Solução:
dg(u)
du
=
1
2
· (−4u
1
2−1) =−2u−
1
2 .
iii. z = h(v) = 6v−
1
6 .
Solução:
dh(v)
dv
=−1
6
·6v−
1
6−1 =−v−
7
6 .
(b)
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando as regras de diferenciação.
i. y = f (x) = x5−4x3 +6x.
Solução:
d f (x)
dx
=
d
dx
(x5 +(−4x3)+6x)
=
d
dx
(x5)+
d
dx
(−4x3)+ d
dx
(6x)
= 5x4−12x2 +6.
ii. w = g(u) = (u2 +3)(u−2) 12 .
Solução:
10
dg(u)
du
=
d
du
((u2 +3)(u−2)
1
2 )
= (u2 +3)
d
du
((u−2)
1
2 )+
d
du
((u2 +3))(u−2)
1
2
= (u2 +3)(
1
2
(u−2)
1
2−1
d
du
(u−2))+( d
du
(u2)+
d
du
(3))(u−2)
1
2
=
1
2
(u2 +3)(u−2)−
1
2 +2u(u−2)
1
2
iii. z = h(v) = 6v+2
(v+1)−
1
6
.
Solução:
dh(v)
dv
=
d
dv((6v+2))(v+1)
− 16 − (6v+2) ddv((v+1)
− 16 ))
((v+1)−
1
6 )2)
=
6(v+1)−
1
6 − (6v+2)(−16)(v+1)
− 16−1
(v+1)2(−
1
6 )
=
6(v+1)−
1
6 + 16(6v+2)(v+1)
− 76
(v+1)−
1
3
(c)
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções usando as regras de diferenciação.
i. y = f (u) = u3 +2u, onde u = 5− x2.
Solução:
d f (x)
dx
=
d f (u)
du
|u=5−x2
du(x)
dx
=
d
du
(u3 +2u)|u=5−x2
d
dx
(5− x2)
= (3(5− x2)2 +2)(−2x)
ii. w = g(u) = u9, onde u = 7x3−5.
Solução:
dg(x)
dx
=
dg(u)
du
|u=7x3−5
du(x)
dx
=
d
du
(u9)|u=7x3−5
d
dx
(7x3−5)
= (9(7x3−5)8)21x2
= (7x3−5)8189x2
11
iii. z = h(u) = 6u+2u , onde u = (x+1)
− 16 .
Solução:
dh(x)
dx
=
dh(u)
du
|
u=(x+1)−
1
6
du(x)
dx
=
d
du
(
6u+2u
)|
u=(x+1)−
1
6
d
dx
((x+1)−
1
6 )
=
d
du(6u+2)u− (6u+2)
d
du(u)
u2
|
u=(x+1)−
1
6
d
dx
((x+1)−
1
6 )
=
6((x+1)−
1
6 )− (6((x+1)− 16 )+2)1
((x+1)−
1
6 )2
(−1
6
)(x+1)−
1
6−1
=
−(x+1)− 16 +(x+1)− 16 − 13
(x+1)−
1
3
(x+1)−
7
6
(d) Calcule o diferencial de cada uma das seguintes funções.
i. y = f (x) =−x(x2 +3).
Solução:
d f (x) = d(−x(x2 +3))
= (x2 +3)d(−x)+(−x)d((x2 +3))
= (x2 +3)(−1)dx+(−x)(d(x2)+d(3)))
=−(x2 +3)dx+(−x)(2xdx+0))
= ((−x2−3)−2x2)dx
= (−3x2−3)dx
ii. w = g(u) = (u−8)(7u+5).
Solução:
dg(u) = d((u−8)(7u+5))
= (7u+5)d((u−8))+(u−8)d((7u+5))
= (7u+5)du+(u−8)7du
= (7u+5+7u−56)du
= (14u−51)du
iii. z = h(v) = vv2+1 .
