af4_cr_21158(2015)

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Relatório da
Actividade Formativa (AF4)
Matemática Aplicada à Gestão (21158)
2015/16
Mário J. Edmundo
Universidade Aberta
22 de Janeiro de 2016
Proposta de trabalho (AF4.1)
1. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Use o teste da primeira derivada para determinar os pontos estacionários de cada uma função
em baixo, explicitando se são mı́nimos ou máximos (relativos ou absolutos) ou pontos de inflexão.
i. y =−2x2 +8x+7
Solução:
Temos dydx =−4x+8 e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são x = 2. A
derivada muda de positiva para negativa da esquerda imediata de x= 2 para a direita imediata
de x = 2. Logo x = 2 é um máximo relativo (e absoluto).
−2 2 4 6
−40
−20
20
40
x
y
2
ii. y = 13x
3− x2 + x+10
Solução:
Temos
dy
dx = x
2− 2x+ 1 = (x− 1)2 e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são
x = 1. A derivada é positiva na esquerda imediata de x = 1 e na direita imediata de x = 1.
Logo x = 1 não é um máximo nem mı́nimo relativo, é um ponto de inflexão.
−4 −2 2 4 6
−60
−40
−20
20
40
60
x
y
3
iii. y = x4− x3−10
Solução:
Temos
dy
dx = 4x
3−3x2 = x2(4x−3) e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são
x = 0 e x = 34 . A derivada é positiva na esquerda imediata de x = 0 e na direita imediata de
x = 0. Logo x = 0 não é um máximo nem mı́nimo relativo, nem é um ponto de inflexão.
A derivada muda de negativa para positiva da esquerda imediata de x = 34 para a direita
imediata de x = 34 . Logo x =
3
4 é um mı́nimo relativo.
−2 −1 1 2 3
−60
−40
−20
20
40
60
x
y
4
iv. y = x+ 1x (com x 6= 0)
Solução:
Temos
dy
dx = 1−
1
x2 e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são x = −1 e x = 1.
A derivada é positiva na esquerda imediata de x =−1 e na direita imediata de x =−1. Logo
x = −1 não é um máximo nem mı́nimo relativo, nem é um ponto de inflexão. A derivada é
positiva na esquerda imediata de x = 1 e na direita imediata de x = 1. Logo x = 1 não é um
máximo nem mı́nimo relativo, nem é um ponto de inflexão.
−3 −2 −1 1 2 3
−60
−40
−20
20
40
60
x
y
5
(b)
Use o teste da segunda derivada para determinar os pontos estacionários de cada uma função
em baixo, explicitando se são mı́nimos ou máximos (relativos ou absolutos) ou pontos de inflexão.
i. y =−2x2 +8x+25
Solução:
Temos dydx = −4x+ 8 e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são x = 2.
Temos d
2y
dx2 = −4 < 0 e a segunda derivada é negativa em x = 2. Logo x = 2 é um máximo
relativo (e absoluto).
−4 −2 2 4
−60
−40
−20
20
40
60
x
y
6
ii. y = x3 +6x2 +9
Solução:
Temos dydx = 3x
2+12x = 3x(x+4) e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada)
x =−4 e x = 0. Temos d
2y
dx2 = 6x+12 e a segunda derivada é negativa em x =−4 e positiva
em x = 0. Logo x =−4 é um máximo relativo e x = 0 é mı́nimo relativo.
−6 −4 −2 2
−100
−50
50
100
x
y
7
iii. y = 13x
3−3x2 +5x+3
Solução:
Temos dydx = x
2− 6x+ 5 = (x− 1)(x− 5) e os pontos estacionários da função (os zeros da
derivada) x = 1 e x = 5. Temos d
2y
dx2 = 2x− 6 e a segunda derivada é negativa em x = 1 e
positiva em x = 5. Logo x = 1 é um máximo relativo e x = 5 é mı́nimo relativo.
