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Relat́orio da Atividade Formativa 2 (AF2) Matemática Aplicada à Gest̃ao (21158) 2015/16 Mário J. Edmundo Universidade Aberta 20 de Novembro de 2015 Proposta de trabalho (AF2.1) Nota preliminar : Todos os exercı́cios que se enquadrem num contexto de modelo de mercado de procura e oferta pressupõem que a quantidade,Q, e o preço,P, sejam variáveis que apenas possam tomar valores não negativos. Este critério dever´a ser seguido, quer na determinação dos pontos de equilı́brio, quer na representação gráfica do modelo, onde importa apresentar o traçado das funções com linha contı́nua no 1o quadrante do plano cartesiano deR2 e linha tracejada nos restantes quadrantes. 1. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets Calculadora de gráficos de funções de uma variável. Calculadora de soluções de equações. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 21−3P Qs =−4+8P i. Represente o modelo graficamente. Solução: 1 3 5 7 −20 20 40 60 P Q Qd Qs 2 ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 21−3P =−4+8P ⇔−3P−8P =−4−21 ⇔−11P =−25 ⇔ P = −25−11 = 25 11 . LogoP∗ = 2511 e Q ∗ = 21−3P∗ = 21−3(2511) = 15611 . (b) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 35−7P Qs =−9+6P i. Represente o modelo graficamente. Solução: 1 2 3 4 5 6 −20 20 40 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 35−7P =−9+6P ⇔−7P−6P =−9−35 ⇔−13P =−44 ⇔ P = −44−13 = 44 13 . LogoP∗ = 4413 e Q ∗ = 35−7P∗ = 35−7(4413) = 14713 . 3 (c) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 51−3P Qs =−10+6P i. Represente o modelo graficamente. Solução: 5 10 15 20 −30 30 60 90 120 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 51−3P =−10+6P ⇔−3P−6P =−10−51 ⇔−9P =−61 ⇔ P = −61−9 = 61 9 . LogoP∗ = 619 e Q ∗ = 51−3P∗ = 51−3(619 ) = 2769 = 923 . (d) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 30−2P Qs =−6+5P i. Represente o modelo graficamente. 4 Solução: 5 10 15 −20 20 40 60 80 100 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 30−2P =−6+5P ⇔−2P−5P =−6−30 ⇔−7P =−36 ⇔ P = −36−7 = 36 7 . LogoP∗ = 367 e Q ∗ = 30−2P∗ = 30−2(367 ) = 1387 . 5 2. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda aos applets Calculadora de gráficos de funções de uma variável. Calculadora de soluções de equações. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra aos applets apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 3−P2 Qs =−4+6P i. Represente o modelo graficamente. Solução: −2 −1 1 2 −20 −10 10 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 3−P2 =−4+6P ⇔−P2−6P+3+4= 0 ⇔ P2+6P−7= 0 ⇔ P = −6± √ 62−4(1)(−7) 2(1) ⇔ P =−7 ou P = 1. LogoP∗ = 1 eQ∗ = 3− (P∗)2 = 3− (1)2 = 2. (b) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 8−P2 Qs =−2+P2 6 i. Represente o modelo graficamente. Solução: −3 −2 −1 1 2 3 −5 5 10 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 8−P2 =−2+P2 ⇔−P2−P2+8+2= 0 ⇔ 2P2−10= 0 ⇔ P2 = 5 ⇔ P =− √ 5 ou P = √ 5. LogoP∗ = √ 5 eQ∗ = 8− (P∗)2 = 8− ( √ 5)2 = 8−5= 3. (c) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 25−5P Qs =−9+6P2 i. Represente o modelo graficamente. 7 Solução: −1 1 2 3 4 5 6 −50 50 100 150 200 250 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 25−5P =−9+6P2 ⇔−6P2−5P+25+9= 0 ⇔ 6P2+5P−34= 0 ⇔ P = −5± √ 52−4(6)(−34) 2(6) ⇔ P =−17 6 ou P = 2. LogoP∗ = 2 eQ∗ = 25−5(P∗) = 25−5(2) = 25−10= 15. (d) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 2P2−P3 Qs =−2+3P i. Represente o modelo graficamente. 