resolucao_AF1_MAGI_2014

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Actividade Formativa 1
Resolução
1. a. Dada a função y = −3+4x definida no conjunto A = {x ∈ R : −2 6 x < 7}, represente
graficamente a função y(x) e exprima a imagem de A como um conjunto.
b. Dada a função y = 3−2x2 definida no conjunto B = {x ∈ R : −2 6 x 6 2}, represente
graficamente a função y(x) e exprima a imagem de B como um conjunto. Calcule
ainda os pontos onde a função y(x) se anula.
a. No caso da função y = −3 + 4x a representação gráfica (ver a figura 1) é uma
recta restringida ao intervalo [−2, 7[ no eixo dos x e a imagem é o intervalo (no eixo dos y)
[−11, 25[= {y ∈ R : − 11 6 y < 25}.
−2 2 4 6
−10
10
20
x
y
y=−3+4x
Figura 1: A recta y = −3 + 4x.
b. No caso da função y = 3−2x2 a representação gráfica (ver a figura 2) é uma parábola
invertida com máximo igual a −3 em x = 0, restringida ao intervalo [−2, 2] no eixo dos x; a
imagem é o intervalo [−5, 3] = {y ∈ R : − 5 6 y 6 3}. Finalmente, a função anula-se para
3− 2x2 = 0, ou seja, x2 = 3/2, portanto x = ±
√
3/2.
RS,AA -1-
-2 -1 0 1 2
-4
-2
0
2
x
y
Figura 2: A curva y = 3− 2x2.
RS,AA -2-
2. Simplifique as seguintes expressões utilizando as regras I a VII:
a.
(
x3
)n
x−4, x ∈ R, n ∈ N.
b. (xn)2 x−nx2, x ∈ R, n ∈ N.
c. a2 b2 c2, a, b, c ∈ R.
d. 2n 2m 2p, n, m, p ∈ Q.
a.
(
x3
)n
x−4 = x3n x−4 = x3n−4, utilizando as regras VI e I.
b. (xn)2 x−nx2 = x2n x−nx2 = x2n x−n+2 = x2n−n+2 = xn+2, utilizando as regras VI e I.
c. a2 b2 c2 = (ab)2 c2 = (abc)2, utilizando a regra VII.
d. 2n 2m 2p = 2n+m 2p = 2n+m+p, utilizando a regra I.
3. Dado o modelo de mercado 
Qd = Qs
Qd = 35− 7P
Qs = −9 + 6P
,
calcule P ∗ e Q∗.
Para calcular os pontos de equiĺıbrio usamos as equações que definem a procura Qd e a
oferta Qs para obter os posśıveis valores de P∗.
Assim temos
Qd = Qs =⇒ 35− 7P = −9 + 6P
=⇒ 35 + 9 = 13P
=⇒ P = 44
13
= 3 +
5
13
,
e portanto obtemos P ∗ = 3 + 5
13
, e substituindo em qualquer das equações temos Q∗ =
35− 7P ∗ (ou Q∗ = −9 + 6P ∗) ou seja Q∗ = 147/13 = 11 + 4
13
.
4. Dado o modelo de mercado 
Qd = Qs
Qd = 25− 5P
Qs = −9 + 6P 2
,
calcule P ∗ e Q∗.
Como no caso anterior para calcular os pontos de equiĺıbrio usamos as equações que
definem a procura Qd e a oferta Qs para obter os posśıveis valores de P∗.
RS,AA -3-
Assim temos
Qd = Qs =⇒ 25− 5P = −9 + 6P 2
=⇒ 6P 2 + 5P − 34 = 0
=⇒ P = 2 ou P = −34
12
.
E portanto neste caso temos 2 valores posśıveis para P ∗. Mas como por definição P ∗ re-
presenta um preço, só os valores positivos de P ∗ é que fazem sentido logo a única solução
posśıvel é P ∗ = 2, a que corresponde Q∗ = 25− 5.2 = 15.
5. a. Considere o modelo de mercado 
Qd = Qs
Qd = 20− bP
Qs = −8 + 5P
,
em que b é um parâmetro desconhecido. Suponha que P ∗ = 4. Calcule b e Q∗.
b. Considere agora o modelo de mercado
Qd = Qs
Qd = a− bP
Qs = −8 + 5P
,
em que agora a e b são ambos valores positivos desconhecidos. Suponha que P ∗ = 4.
Existirá uma e uma só solução a, b compat́ıvel com os dados? Qual é o valor mı́nimo
de a compat́ıvel com estes dados? Justifique a sua resposta e interprete a situação
geometricamente.
a.
A condição de equiĺıbrio é
Qd = Qs =⇒ 20− bP ∗ = −8 + 5P ∗
=⇒ 20− b× 4 = −8 + 5× 4b (pois sabemos que P ∗ = 4)
=⇒ b = 2.
