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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS REALENGODEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAENSINO MÉDIO - 3ª SÉRIE- 2019
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Chamamos de ESTATÍSTICA a área da Matemática que se dedica a analisar,apresentar e interpretar dados numéricos.
Terminologia básica
População ou Universo Estatístico - Conjunto de todos os indivíduos queapresentam uma determinada característica que será objeto de estudo.
Amostra - Como nem sempre é possível estudar todos os indivíduos de umaPopulação, precisamos eleger um subconjunto desta para ser estudado. Há muitastécnicas para se escolher uma Amostra que represente bem uma População.
Variável - Característica a ser estudada. Ela pode ser subdividida segundo oesquema abaixo.
Nominais (sem ordenação)Qualitativa (adjetivos) Ordinais (com ordenação)Varável Discretas (Inteiros )Quantitativa (números) Contínuas (medidas)Exemplos:A variável “cor dos olhos” é uma Variável Qualitativa NominalA variável “grau de instrução” é uma Variável Qualitativa OrdinalA variável “número de irmãos” é uma Variável Quantitativa DiscretaA variável “altura” é uma Variável Quantitativa Contínua
Rol - Toda sequência de dados numéricos colocados em ordem não decrescente ounão crescente
Exemplo:
Considere 10 estudantes com idades de 13, 14, 13, 14 ,14, 15, 16, 15, 14 e 15 anos.O rol dessas idades é (13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16) ou (16, 15, 15, 15, 14,14, 14, 14, 13, 13)
Frequência Absoluta (F.A.), Frequência Relativa (F.R.) e Tabela de Frequências
A Frequência Absoluta (F.A.) é a quantidade de repetições de determinadoresultado.No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.A. igual a 4.
A Frequência Absoluta Acumulada (F.A.A.) é a soma da Frequência Absoluta atualcom as anteriores no rol.No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.A.A. igual a 6.
A Frequência Relativa (F.R.) é a razão entre a Frequência Absoluta e o total deobservações.No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.R. igual a 4/10 = 0,4 ou 40%
A Frequência Relativa Acumulada (F.R.A.) é a soma da Frequência Relativa atualcom as anteriores no rol.No exemplo anterior, a idade 14 anos tem F.R.A. igual a 6/10 = 0,6 ou 60%
OBS. As Frequências Acumuladas são importantes para o cálculo da Mediana, comoveremos em breve.
Tabela de Frequências
Idade F.A. F.A.A. F.R. F.R.A.13 2 2 0,2 ou 20% 0,2 ou 20%14 4 6 0,4 ou 40% 0,6 ou 60%15 3 9 0,3 ou 30% 0,9 ou 90%16 1 10 0,1 ou 10% 1 ou 100%Total 10 * 1 ou 100% *
Tabelas de Frequências com Intervalos de Classe
Quando estamos trabalhando com Variáveis Quantitativas Contínuas,normalmente não é possível (ou não é interessante para a compreensão)colocarmos uma linha da tabela para cada valor encontrado na amostra. Porexemplo, imagine que estivéssemos estudando as alturas de todos os alunos doColégio Pedro II. Como as possibilidades são muitas, teríamos uma tabela com umaquantidade enorme de linhas e isso dificultaria muito sua compreensão.Por isso, ao invés de criarmos uma linha para 1,60m, uma linha para 1,61m e assimpor diante, faremos uma única linha para as alturas de 1,60m até 1,69m, uma outralinha para as alturas de 1,70m até 1,79m e assim por diante.Neste caso, há perda de algumas informações. Elas precisarão ser aproximadas.
Exemplo:Considere as notas de 10 alunos numa prova: 4,5, 5,1, 5,6, 6,2, 6,4, 6,5, 6,8, 7,2 , 7,5,8,2
Tabela de Frequências com Intervalos de Classe.
Intervalo deNotas F.A. F.A.A. F.R. F.R.A.4,0 |— 5,0 1 1 10% 10%5,0 |— 6,0 2 3 20% 30%6,0 |— 7,0 4 7 40% 70%7,0 |— 8,0 2 9 20% 90%8,0 |—9,0 1 10 10% 100%Total 10 * 100% *
OBS1.
As classes devem ter, preferencialmente, o mesmo tamanho.
OBS2.
A notação a|— b significa [a,b) (ou [a,b[ ), isto é, que o número a pertence a estaclasse mas o número b não.
OBS3.