8 Solução: −0.5 0.5 1 1.5 2 −5 −2.5 2.5 5 P Q Qd Qs ii. Calcule os valores de equilibrioP∗ e Q∗. Solução: Por substituição temos: Qd = Qs ⇔ 2P2−P3 =−2+3P ⇔−P3+2P2−3P+2= 0 ⇔ P = 1 ou outras duas raı́zes complexas (pelo gráfico). LogoP∗ = 1 eQ∗ = 2(P∗)2− (P∗)3 = 2(1)2− (1)3 = 2−1= 1. 9 3. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora de soluções de equações. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o modelo de mercado Qs1 = Qd1 Qd1 = 18−3P1+P2 Qs1 =−2+4P1 Qs2 = Qd2 Qd2 = 12+P1−2P2 Qs2 =−2+3P2 Calcule os valores de equilibrioP∗1 ,P ∗ 2 e Q ∗ 1,Q ∗ 2. Solução: Por substituição temos: { 18−3P1+P2 =−2+4P1 12+P1−2P2 =−2+3P2 ⇔ { −3P1−4P1+P2 =−2−18 P1−2P2−3P2 =−2−12 ⇔ { −7P1+P2 =−20 P1−5P2 =−14 ⇔ { −7P1+P2 =−20 P1 = 5P2−14 ⇔ { −7(5P2−14)+P2 =−20 P1 = 5P2−14 ⇔ { −35P2+P2 =−20−98 P1 = 5P2−14 ⇔ { −34P2 =−118 P1 = 5P2−14 ⇔ { P2 = −118−34 = 118 34 = 59 17 P1 = 5(5917)−14= 5717 LogoP∗1 = 57 17,P ∗ 2 = 59 17 e Q ∗ 1 =−2+4(P∗1) = 19417 ,Q∗2 =−2+3(P∗2) = 14317 . 10 (b) Considere o modelo de mercado Qs1 = Qd1 Qd1 = 24−2P1+3P2 Qs1 =−3+6P1 Qs2 = Qd2 Qd2 = 18+P1−P2 Qs2 =−4+3P2 Calcule os valores de equilibrioP∗1 ,P ∗ 2 e Q ∗ 1,Q ∗ 2. Solução: Por substituição temos: { 24−2P1+3P2 =−3+6P1 18+P1−P2 =−4+3P2 ⇔ { −2P1−6P1+3P2 =−3−24 P1−P2−3P2 =−4−18 ⇔ { −8P1+3P2 =−27 P1−4P2 =−22 ⇔ { −8P1+3P2 =−27 P1 = 4P2−22 ⇔ { −8(4P2−22)+3P2 =−27 P1 = 4P2−22 ⇔ { −32P2+3P2 =−27−176 P1 = 4P2−22 ⇔ { −29P2 =−203 P1 = 4P2−22 ⇔ { P2 = −203 −29 = 203 29 = 7 P1 = 4(7)−22= 6 LogoP∗1 = 6,P ∗ 2 = 7 eQ ∗ 1 =−3+6(P∗1) =−3+6(6) = 33,Q∗2 =−4+3(P∗2) =−4+3(7) = 17. 11 4. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora de soluções de equações. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G0 C = 5+ 23Y I0 = 6 G0 = 4 Calcule os valores de equilibrioY ∗ eC∗ da renda nacional e despesas de consumo. Solução: Por substituição temos: { Y =C+6+4 C = 5+ 23Y ⇔ { Y = (5+ 23Y )+10 C = 5+ 23Y ⇔ { Y − 23Y = 15 C = 5+ 23Y ⇔ { 1 3Y = 15 C = 5+ 23Y ⇔ { Y = 45 C = 5+ 23(45) = 5+30= 35. LogoY ∗ = 45 eC∗ = 35. (b) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G0 C = 25+6 √ Y I0 = 16 G0 = 14 Calcule os valores de equilibrioY ∗ eC∗ da renda nacional e despesas de consumo. 12 Solução: Por substituição temos: { Y =C+16+14 C = 25+6 √ Y ⇔ { Y = (25+6 √ Y )+30 C = 25+6 √ Y ⇔ { Y −6 √ Y −55= 0 C = 25+6 √ Y ⇔ Z := √ Y Z2−6Z−55= 0 C = 25+6Z ⇔ Z := √ Y Z = 6± √ (−6)2−4(1)(−55) 2(1) C = 25+6Z ⇔ Z := √ Y Z = 6± √ 256 2 C = 25+6Z ⇔ Z := √ Y Z = 6±162 C = 25+6Z ⇔ Z := √ Y Z =−5 ou Z = 11 C = 25+6Z ⇔ { Y = Z2 = 25 ouY = Z2 = 121 C = 25+6(−5) =−5 ouC = 25+6(11) = 91 LogoY ∗ = 121 eC∗ = 91. 13 (c) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G0 C = 4+ 16(Y −T ) T = 6+ 14Y I0 = 4 G0 = 2 Calcule os valores de equilibrioY ∗,T ∗ eC∗ da renda nacional, imposto e despesas de consumo. Solução: Por substituição temos: Y =C+6 C = 4+ 16(Y −T ) = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ Y = (4+ 16Y − 16T )+6 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ Y = 16Y − 16T +10 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ Y = 16Y − 16(6+ 14Y )+10 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ Y = 16Y − (1+ 124Y)+10 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ 14 ⇔ Y = 16Y − 124Y +9 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ 7 8Y = 9 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14Y ⇔ Y = 9(87) = 72 7 C = 4+ 16Y − 16T T = 6+ 14( 72 7 ) = 60 7 ⇔ Y = 727 C = 4+ 16( 72 7 )− 16(607 ) = 307 T = 607 LogoY ∗ = 727 ,C ∗ = 307 e T ∗ = 607 . 