Então
Q∗ = −8 + 5P ∗ = −8 + 5× 4 = 12.
b. Sabemos que existe pelo menos uma resolução, retirada da aĺınea anterior: basta fazer
a = 20, b = 2. Para ver que existem outras basta notar que
a− bP ∗ = −8 + 5P ∗ ⇒ a = (b + 5)P ∗ − 8 ⇒ a = 4b + 12.
Isto dá-nos um a positivo para cada b positivo, portanto temos uma infinidade de soluções.
Interpretação geométrica: Qs é uma recta dada. Qd é uma outra recta de parâmetros
desconhecidos, excepto que, usualmente, para a função ”procura”costumamos assumir que a
RS,AA -4-
e b serão positivos (note-se o sinal ”menos”em Qd = a− bP ). Ora, ao especificarmos o valor
de P ∗ = 4 obrigamos a intersecção das duas rectas a ocorrer no ponto P ∗ = 4, Q∗ = 12.
Quando escolhemos um valor positivo para b estamos a dizer que a recta desconhecida tem
uma certa inclinação (descendente); basta agora projectar essa recta para trás, com essa
inclinação, até ela colidir com o eixo vertical - a ordenada onde ela toca a origem será o valor
correspondente a, que será necessariamente positivo. É fácil de ver (figura 3) que o mı́nimo
de a será atingido quando a recta é horizontal (b = 0), e nesse caso a = Q∗ = 12. Como
assumimos que b > 0, esse valor não será nunca atingido, mas podemos aproximá-lo tanto
quanto quisermos, tomando rectas cada vez mais próximas da horizontal (ou seja, a não tem
mı́nimo, só tem ı́nfimo). O conjunto de valores que a pode tomar é ]12, +∞].
RS,AA -5-
-2 0 2 4 6 8 10
-2
0
-1
0
0
10
20
30
40
P
Q
Figura 3: As rectas cuzam-se em (P ∗, Q∗) = (4, 12). As rectas cheias são as da aĺınea a, as
tracejadas são algumas das outras soluções posśıveis.
RS,AA -6-
6. As funções de procura e oferta de um modelo de mercado de duas mercadorias são as se-
guintes: {
Qd1 = 24− 2P1 + 3P2
Qs1 = −3 + 6P1
e
{
Qd2 = 18 + P1 − P2
Qs2 = −4 + 3P2
,
calcule P ∗i e Q
∗
i , para (i = 1, 2).
Neste caso temos duas mercadorias relacionadas uma com a outra, o que corresponde a
um modelo um pouco mais realista, e portanto se houver equiĺıbrios eles resultam da solução
Q∗1 de Qd1 = Qs1 e Q
∗
2 de Qd2 = Qs2 em função de P1 e de P2.
Neste caso tem-se:
Qd1 = Qs1 =⇒ 24− 2P1 + 3P2 = −3 + 6P1 =⇒ 8P1 − 3P2 = 27,
e
Qd2 = Qs2 =⇒ 18 + P1 − P2 = −4 + 3P2 =⇒ −P1 + 4P2 = 22.
Obtemos assim um sistema de 2 equações para as incógnitas P1 e P2, que é um sistema
linear {
−P1 + 4P2 = 22
8P1 − 3P2 = 27
,
e que portanto pode ser resolvido com uma simples substituição obtendo-se neste caso uma
solução única P ∗1 = 6 e P
∗
2 = 7.
É importante observar que estes valores representam preços e portanto se não forem
positivos algo está mal com o nosso modelo.
A partir destes valores obtemos os valores de Q∗1 e de Q
∗
2 por substituição, Q
∗
1 = 33 e
Q∗2 = 17.
7. Considere as matrizes
X =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 , Y = ( 3 1 0
0 2 4
)
e Z =
(
6 7
5 2
)
.
a. Diga quais dos 6 produtos XY, Y X, XZ, ZX, Y Z e ZY estão definidos.
b. Calcule todos os posśıveis produtos referidos na aĺınea anterior.
c. Será posśıvel calcular o produto das três matrizes dadas? Justifique.
d. Calcule, se posśıvel, Y X2 e ZY X.
a. Dada uma matriz com m linhas e n colunas, ou seja uma matriz m × n, é posśıvel
multiplicá-la à esquerda por uma matriz com m colunas e à direita por uma matriz com n
linhas. Neste caso X é uma matriz 3× 3, Y é uma matriz 2× 3 e Z é uma matriz 2× 2, e
portanto os únicos produtos posśıveis são Y X e ZY .
b. Tem-se
Y X =
(
3 1 0
0 2 4
) 1 2 34 5 6
7 8 9
=( 3 + 4 + 0 6 + 5 + 0 9 + 6 + 0
0 + 8 + 28 0 + 10 + 32 0 + 12 + 36
)
=
(
7 11 15
36 42 48
)
RS,AA -7-
e
ZY =
(
6 7
5 2
)(
3 1 0
0 2 4
)
=
(
18 + 0 6 + 14 0 + 28
15 + 0 5 + 4 0 + 8
)
=
(
18 20 28
15 9 8
)
c. Tendo em conta o que vimos na 1ª aĺınea, a única maneira de multiplicar X, Y e Z é
fazer o produto pela ordem ZY X.