Solução:
12
dh = d(
v
v2 +1
)
=
1
(v2 +1)2
((v2 +1)d(v)− vd(v2 +1))
=
1
(v2 +1)2
((v2 +1)dv− v2vdv)
=
1
(v2 +1)2
((v2 +1−2v2)dv)
=
−v2 +1
(v2 +1)2
dv
13
3. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Calcule as derivadas das seguintes funções
i. y = 5e2−t
2
Solução:
dy
dt = 5e
2−t2(−2t) =−10te2−t2
ii. y = t2e2t
Solução:
dy
dt = 2te
2t + t2(e2t2) = 2te2t(1+ t)
iii. y = ln(7t5)
Solução:
dy
dt =
35t4
7t5 =
5
t
(b)
Calcule as derivadas das seguintes funções
i. y = 5t
Solução:
y = 5t = et ln(5)
dy
dt = ln(5)e
t ln(5)
ii. y = log7(7t
2)
Solução:
y = (log7e) ln(7t
2)
dy
dt = (log7e)
14t
7t2 = (log7e)
2
t
iii. y = t2log3t
Solução:
y = (log3e)t
2 ln(t)
dy
dt = (log3e)(2t ln(t)+ t
2 1
t ) = (log3e)(2ln(t)+1)t
14
4. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Calcule as derivadas parciais de cada uma das seguintes funções.
i. y = f (x1,x2) = 2x31−11x21x2 +3x22.
Solução:
∂ f
∂x1
= 6x21−22x2x1
∂ f
∂x2
=−11x21 +6x2
ii. w = g(x1,x2) = (2x1 +3)(x2−2).
Solução:
∂g
∂x1
= (x2−2)2
∂g
∂x2
= (2x1 +3)
iii. z = h(x1,x2) = 5x1+3x2−2 .
Solução:
∂h
∂x1
= (
1
x2−2
)5
∂h
∂x2
= (5x1 +3)(−
1
(x2−2)2
)
15
(b)
Calcule o gradiente de cada uma das seguintes funções.
i. f (x,y) = x2 +5xy− y3.
Solução:
Temos
∂ f
∂x
= 2x+5y
∂ f
∂y
= 5x−3y2
Logo o gradiente de f é ∇ f = (2x+5y,5x−3y2).
ii. g(x,y) = 2x−3yx+y .
Solução:
Temos
∂g
∂x
=
2(x+ y)− (2x−3y)
(x+ y)2
∂g
∂y
=
−3(x+ y)− (2x−3y)
(x+ y)2
Logo o gradiente de g é ∇g = (2(x+y)−(2x−3y)
(x+y)2 ,
−3(x+y)−(2x−3y)
(x+y)2 ).
iii. h(x,y) = (x2−3y)(x−2).
Solução:
Temos
∂h
∂x
= 2x(x−2)+(x2−3y)
∂h
∂y
=−3(x−2)
Logo o gradiente de h é ∇h = (2x(x−2)+(x2−3y),−3(x−2)).
16
(c)
Calcule o diferencial total de cada uma das seguintes funções.
i. u = f (x,y) = 3x2 + xy−2y3.
Solução:
Temos
∂ f
∂x
= 6x+ y
∂ f
∂y
= x−6y2
Logo o diferencial total de f é d f = (6x+ y)dx+(x−6y2)dy.
ii. v = g(x,y) = (5x2 +7y)(2x−4y3).
Solução:
Temos
∂g
∂x
= 10x(2x−4y3)+(5x2 +7y)2
∂g
∂y
= 7(2x−4y3)+(5x2 +7y)(−12y2)
Logo o diferencial total de g é dg = (10x(2x−4y3)+(5x2+7y)2)dx+(7(2x−4y3)+(5x2+
7y)(−12y2))dy.
iii. w = h(x,y) = 9y
3
x−y .
Solução:
Temos
∂h
∂x
=
−9y3
(x− y)2
∂h
∂y
=
27y2(x− y)−9y3(−1)
(x− y)2
Logo o diferencial total de h é dh = ( −9y
3
(x−y)2 )dx+(
27y2(x−y)−9y3(−1)
(x−y)2 )dy.