Para determinar o número k de classes que serão necessárias para construir atabela, usamos a Fórmula de Sturges.
𝑘 = 1 + 3,3∙𝑙𝑜𝑔(𝑛),
onde n é o número de observações feitas.
Na tabela acima, temos n = 10 observações. Então 𝑘 = 1 + 3,3∙𝑙𝑜𝑔(10) = 1 + 3,3 =
 4,3. Por isso usamos k = 5 classes.
Há várias outras fórmulas para determinar o número de classes. Cada uma delas émais, ou menos adequada à quantidade total de dados com que estamostrabalhando.
Nunca caiu no ENEM, mas é parte do programa
Gráficos Estatísticos
Ao contrário do que se vê em Matemática Pura, na Estatística usamos vários tiposde gráficos. Cada um deles é usado para uma determinada finalidade.
– Gráficos de Linhas
Normalmente usados quando queremos dar destaque aocrescimento/decrescimento de uma determinada variável no tempo.
Exemplo:
A tabela e o gráfico abaixo apresenta a venda de livros em uma livraria no segundosemestre de um determinado ano.
– Gráfico de Colunas (vertical) e Barras (horizontal)
Normalmente usados para representar Variáveis Qualitativas
Exemplo:
A tabela e o gráfico abaixo apresentam o desempenho dos alunos de uma classe emQuímica.
– Gráfico de Setores (ou Pizza)
Normalmente usado para representar uma repartição do todo. Pode vir emporcentagem ou em números absolutos.
Exemplos:
A tabela e os gráficos abaixo apresentam o número de espectadores em três salasde cinema de um Shopping em um determinado sábado.
OBS.
Neste tipo de gráfico o ângulo central de cada setor é proporcional àFrequência Relativa da unidade a que se refere. Por exemplo, a F.R. de A é30%, então o setor do gráfico que corresponderá a A terá ângulo central de30% de 360°, isto é 108°.
Os demais setores serão C, com 50% de 360° (igual a 180°) e B com 20% de360° (igual a 72°)
– Histograma
Normalmente usado para representar Variáveis QuantitativasContínuas que estão divididas em intervalos de classe.
Exemplo:
A tabela e o histograma abaixo representam as alturas (em centímetros) dosalunos de uma determinada turma, agrupados em intervalos de classe.
Histograma com as classes relacionadas às FrequênciasAbsolutas
Histograma com as classes relacionadas às Frequências Relativas
É comum também usarmos o valor médio de cada classe como representante daclasse toda (por exemplo, 165 representa a classe 160|—170). Os segmentos queunem os pontos médios das bases superiores dos retângulos é chamado dePolígono de Frequências. Para formarmos o polígono devemos considerar tambémos pontos médios dos intervalos fictícios, um anterior e um posterior aohistograma.
Medidas de Tendencia Central
São valores que representam, de algum modo, o universo estudado.
As mais importantes são a Média, a Moda e a Mediana.
I . Para Variáveis Discretas
Média (𝒙)
Há diversos tipos de médias, cada uma delas é indicada para uma ocasião.
1 - Média Aritmética
Na maior parte das escolas é usada para calcular a nota final dos alunos
Sejam 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,..., 𝑥𝑛 n valores.
𝑀𝐴 = 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ... + 𝑥𝑛𝑛
Exemplo:
Num grupo de 5 pessoas, as idades são 22, 20, 21, 24 e 20 anos.
A média das idades é
𝑀𝐴 = 𝑥 = 22 + 20 + 21 + 24 + 205 = 21,4 𝑎𝑛𝑜𝑠
2 - Média Aritmética Ponderada
É usada para calcular a nota final dos alunos do Colégio Pedro II, pois os trimestrestêm pesos diferentes.
Sejam 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,..., 𝑥𝑛 n valores e 𝑝1 ,𝑝2 , 𝑝3 ,...,𝑝𝑛 n pesos.
𝑀𝐴 = 𝑥 = 𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2 + ... + 𝑥𝑛𝑝𝑛𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ... + 𝑝𝑛
Exemplo:
No Colégio Pedro II, os pesos dos trimestres são 3, 3 e 4. Um aluno teve notas 7,0 ,5,5 e 8,0 em matemática. Qual sua média final?
𝑥 = 7 × 3 + 5,5 × 3 + 8 × 43 + 3 + 4 = 69,510 = 6,95
3 - Média Geométrica
É útil quando os dados podem ser aproximados por uma P.G.