d. Utilizando a aĺınea b. tem-se para Y X2 que
Y X2 = (Y X)X =
(
3 1 0
0 2 4
) 1 2 34 5 6
7 8 9
 X = ( 7 11 15
36 42 48
) 1 2 34 5 6
7 8 9

=
(
7 + 44 + 105 14 + 55 + 120 21 + 66 + 135
36 + 168 + 336 72 + 210 + 384 108 + 252 + 432
)
=
(
156 189 222
540 666 792
)
.
Para ZY X tem-se
ZY X = (ZY )X =
(
18 20 28
15 9 8
)  1 2 34 5 6
7 8 9

=
(
18 + 80 + 196 36 + 100 + 224 54 + 120 + 252
15 + 36 + 56 30 + 45 + 64 45 + 54 + 72
)
=
(
294 360 426
107 139 171
)
.
8. Dada a matriz
A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 ,
será que a última coluna se pode escrever como combinação linear das duas primeiras?
Justifique, e em caso afirmativo determine os coeficientes da combinação linear.
A possibilidade de uma qualquer coluna (ou linha) se poder escrever como combinação linear
(não nula) das outras duas depende sómente do determinante deA: se o determinante de A
é zero, então é posśıvel, se é diferente de zero é imposśıvel. Neste caso tem-se, expandindo
o determinante ao longo da 1ª coluna, por exemplo,
det A = 1
∣∣∣∣ 5 68 9
∣∣∣∣−4 ∣∣∣∣ 2 38 9
∣∣∣∣+7 ∣∣∣∣ 2 35 6
∣∣∣∣=(45−48)−4(18−24)+7(12−15) = −3+24−21 = 0.
Assim, é posśıvel determinar a e b reais, não (simultaneamente) nulos tais que36
9
 = a
14
7
 + b
25
8

ou seja
a + 2b = 3
4a + 5b = 6
7a + 8b = 9.
RS,AA -8-
Estas 3 equações contêm as 2 incógnitas a e b, e podem ser resolvidas obtendo o valor de a
em função de b a partir da 1ª equação (a = 3 − 2b), e substituindo numa das outras duas
(4(3− 2b) + 5b = 6 ou 4(3− 2b) + 8b = 9) obtendo-se b = 2 e a = 3− 4 = −1.
Ou seja a última coluna da matriz é igual a duas vezes a segunda coluna menos a primeira
coluna.
9. Dada uma matriz quadrada (n × n) A e k ∈ R determine o determinante da matriz kA à
custa do determinante de A.
Sejam [ai,j], i, j = · · · , n as entradas da matriz A. Então as entradas da matriz kA são,
por definição [kai,j], i, j = · · · , n, o que corresponde a multiplicar cada linha da matriz A
pela constante k. Aplicando a propriedade III dos determinantes sucessivamente a cada uma
das n linhas da matriz kA obtemos a constante k · · · k (n vezes) e portanto det kA = kn det A.
det kA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
ka11 ka12 · · · ka1n
ka21 ka22 · · · ka2n
· · · · · · · · · · · ·
kan1 kan2 · · · kann
∣∣∣∣∣∣∣∣ = k
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
ka21 ka22 · · · ka2n
· · · · · · · · · · · ·
kan1 kan2 · · · kann
∣∣∣∣∣∣∣∣ = k
2
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
kan1 kan2 · · · kann
∣∣∣∣∣∣∣∣
e portanto ao fim de (n-1) linhas obtemos
det kA = kn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
kan1 kan2 · · · kann
∣∣∣∣∣∣∣∣ = k
n−1k
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣ = k
n det A,
ou seja |kA| = kn|A|.
10. Dado o sistema 
x +2y +3z = −1
x −y +z = 2
y +z = 7
,
verifique que possui uma solução única, e utilize a regra de Cramer para calcular x.
A matriz associada ao sistema é a matriz 3× 3
A =
 1 2 31 −1 1
0 1 1
 ,
e portanto este sistema tem uma única solução desde que o determinante de A seja não nulo.
Como
det A = (−1− 1)− (2− 3) = −1 6= 0
fica garantida a existência de solução única para este sistema, e a regra de Cramer permite
escrever
x =
1
|A|
∣∣∣∣∣∣
−1 2 3
2 −1 1
7 1 1
∣∣∣∣∣∣ ,
RS,AA -9-
onde este determinante é obtido substituindo a 1ª coluna (correspondente a x) pela coluna
dos termos independentes do sistema, obtendo-se
x =
39
−1
= −39.
Análogamente obtem-se
y = −17 e z = 24.
RS,AA -10-