17
(d) Calcule o diferencial total de cada uma das seguintes funções usando as regras dos dife-
renciais.
i. y = f (x1,x2) = x1x1+x2 .
Solução:
d f = d(
x1
x1 + x2
)
=
1
(x1 + x2)2
((x1 + x2)d(x1)− x1d(x1 + x2))
=
1
(x1 + x2)2
((x1 + x2)dx1− x1(dx1 +dx2))
=
1
(x1 + x2)2
(x1dx1 + x2dx1− x1dx1− x1dx2))
=
x2
(x1 + x2)2
dx1−
x1
(x1 + x2)2
dx2
ii. y = g(x1,x2) = 2x1x2x1+x2 .
Solução:
dg = d(
2x1x2
x1 + x2
)
=
1
(x1 + x2)2
((x1 + x2)d(2x1x2)−2x1x2d(x1 + x2))
=
1
(x1 + x2)2
((x1 + x2)(x2d(2x1)+2x1d(x2))−2x1x2(dx1 +dx2))
=
1
(x1 + x2)2
((x1 + x2)(2x2dx1 +2x1dx2)−2x1x2(dx1 +dx2))
=
1
(x1 + x2)2
(2x1x2dx1 +2x21dx2 +2x
2
2dx1 +2x1x2dx2−2x1x2dx1−2x1x2dx2))
=
2x22
(x1 + x2)2
dx1 +
2x21
(x1 + x2)2
dx2
iii. y = h(x1,x2,x3) = 3x1(2x2−1)(x3 +5).
Solução:
dh = d(3x1(2x2−1)(x3 +5)) = (x3 +5)d(3x1(2x2−1))+(3x1(2x2−1))d(x3 +5)
= (x3 +5)((2x2−1)d(3x1)+3x1d(2x2−1))+(3x1(2x2−1))(d(x3)+d(5))
= (x3 +5)((2x2−1)3dx1 +3x1(d(2x2)+d(−1)))+(3x1(2x2−1))dx3
= (x3 +5)((2x2−1)3dx1 +3x12dx2)+(3x1(2x2−1))dx3
= (x3 +5)(2x2−1)3dx1 +(x3 +5)3x12dx2 +(x3 +5)(3x1(2x2−1))dx3
18
5. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Para cada uma das seguintes equações verifique se a função implicita y = f (x) está definida
numa vizinhança do ponto (x0,y0) indicado. Se for o caso, calcule a derivada
dy
dx
e avalie-a nesse ponto.
i. F(x,y) = 3x2 + xy−2y3 = 0, (x0,y0) = (0,0).
Solução:
Temos
∂F
∂y
= x−6y2
e
∂F
∂y
|(x,y)=(0,0) = 0
Logo pelo teorema da função implicita, a função implicita y = f (x) não está definida numa
vizinhança do ponto (x0,y0) indicado.
ii. F(x,y) = (5x2 +7y)(2x−4y3) = 0, (x0,y0) = (1,−57).
Solução:
Temos
∂F
∂y
= 7(2x−4y3)+(5x2 +7y)(−12y2)
e
∂F
∂y
|(x,y)=(1,−5/7) = 7(2(1)−4(−5/7)3)+(5(1)2 +7(−5/7))(−12(−5/7)2)
= 7(2−4((−5)3/73)))+(5−5)(−12(−5/7)2)
= 14−28((−5)3/72))
= 14+28(125/72) 6= 0
Logo pelo teorema da função implicita, a função implicita y = f (x) está definida numa
vizinhança do ponto (x0,y0) indicado. Neste caso, temos
dF = 0⇔ ∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy = 0
⇔ dy
dx
=−
∂F
∂x
∂F
∂y
19
Como
∂F
∂x
= 10x(2x−4y3)+(5x2 +7y)2
e
∂F
∂x
|(x,y)=(1,−5/7) = 10x(2x−4y3)+(5x2 +7y)2
= 10(1)(2(1)−4(−5/7)3)+(5(1)2 +7(−5/7))2
= 10(2−4((−5)3/73))+(5−5)2
= 20+40(125/73)
obtemos
dy
dx
|x=1 =−
20+40(125/73)
14+28(125/72)
.
