lista3_ calculo

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Cálculo I
3a¯ Lista de Exerćıcios
1. Use o teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação
x5 − x3 + 3x− 5 = 0 no intervalo (1, 2).
2. Seja f(x) = x5 + x+ 1. Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma ráız no intervalo [−1, 0].
3. Mostre que a equação x3 − 4x+ 2 = 0 admite três ráızes distintas.
4. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo, pelo cálculo direto do limite da razão incre-
mental lim
h→0
f(x+ h) − f(x)
h
.
(a) f(x) = 3x− 8 (b) f(x) = 4x2 − 3x (c) f(x) = cos x
5. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 4x− 3x2 em x = 2.
6. Calcule a derivada usando as regras de derivação.
(a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 4x
(b) f(x) =
5
x3
(c) f(x) = 3ex +
4
3
√
x
(d) f(x) = (3x2 + 5x)ex
(e) f(x) = x cos x+ 2tg x
(f) f(x) = 2ex(1+ ln x)
(g) f(x) =
ex
x2
(h) f(x) =
x2 + 1
x3 − 1
(i) f(x) =
x2ex
x2 + ex
(j) f(x) =
x+ 1
x ln x
(k) f(x) =
sen x
1+ cos x
(l) f(x) =
xsen x
1+ x
7. Demonstre que
(a)
d
dx
(cossec x) = −cossec x cotg x
(b)
d
dx
(sec x) = sec x tg x
(c)
d
dx
(cotg x) = −cossec2 x
8. Considere
f(x) =
{
x+ 2 se x < 1
2 se x ≥ 1
(a) f é cont́ınua em 1?
(b) f é derivável em 1? Caso sim, determine f ′(1).
9. Considere
f(x) =
{
−x− 1 se x ≤ 1
x2 − 3 se x > 1
(a) f é cont́ınua em 1?
1
(b) f é derivável em 1? Caso sim, determine f ′(1).
10. Determine as equações das retas tangente e normal à curva y = 2xex em x = 0
11. Calcule a derivada.
(a) y = (1− x2)10
(b) y = (sen x+ cos x)3
(c) y = e
√
x
(d) y = cos(ex)
(e) y =
√
5x+ 1
(f) y = (2x− 3)4(x2 + x+ 1)5
(g) y = 3
√
(x+ 1)2(2x2 − 1)3
(h) y = e−xsen x
(i) y = e2x cos(3x)
(j) y =
√
x
x+1
(k) y =
(
x3−1
x3+1
)8
(l) y = tg(ex) + etg x
(m) y = x2 ln(3x+ 5)
(n) y = x3tg(4x)
(o) y = (sen (3x) + cos (2x))4
(p) y = e−x sec(x2)
(q) y = sen(tg(2x))
(r) y = tg(sec(cos x))
(s) y = e
−x cos x
x2+x
(t) y = e
2x
sen(3x)
(u) y = xe
2x
ln(1+3x)
12. Suponha que f
′
(3) = −1, g
′
(2) = 5, g(2) = 3 e y = f(g(x)). Qual o valor de y
′
quando x = 2?
13. Sabendo que g(2) = 3 e g
′
(2) = −2, encontre f
′
(2) em que f(x) = (5x2 − 3x+ 4) · g(x).
14. Sabendo que g(2) = 2 e g
′
(2) = 4, encontre f
′
(2) em que f(x) =
3x3 − 4x2
g(x)
.
15. Determine f
′
, f
′′
e f
′′′
.
(a) f(x) =
1
x
(b) f(x) = x|x|
(c) f(x) =
{
x2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1
16. Encontre dy/dx por derivação ı́mplicita.
(a) x2 − 4xy+ y2 = 4
(b) x4 + x2y2 − y3 = 5
(c) x
2
x+y
= y2 + 1
(d) x2y2 + xseny = 4
(e) (3xy+ 7)2 = 6y
(f) e2x = sen(x+ 3y)
17. Seja y = f(x) definida dada implicitamente pela equação y3 + x2y = 130. Determine as equações
das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (1,5).
18. Encontre a derivada da função. Simplique quando posśıvel.
(a) y = arcsen(3x)
(b) y = arcsen(ex)
(c) y = xarctg x
(d) y = arc cos(1− x2)
(e) y = arctg
√
x
(f) y = sen(3x)
arctg(4x)
19. Calcule f
′
(x).
(a) f(x) = 2x (b) f(x) = πx (c) f(x) = log3 x (d) f(x) = (x
2+1)cos x
2
20. Utilize a derivação logaŕıtmica para determinar a derivada de y.
(a) y =
√
x(x+ 1)
2
(b) y =
√
x
x+ 1
(c) y =
1
x(x+ 1)(x+ 2)
(d) y =
√
(x+ 1)10
(2x+ 1)5
(e) y =
√
x(x+ 1)(x− 2)
(x2 + 1)(2x+ 3)
(f) y = (x2 + 1)cos x
(g) y = xx
x
21. Suponha que y =
√
2x+ 1, onde x e y são funções de t.
(a) Se dx/dt = 3, encontre dy/dt quando x = 4.
(b) Se dy/dt = 5, encontre dx/dt quando x = 12.
22. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. A que taxa a área do
quadrado está aumentando quando a área do quadrado for de 16 cm2?
23. Se o raio de um ćırculo cresce a uma taxa de 30 cm/s, a que taxa cresce a área em relação ao
tempo?
24. O raio de uma bola esférica está crescendo a uma taxa de 2cm/min. A que taxa a área da
superf́ıcie da bola está crescendo quando o raio for de 8cm?
25. Uma viga com 30m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo está se deslocando
para baixo a um velocidade de 0, 5m/s. Qual será a taxa de variação ângulo agudo formado pela
viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18m do chão?
26. Se dois resistores com resistências R1 e R2 estão conectados em paralelo, então a resistência total
R, medida em ohms (Ω) é dada por:
1
R
=
1
R1
+
1
R2
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas 0, 3Ω/s e 0, 2Ω/s, respectivamente, quão rápido está variando
R quando R1 = 80Ω e R2 = 100Ω?
27. Encontre a linearização L(x) da função em a
(a) f(x) = x3−x2+3, a = −2 (b) f(x) =
√
x, a = 4
28. Encontre a aproximação linear da função f(x) =
√
1− x em a = 0 e use-a para aproximar os
números
√
0, 9 e
√
0, 99.
29. Cada função f(x) varia quando x varia de a para a+ dx. Considere Determine
I. a variação ∆f = f(a+ dx) − f(a).
II. o valor da estimativa df = f
′
(a)dx.
III. o erro de aproximação |∆f− df|.
(a) f(x) = x2 − 4x, a = 3, dx = 0, 5
(b) f(x) =
√
x− 2, a = 3, dx = 0, 8
3