Sejam 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,..., 𝑥𝑛 n valores positivos
𝑀𝑔 = 𝑛 𝑥1𝑥2𝑥3 ...𝑥𝑛
Exemplo:
A média geométrica dos números 2, 3 e 4 é 𝑀𝑔 = 3 2.3.4 =2,88
4 - Média Harmônica
Usada quando estamos lidando com grandezas inversamente proporcionais
𝑀𝐻 = 𝑛1𝑥1 + 1𝑥2 + ... + 1𝑥𝑛
Exemplo:
Um carro fez a primeira parte de um percurso com velocidade de 60km/h, asegunda parte com velocidade de 70km/h e a terceira com velocidade de 80km/h.Qual foi a velocidade média?
𝑀𝐻 = 3160 + 170 + 180 
= 69,7𝑘𝑚/ℎ
Moda (Mo)
É o valor com maior frequência.
Exemplo:
Num grupo de 5 pessoas, as idades são 22, 20, 21, 24 e 20 anos. A Moda é
Mo = 20anos.
OBS.
Quando uma amostra tiver duas Modas, ela será chamada de Bimodal
Quando uma amostra não tiver Moda, ela será chamada Amodal
Exemplo:
(9; 9; 5; 7; 10; 22; 1; 10) é Bimodal, pois Mo = 9 e Mo = 10
(1; 3; 5; 7; 9) é Amodal
Mediana (Md)
Se a quantidade de termos for ímpar, será o termo central do Rol.
Se a quantidade de termos for par, será a média entre os dois termos centrais doRol.
Exemplos:
(1, 2 , 3 , 4 , 5 ) Md = 3
(1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6) Md = (3+4)/2 = 3,5
Exemplo:
A tabela abaixo representa o número de irmãos de cada aluno de uma classe
Número de Irmãos F.A. F.A.A0 8 81 12 202 15 353 5 40total 40 *
𝑀𝐴 = 0 × 8 + 1 × 12 + 2 × 15 + 3 × 540 = 1,43 𝑖𝑟𝑚ã𝑜𝑠
Mo = 2 irmãos (maior frequência = 15)
Como há 40 observações, a mediana será a média aritmética do 20𝑜 e 21𝑜 termos.
O 20𝑜 termo é o último da segunda classe, isto é, 1 irmão
O 21𝑜 termo é o primeiro da terceira classe, isto é, 2 irmãos
Md = (1 + 2)/2 = 1,5 irmãos
II . Para Variáveis Contínuas
Para calcular a Média, a Moda e a Mediana de dados agrupados em intervalos declasse, vamos precisar do Valor Médio (V.M.) de cada classe. Vamos supor que V.M.representa toda a sua classe.
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta os pesos de 20 pessoas
Peso (kg) F.A. F.A.A V.M.40|—44 1 1 4244|—48 3 4 4648|—52 7 11 5052|—56 6 17 5456|—60 3 20 58Total 20 * *
𝑀𝐴 = 42 × 1 + 46 × 3 + 50 × 7 + 54 × 6 + 58 × 320 = 51,4 𝑘𝑔
A Classe Modal é a classe que tem maior frequência. Neste caso, é a classe 48|—52,cujo valor médio é V.M. = 50 kg. Portanto, a Moda será Mo = 50kg.
O cálculo da Mediana requer um pouco mais de atenção. Primeiramente, vamosprecisar construir um Histograma para estes dados.
Agora vamos calcular a área total do Histograma. Como a base de cada retângulomede 4 unidades, então
A = 4x1+4x3+4x7+4x6+4x3 = 80 unidades de área.
A mediana será a reta vertical que divide o Histograma em áreas iguais, cada umadelas medindo 40 unidades de área (80/2)
Como os três primeiros retângulos juntos têm área igual a 44 unidades de área,esta reta ficará em algum lugar dentro do terceiro retângulo.
Seja x a distância do inícios da terceira classe até o pé da reta mediana, como4 + 12 = 16, o retângulo de base x e altura 7 deve ter área igual a 24 (pois 16+24= 40). Então 7x = 24, isto é x = 3,43.
Portanto a Mediana será Md = 48 + 3,43 = 51,43kg.
Poderíamos também ter usado o ponto médio do intervalo 48|—52. Neste casoestaríamos calculando a Mediana Bruta. Ela seria Md = 50kg
OBS.
Até hoje no ENEM nunca caiu Mediana Bruta.