20
(b)
Para cada um dos seguintes sistemas de equações verifique se as funções implicitas x= f 1(z),y=
f 2(z),w = f 3(z) estão definidas numa vizinhança do ponto (x0,y0,w0,z0) indicado. Se for o caso,
calcule as derivadas parciais
∂y
∂z
,
∂w
∂z
e avalie-as nesse ponto.
i. 
F1(x,y,z,w) = xy−w = 0
F2(x,y,z,w) = y−w3−3z = 0
F3(x,y,z,w) = w3 + z3−2zw = 0
com (x0,y0,w0,z0) = (14 ,4,1,1).
Solução:
O diferencial total do sistema é
ydx+ xdy−dw+0dz = 0
0dx+dy−3w2dw−3dz = 0
0dx+0dy+(3w2−2z)dw+(3z2−2w)dz = 0
Passando o diferencial exógeno e os seus coeficientes para o lado direito e escrevendo na
forma matricial, obtemosy x −10 1 −3w2
0 0 3w2−2z
dxdy
dw
=
 03
−3z2 +2w
dz
onde a matriz de coeficientes é o jacobiano cujo determinante no ponto (1/4,4,1,1) é∣∣∣∣∣∣
4 1/4 −1
0 1 −3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣= 4 6= 0
Logo pelo teorema da função implicita as funções implicitas x = f 1(z),y = f 2(z),w = f 3(z)
estão definidas numa vizinhança do ponto (x0,y0,w0,z0) indicado e as derivadas parciais
∂y
∂z
,
∂w
∂z
são obtidas resolvendo o sistema
y x −10 1 −3w2
0 0 3w2−2z


∂x
∂z
∂y
∂z
∂w
∂z
=
 03
−3z2 +2w

21
Em particular, pela regra de Cramer,
∂y
∂z
|(x0,y0,w0,z0)=(1/4,4,1,1) =
∣∣∣∣∣∣
4 0 −1
0 3 −3
0 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 1/4 −1
0 1 −3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
= 0/4 = 0
e
∂w
∂z
|(x0,y0,w0,z0)=(1/4,4,1,1) =
∣∣∣∣∣∣
4 1/4 0
0 1 3
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 1/4 −1
0 1 −3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
=−4/4 =−1
ii. 
F1(x,y,z,w) = xy3−w+1 = 0
F2(x,y,z,w) = x2− y−w3 = 0
F3(x,y,z,w) = w5− z−1 = 0
com (x0,y0,w0,z0) = (1,0,1,0).
Solução:
O diferencial total do sistema é
y3dx+3xy2dy−dw+0dz = 0
2xdx−dy−3w2dw−0dz = 0
0dx+0dy+5w4dw−dz = 0
Passando o diferencial exógeno e os seus coeficientes para o lado direito e escrevendo na
forma matricial, obtemos y3 3xy2 −12x −1 −3w2
0 0 5w4
dxdy
dw
=
00
1
dz
onde a matriz de coeficientes é o jacobiano cujo determinante no ponto (1,0,1,0) é∣∣∣∣∣∣
0 0 −1
2 −1 −3
0 0 5
∣∣∣∣∣∣=0
Logo pelo teorema da função implicita as funções implicitas x = f 1(z),y = f 2(z),w = f 3(z)
não estão definidas numa vizinhança do ponto (x0,y0,w0,z0) indicado.
22
iii. 
F1(x,y,z,w) =−x+3y−w+1 = 0
F2(x,y,z,w) = 2x− y−3w−1 = 0
F3(x,y,z,w) = 5w− z−1 = 0
com (x0,y0,w0,z0) = (25 ,−
1
5 ,0,−1).