15 (d) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G C = 3+ 15(Y −T0) G = 14Y I0 = 3 T0 = 3 Calcule os valores de equilibrioY ∗,G∗ e C∗ da renda nacional, despesas governamentais e despesas de consumo. Solução: Por substituição temos: Y =C+3+G C = 3+ 15(Y −3) = 125 + 15Y G = 14Y ⇔ Y = (125 + 1 5Y )+3+ 1 4Y C = 125 + 1 5Y G = 14Y ⇔ Y = 920Y + 27 5 C = 125 + 1 5Y G = 14Y ⇔ 11 20Y = 27 5 C = 125 + 1 5Y G = 14Y ⇔ Y = 10811 C = 125 + 1 5Y = 12 5 + 1 5( 108 11 ) = 48 11 G = 14( 108 11 ) = 27 11 LogoY ∗ = 10811 ,C ∗ = 4811 e G ∗ = 2711. 16 Proposta de trabalho (AF2.2) 5. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora para a álgebra matricial. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere as matrizes A = [ 7 −1 6 9 ] , B = [ 0 4 3 −2 ] , C = [ 8 3 6 1 ] Calcule i. 4B+2C Solução: 4B+2C = 4 [ 0 4 3 −2 ] +2 [ 8 3 6 1 ] = [ 0 16 12 −8 ] + [ 16 6 12 2 ] = [ 16 22 24 −6 ] ii. CA Solução: CA = [ 8 3 6 1 ][ 7 −1 6 9 ] = [ 74 19 48 3 ] iii. 3A−5C Solução: 3A−5C = 3 [ 7 −1 6 9 ] −5 [ 8 3 6 1 ] = [ 21 −3 18 27 ] + [ −40 −15 −30 −5 ] = [ −19 −18 −12 22 ] (b) Considere as matrizes A = 2 8 3 0 5 1 , B = [ 2 0 3 8 ] , C = [ 7 2 6 3 ] Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou n˜ao definidas e no caso afirmativo calcule o resultado 17 i. 14A+ 1 2C Solução: A matriz 14A (resp. 1 2C) é uma matriz 3×2 (resp. 2×2). A adição de uma matriz 3×2 com uma matriz 2×2 não está definida. ii. AB Solução: AB = 2 8 3 0 5 1 [ 2 0 3 8 ] = 28 64 6 0 13 8 iii. BA Solução: A multiplicação de uma matriz 2×2 com uma matriz 3×2 não está definida. (c) Considere as matrizes A = 5 1 3 , B = [ 3 1 −1 ] , C = [ 7 5 8 ] Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou n˜ao definidas e no caso afirmativo calcule o resultado i. 13B−A Solução: A matriz 13B é uma matriz 1×3. A adição de uma matriz 1×3 com uma matriz 3×1 não está definida. ii. AC Solução: AC = 5 1 3 [ 7 5 8 ] = 35 25 40 7 5 8 21 15 24 iii. CA Solução: CA = [ 7 5 8 ] 5 1 3 = [ 64 ] 18 (d) Considere as matrizes A = 5 0 4 1 −1 3 0 3 1 , B = [ 3 1 −1 ] , C = [ 7 5 8 ] Diga, justificando, se as seguintes operações estão ou n˜ao definidas e no caso afirmativo calcule o resultado i. 13AC ′ Solução: 1 3 AC′ = 5 0 4 1 −1 3 0 3 1 7 5 8 = 1 3 67 26 23 ii. A′B Solução: A transpostaA′ de A é uma matriz 3×3. A multiplicação de uma matriz 3×3 com uma matriz 1×3 não está definida. iii. CA′ Solução: CA′ = [ 7 5 8 ] 5 1 0 0 −1 3 4 3 1 = [ 67 26 23 ] 19 6. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora para a álgebra matricial. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere a matriz A = 4 −2 1 7 3 0 2 0 1 Calcule i. |A| Solução: |A|= 4 ∣ ∣ ∣ ∣ 3 0 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ − (−2) ∣ ∣ ∣ ∣ 7 0 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ +1 ∣ ∣ ∣ ∣ 7 3 2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 20 ii. adjA Solução: adjA = 3 −7 −6 2 2 −4 −3 7 26 ′ = 3 2 −3 −7 2 7 −6 −4 26 iii. A−1 (se existir). Solução: A−1 = 3 20 1 10 −3 20−7 20 1 10 7 20−3 10 −1 5 13 10 (b) Considere a matriz B = [ 2 0 3 8 ] Calcule i. |B| Solução: |B|= 2(8)−0(3) = 16 20 ii. adjB Solução: adjB = [ 8 −3 0 2 ]′ = [ 8 0 −3 2 ] iii. B−1 (se existir). Solução: B−1 = [ 1 2 0−3 16 1 8 ] (c) Considere a matriz C = [ 7 ] Calcule i. |C| Solução: |C|= 7. ii. adjC Solução: adjC = [ 1 ] iii. C−1 (se existir). Solução: C−1 = [ 1 7 ] (d) Considere a matriz D = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 Calcule 21 i. |D| Solução: |D|= 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ +0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =−1 ii. adjD Solução: adjD = −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 ′ = −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 iii. D−1 (se existir). Solução: D−1 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 22 7. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora para a álgebra matricial. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o sistema { −x+3y =−3 4x− y = 12 Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes. Solução: A matriz de coeficientes do sistema é: A = [ −1 3 4 −1 ] Temos |A|= ∣ ∣ ∣ ∣ −1 3 4 −1 ∣ ∣ ∣ ∣ =−11 adjA = [ −1 −4 −3 −1 ]′ = [ −1 −3 −4 −1 ] A−1 = [ 1 11 3 11 4 11 1 11 ] Logo, [ x y ] = [ 1 11 3 11 4 11 1 11 ][ −3 12 ] = [ 3 0 ] (b) Considere o sistema { 8x−7y = 9 x+ y = 3 Resolva o sistema pela regra de Cramer. Solução: A matriz de coeficientes do sistema é: B = [ 8 −7 1 1 ] Temos x = ∣ ∣ ∣ ∣ 9 −7 3 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 8 −7 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 23 y = ∣ ∣ ∣ ∣ 8 9 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 8 −7 1 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 (c) Considere o sistema −x+3y+2z = 24 x+ z = 6 5y− z = 8 Resolva o sistema por inversão da matriz de coeficientes. Solução: A matriz de coeficientes do sistema é: C = −1 3 2 1 0 1 0 5 −1 Temos |C|=−1 ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 5 −1 ∣ ∣ ∣ ∣ −3 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 0 −1 ∣ ∣ ∣ ∣ +2 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 0 5 ∣ ∣ ∣ ∣ = 18 adjC = −5 1 5 13 1 5 3 5 −3 ′ = −5 13 3 1 1 5 5 5 −3 C−1 = −5 18 13 18 1 6 1 18 1 18 1 6 5 18 5 18 −1 6 Logo, x y z = −5 18 13 18 1 6 1 18 1 18 1 6 5 18 5 18 −1 6 24 6 8 = −1 3 7 (d) Considere o sistema 4x+3y−2z = 1 x+2y = 6 3x+ z = 4 Resolva o sistema pela regra de Cramer. Solução: A matriz de coeficientes do sistema é: 24 D = 4 3 −2 1 2 0 3 0 1 Temos x = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 −2 6 2 0 4 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 −2 1 2 0 3 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 17 = 0 y = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 1 −2 1 6 0 3 4 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 −2 1 2 0 3 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 51 17 = 3 z = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 1 1 2 6 3 0 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 3 −2 1 2 0 3 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 68 17 = 4 25 Proposta de trabalho (AF2.3) 8. Na sala de aulas virtual, em Materiais de Apoio, Applets online, aceda ao applet Calculadora para a álgebra matricial. Resolva manualmente os seguintes problemas e recorra ao applet apenas se necessário e só para confirmar os resultados obtidos. (a) Considere o modelo de mercado Qs = Qd Qd = 51−3P Qs =−10+6P Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes. Solução: O modelo é dado pelo sistema equivalente: Qs −Qd = 0 Qd +3P = 51 Qs −6P =−10 cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordemQs,Qd,P): A = 1 −1 0 0 1 3 1 0 −6 Temos |A|= 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 0 −6 ∣ ∣ ∣ ∣+1 ∣ ∣ ∣ ∣ 0 3 1 −6 ∣ ∣ ∣ ∣ +0 ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ =−9 adjA = −6 3 −1 −6 −6 −1 −3 −3 1 ′ = −6 −6 −3 3 −6 −3 −1 −1 1 A−1 = 2 3 2 3 1 3−1 3 2 3 1 3 1 9 1 9 −1 9 Logo, Qs Qd P = 2 3 2 3 1 3−1 3 2 3 1 3 1 9 1 9 −1 9 0 51 −10 = 92 3 92 3 61 9 26 (b) Considere o modelo de mercado Qs1 = Qd1 Qd1 = 24−2P1+3P2 Qs1 =−3+6P1 Qs2 = Qd2 Qd2 = 18+P1−P2 Qs2 =−4+3P2 Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente. Solução: O modelo é dado pelo sistema equivalente: Qs1−Qd1 = 0 Qd1+2P1−3P2 = 24 Qs1−6P1 =−3 Qs2−Qd2 = 0 Qd2−P1+P2 = 18 Qs2−3P2 =−4 cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordemQs1,Qd1,Qs2,Qd2,P1,P2): B = 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 −3 1 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 −3 Temos Qs1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 −1 0 0 0 0 24 1 0 0 2 −3 −3 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 18 0 0 1 −1 1 −4 0 1 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 −3 1 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 957 29 = 33 27 Qs2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 24 0 2 −3 1 0 −3 0 −6 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 18 1 −1 1 0 0 −4 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 −3 1 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 493 29 = 17 P1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 24 −3 1 0 0 0 −3 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 1 0 −4 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 −3 1 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 174 29 = 6 P2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 24 1 0 0 0 −6 −3 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 18 0 0 1 0 0 −4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 −3 1 0 0 0 −6 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 0 0 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 203 29 = 7 28 (c) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G0 C = 4+ 16(Y −T ) T = 6+ 14Y I0 = 4 G0 = 2 Resolva o modelo por inversão da respectiva matriz de coeficientes. Solução: O modelo é dado pelo sistema equivalente: Y −C = 6 −16Y +C+ 16T = 4 −14Y +T = 6 cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordemY,C,T ): H = 1 −1 0 −16 1 16 −14 0 1 Temos |H|= 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 16 0 1 ∣ ∣ ∣ ∣ +1 ∣ ∣ ∣ ∣ −16 16 −14 1 ∣ ∣ ∣ ∣ +0 ∣ ∣ ∣ ∣ −16 1 −14 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 21 24 = 7 8 adjA = 1 18 2 8 1 1 28−1 6 −1 6 5 6 ′ = 1 1 −16 1 8 1 −1 6 2 8 2 8 5 6 H−1 = 8 7 8 7 −4 21 1 7 8 7 −4 21 2 7 2 7 20 21 Logo, Y C T = 8 7 8 7 −4 21 1 7 8 7 −4 21 2 7 2 7 20 21 6 4 6 = 72 7 30 7 60 7 (d) Considere o modelo económico Y =C+ I0+G0 C = 5+ 23Y I0 = 6 G0 = 4 29 Resolva o sistema aplicando a regra de Cramer à matriz de coeficientes correspondente. Solução: O modelo é dado pelo sistema equivalente: { Y −C = 10 −23Y +C = 5 cuja matriz de coeficientes é (ordenando as variáveis na ordemY,C): H = [ 1 −1 −23 1 ] Temos Y = ∣ ∣ ∣ ∣ 10 −1 5 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 −23 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 15 1 3 = 45 C = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 10 −23 5 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 −1 −23 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = 35 3 1 3 = 35 30
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