−2 2 4 6 8
−40
−20
20
40
x
y
8
iv. y = 2x1−2x (com x 6=
1
2)
Solução:
Temos
dy
dx =
2(1−2x)−2x(−2)
(1−2x)2 =
2
(1−2x)2 e os pontos estacionários da função (os zeros da derivada) são
nenhuns.
−3 −2 −1 1 2 3
−60
−40
−20
20
40
60
x
y
9
Proposta de trabalho (AF4.2)
2. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets
Calculadora de gráficos de funções de uma variável.
Calculadora para o cálculo infinitesimal.
Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para
confirmar os resultados obtidos.
(a)
Considere as funções
C(Q) = 2Q2−9
R(Q) = 8Q−2
de custo total e receita total.
i. Determine a função π(Q) de lucro total.
Solução:
π(Q) = R(Q)−C(Q) = (8Q−2)− (2Q2−9) =−2Q2 +8Q+7
ii. Determine o nı́vel de produção Q∗ que maximiza a lucro.
Solução:
Temos
dπ(Q)
dQ = −4Q+ 8 e os pontos estacionários são Q = 2. Como
d2π(Q)
dQ2 = −4 < 0, o nı́vel de
produção Q∗ que maximiza a lucro é 2.
2 4 6
−40
−20
20
40
Q
π(Q)
iii. Determine o lucro máximo π(Q∗).
Solução:
π(Q∗) =−2(2)2 +8(2)+7 =−8+16+7 = 15.
10
(b)
Considere as funções
C(Q) = Q3 +9
R(Q) = Q4−1
de custo total e receita total.
i. Determine a função π(Q) de lucro total.
Solução:
π(Q) = R(Q)−C(Q) = (Q4−1)− (Q3 +9) = Q4−Q3−10
ii. Determine o nı́vel de produção Q∗ que maximiza a lucro.
Solução:
Temos
dπ(Q)
dQ = 4Q
3 − 3Q2 = Q2(4Q− 3) e os pontos estacionários são Q = 0 e Q = 34 . Como
d2π(Q)
dQ2 = 12Q
2−6Q = 6Q(2Q−1) que é positivo em Q = 34 não existe um nı́vel de produção
Q∗ que maximiza a lucro.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
−40
−20
20
40
Q
π(Q)
iii. Determine o lucro máximo π(Q∗).
Solução:
Não existe.
11
(c)
Considere as funções
C(Q) =−3Q2−5Q
R(Q) =
1
3
Q3 +3
de custo total e receita total.
i. Determine a função π(Q) de lucro total.
Solução:
π(Q) = R(Q)−C(Q) = (13Q
3 +3)− (−3Q2−5Q) = 13Q
3 +3Q2 +5Q+3
ii. Determine o nı́vel de produção Q∗ que maximiza a lucro.
Solução:
Temos
dπ(Q)
dQ = Q
2 + 6Q+ 5 = (Q+ 1)(Q+ 5) e os pontos estacionários são Q = −1 e Q = −5.
Como Q≥ 0 não existe um nı́vel de produção Q∗ que maximiza a lucro.
1 2 3 4 5
−50
50
100
150
Q
π(Q)
iii. Determine o lucro máximo π(Q∗).
Solução:
Não existe.
12
(d)
Considere as funções
C(Q) =− Q
1+Q
R(Q) =
1
1+Q
de custo total e receita total.
i. Determine a função π(Q) de lucro total.
Solução:
π(Q) = R(Q)−C(Q) = ( 11+Q)− (−
Q
1+Q) = 1
ii. Determine o nı́vel de produção Q∗ que maximiza a lucro.
Solução:
Temos
dπ(Q)
dQ = 0 e os pontos estacionários são todos.
2 4 6 8 10
−10
−5
5
10
Q
π(Q)
iii. Determine o lucro máximo π(Q∗).
Solução:
π(Q∗) = 1.
13