Solução:
O diferencial total do sistema é
−dx+3dy−dw+0dz = 0
2dx−dy−3dw+0dz = 0
0dx+0dy+5dw−dz = 0
Passando o diferencial exógeno e os seus coeficientes para o lado direito e escrevendo na
forma matricial, obtemos −1 3 −12 −1 −3
0 0 5
dxdy
dw
=
00
1
dz
onde a matriz de coeficientes é o jacobiano cujo determinante no ponto (2/5,−1/5,0,−1) é∣∣∣∣∣∣
−1 3 −1
2 −1 −3
0 0 5
∣∣∣∣∣∣=−25 6= 0
Logo pelo teorema da função implicita as funções implicitas x = f 1(z),y = f 2(z),w = f 3(z)
estão definidas numa vizinhança do ponto (x0,y0,w0,z0) indicado e as derivadas parciais
∂y
∂z
,
∂w
∂z
são obtidas resolvendo o sistema
−1 3 −12 −1 −3
0 0 5


∂x
∂z
∂y
∂z
∂w
∂z
=
00
1

Em particular, pela regra de Cramer,
∂y
∂z
|(x0,y0,w0,z0)=(2/5,−1/5,0,−1) =
∣∣∣∣∣∣
−1 0 −1
2 0 −3
0 1 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 3 −1
2 −1 −3
0 0 5
∣∣∣∣∣∣
=−5/(−25) = 1/5
23
e
∂w
∂z
|(x0,y0,w0,z0)=(2/5,−1/5,0,−1) =
∣∣∣∣∣∣
−1 3 0
2 −1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 3 −1
2 −1 −3
0 0 5
∣∣∣∣∣∣
=−5/(−25) = 1/5
24
Proposta de trabalho (AF3.2)
6. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere um modelo económico cujo mercado de bens é descrito por
Y =C+ I +G0
C = 3+ 14(Y −1)
I =−4r3− r
e o mercado monetário e descrito por 
Md = Ms
Md = 2Y −3r
Ms = M0
com variáveis exógenas M0 (oferta de moeda) e G0 (despesas governamentais).
i. Determine o sistema de equações que descreve o estado de equilibrio macroeconomico si-
multâneo de ambos os mercados que definem implicitamente as duas variáveis endógenas,
Y e r, como funções das variáveis exógenas, G0 e M0.
Solução:
Temos {
Y = (3+ 14(Y −1))+(−4r
3− r)+G0
2Y −3r = M0
⇔
{
3
4Y +4r
3 + r = G0 + 114
2Y −3r = M0
ii. Calcule o determinante jacobiano do sistema de equações da alı́nea (a) e mostre que é
possı́vel definir implicitamente os valores de equilibrio Y ∗ e r∗ em função das variáveis
exógenas, G0 e M0.
Solução:
Tomando o diferencial total do sistema, obtemos:{
3
4dY +(12r
2 +1)dr = dG0
2dY −3dr = dM0
25
ou seja, na forma matricial [3
4 (12r
2 +1)
2 −3
][
dY
dr
]
=
[
dG0
dM0
]
O determinante jacobiano é:∣∣∣∣34 (12r2 +1)2 −3
∣∣∣∣=−94 −2(12r2 +1) =−24r2− 174 < 0
(porque r2 > 0 para todo o r). Logo pelo teorema da função implicita, é possı́vel definir
implicitamente os valores de equilibrio Y ∗ e r∗ em função das variáveis exógenas, G0 e M0.
iii. Determine os efeitos da variação da polı́tica fiscal sobre os valores de equilibrio Y ∗ e r∗.
Solução:
Fazendo dM0 = 0 e dividindo ambos os lados do sistema por dG0, obtemos:
[3
4 (12r
2 +1)
2 −3
][ dY ∗
dG0
dr∗
dG0
]
=
[
1
0
]
Usando a regra de Cramer, obtemos
dY ∗
dG0
=− 1
24r2 + 174
∣∣∣∣1 (12r2 +1)0 −3
∣∣∣∣= 324r2 + 174 > 0
dr∗
dG0
=− 1
24r2 + 174
∣∣∣∣34 12 0
∣∣∣∣= 224r2 + 174 > 0.
Logo, um aumento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais provoca um au-
mento (resp. uma diminuição) no valor de Y ∗. Do mesmo modo, um aumento (resp. uma
diminuição) nas despesas governamentais provoca um aumento (resp. uma diminuição) no
valor de r∗.
26
(b)
Considere o modelo económico {
Y =C+ I0 +G0
C = 5+ 23Y
com variáveis exógenas I0 (investimento) e G0 (despesas governamentais).
i. Calcule o determinante jacobiano do sistema de equações e mostre que é possı́vel definir
implicitamente os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ em função das variáveis exógenas, I0 e G0.
Solução:
Temos {
Y =C+ I0 +G0
C = 5+ 23Y
⇔
{
Y −C = I0 +G0
−23Y +C = 5
Tomando o diferencial total do sistema, obtemos:{
dY −dC = dI0 +dG0
−23dY +dC = 0
ou seja, na forma matricial [
1 −1
−23 1
][
dY
dC
]
=
[
dI0 +dG0
0
]
O determinante jacobiano é: ∣∣∣∣ 1 −1−23 1
∣∣∣∣= 13 > 0
Logo pelo teorema da função implicita, é possı́vel definir implicitamente os valores de equi-
librio Y ∗ e C∗ em função das variáveis exógenas, I0 e G0.
ii. Determine os efeitos da variação da polı́tica fiscal sobre os valores de equilibrio Y ∗ e C∗.
Solução:
Fazendo dI0 = 0 e dividindo ambos os lados do sistema por dG0, obtemos:[
1 −1
−23 1
][ dY ∗
dG0
dC∗
dG0
]
=
[
1
0
]
Usando a regra de Cramer, obtemos
dY ∗
dG0
=
1
1
3
∣∣∣∣1 −10 1
∣∣∣∣= 11
3
= 3 > 0
dC∗
dG0
=
1
1
3
∣∣∣∣ 1 1−23 0
∣∣∣∣= 231
3
= 2 > 0.
Logo, um aumento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais provoca um au-
mento (resp. uma diminuição) no valor de Y ∗. Do mesmo modo, um aumento (resp. uma
diminuição) nas despesas governamentais provoca um aumento (resp. uma diminuição) no
valor de C∗.
27
(c)
Considere o modelo económico {
Y =C+ I0 +G0
C = 25+6
√
Y
com variáveis exógenas I0 (investimento) e G0 (despesas governamentais).
i. Calcule o determinante jacobiano do sistema de equações e mostre que é possı́vel definir
implicitamente os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ em função das variáveis exógenas, I0 e G0.
Solução:
Temos {
Y =C+ I0 +G0
C = 25+6
√
Y
⇔
{
Y −C = I0 +G0
−6
√
Y +C = 25
Tomando o diferencial total do sistema, obtemos:{
dY −dC = dI0 +dG0
− 3√
Y
dY +dC = 0
ou seja, na forma matricial [
1 −1
− 3√
Y
1
][
dY
dC
]
=
[
dI0 +dG0
0
]
O determinante jacobiano é: ∣∣∣∣∣ 1 −1− 3√Y 1
∣∣∣∣∣= 1− 3√Y
O determinante jacobiano é diferente de 0 quando Y 6= 9. Logo numa vizinhança de to-
dos os pontos (Y,C, I0,G0) com Y 6= 9, pelo teorema da função implicita, é possı́vel definir
implicitamente os valores de equilibrio Y ∗ e C∗ em função das variáveis exógenas, I0 e G0.
ii. Determine os efeitos da variação da polı́tica fiscal sobre os valores de equilibrio Y ∗ e C∗.
Solução:
Fazendo dI0 = 0 e dividindo ambos os lados do sistema por dG0, obtemos:[
1 −1
− 3√
Y
1
][
dY ∗
dG0
dC∗
dG0
]
=
[
1
0
]
Usando a regra de Cramer, obtemos
dY ∗
dG0
=
1
1− 3√
Y
∣∣∣∣1 −10 1
∣∣∣∣= 11− 3√
Y
28
dC∗
dG0
=
1
1− 3√
Y
∣∣∣∣∣ 1 1− 3√Y 0
∣∣∣∣∣=
3√
Y
1− 3√
Y
.
Assim numa vizinhança de todos os pontos (Y,C, I0,G0) com 9<Y temos dY
∗
dG0
> 0 e dC
∗
dG0
> 0.
Logo, nessa situação um aumento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais
provoca um aumento (resp. uma diminuição) no valor de Y ∗. Do mesmo modo, um au-
mento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais provoca um aumento (resp.
uma diminuição) no valor de C∗.
Por outro lado, numa vizinhança de todos os pontos (Y,C, I0,G0) com 0 < Y < 9 temos
dY ∗
dG0
< 0 e dC
∗
dG0
< 0. Logo, nessa situação um aumento (resp. uma diminuição) nas des-
pesas governamentais provoca uma diminuição (resp. um aumento) no valor de Y ∗. Do
mesmo modo, um aumento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais provoca
uma diminuição (resp. um aumento) no valor de C∗.
29
(d)
Considere o modelo económico 
Y =C+ I0 +G0
C = 4+ 16(Y −T )
T = 6+ 14Y
com variáveis exógenas I0 (investimento) e G0 (despesas governamentais).
i. Calcule o determinante jacobiano do sistema de equações e mostre que é possı́vel definir
implicitamente os valores de equilibrio Y ∗,C∗ e T ∗ em função das variáveis exógenas, I0 e
G0.
Solução:
Temos 
Y =C+ I0 +G0
C = 4+ 16(Y −T )
T = 6+ 14Y
⇔

Y −C = I0 +G0
−16Y +C+
1
6T = 4
−14Y +T = 6
Tomando o diferencial total do sistema, obtemos:
dY −dC = dI0 +dG0
−16dY +dC+
1
6dT = 0
−14dY +dT = 0
ou seja, na forma matricial 1 −1 0−16 1 16
−14 0 1
dYdC
dT
=
dI0 +dG00
0

O determinante jacobiano é:∣∣∣∣∣∣
1 −1 0
−16 1
1
6
−14 0 1
∣∣∣∣∣∣= 1+1(−16 + 124) = 2124 = 78 > 0
Logo pelo teorema da função implicita, é possı́vel definir implicitamenteos valores de equi-
librio Y ∗,C∗ e T ∗ em função das variáveis exógenas, I0 e G0.
ii. Determine os efeitos da variação da polı́tica fiscal sobre os valores de equilibrio Y ∗,C∗ e T ∗.
Solução:
Fazendo dI0 = 0 e dividindo ambos os lados do sistema por dG0, obtemos:
 1 −1 0−16 1 16
−14 0 1


dY ∗
dG0
dC∗
dG0
dT ∗
dG0
=
10
0

30
Usando a regra de Cramer, obtemos
dY ∗
dG0
=
1
7
8
∣∣∣∣∣∣
1 −1 0
0 1 16
0 0 1
∣∣∣∣∣∣= 178 = 87 > 0
dC∗
dG0
=
1
7
8
∣∣∣∣∣∣
1 1 0
−16 0
1
6
−14 0 1
∣∣∣∣∣∣=
1
8
7
8
=
1
7
> 0.
dT ∗
dG0
=
1
7
8
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
−16 1 0
−14 0 0
∣∣∣∣∣∣=
1
4
7
8
=
2
7
> 0.
Logo, um aumento (resp. uma diminuição) nas despesas governamentais provoca um au-
mento (resp. uma diminuição) no valor de Y ∗. Do mesmo modo, um aumento (resp. uma
diminuição) nas despesas governamentais provoca um aumento (resp. uma diminuição) no
valor de C∗ (resp. de T ∗).
31