turmadefevereiro-matemática1-Matrizes Definição, matriz genérica, matriz transposta-09-09-2021-

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Matemática 
 
Matrizes: Definição, matriz genérica, matriz transposta 
Objetivo 
Conhecer o conceito de matrizes, saber determinar a ordem de uma matriz e identificar a posição de seus 
elementos, saber determinar uma matriz a partir de uma lei de formação e determinar a transposta de uma 
matriz, bem como saber identificar matrizes especiais. 
 
Se liga 
Para esta aula, não há pré-requisitos! 
 
Curiosidade 
O nome matriz foi dado por James Joseph Sylvester em 1850, visto que ela representa um local onde algo se 
gera ou se cria. A partir dela, podemos armazenar informações numéricas, gerar sistemas de determinantes, 
além de realizar operações e transformações. 
Teoria 
 
Matrizes 
A matemática dispõe de um ramo da álgebra que considera números reais organizados na forma de tabela, 
ou seja, em linhas e colunas. A estrutura matemática estudada nesse ramo é chamada de matriz. Uma matriz 
organiza os números em linhas e colunas atendendo às seguintes condições. 
 
● A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto greco-romano. 
● As linhas e as colunas determinam as dimensões da matriz. Se expressarmos o número de linhas por 𝑚 
e o número de colunas por 𝑛, sua dimensão será dada por 𝑚 × 𝑛. 
● Os números reais que ocupam as linhas e colunas são chamados de elementos da matriz. Cada elemento 
está posicionado em uma linha 𝑖 e uma coluna 𝑗, sendo representado pela forma 𝑎𝑖𝑗. 
● Os elementos da matriz ficam dispostos entre dois parênteses, ( ), ou entre dois colchetes, [ ]. 
● A forma genérica de escrita de uma matriz é dada por: 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exemplo: Seja a matriz 𝐴 = [
1 2 3
4 5 6
]. Ela possui duas linhas e três colunas, sendo da forma 2 × 3. 
 
Observe que o elemento 5 está na segunda linha e segunda coluna, assim, ele é representado por 𝑎22. Já o 
elemento 3 está na primeira linha e terceira coluna, sendo representado por 𝑎13. 
É importante representar uma matriz de uma forma genérica, ou seja, representando seus elementos por suas 
posições ocupadas. Veja a representação de uma matriz genérica de dimensão 3 × 4: 
𝐴 = [
𝑎11
𝑎21
𝑎31
 
𝑎12
𝑎22
𝑎32
 
𝑎13
𝑎23
𝑎33
 
𝑎14
𝑎24
𝑎34
]
3×4
 
 
Em alguns exercícios, precisaremos construir a matriz. Observe o exemplo abaixo: 
 
Exemplo: Encontre os elementos da matriz dada por 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 . 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] = [
2(1) + 1 2(1) + 2 2(1) + 3
2(2) + 1 2(2) + 2 2(2) + 3
2(3) + 1 2(3) + 2 2(3) + 3
] = [
3 4 5
5 6 7
7 8 9
] 
 
Tipos de matrizes 
• Matriz quadrada: o número de linhas é igual ao de colunas. Essas matrizes possuem uma diagonal 
principal e uma diagonal secundária. 
Exemplo: 𝐴 = [
2 −1 3
1 6 0
2 7 0
] 
 
 diagonal secundária diagonal principal 
 
• Matriz retangular: uma matriz é retangular se o número de linhas é diferente do número de colunas. 
Exemplo: 𝐵 = [
−1 2 3
4 0,5 6
]
2×3
 
 
• Matriz diagonal: matriz em que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos. 
Exemplo: 𝐶 = [
−2 0 0
0 1 0
0 0 9
]
3×3
 “Matriz quadrada de ordem 3 ou matriz 3 × 3.” 
 
• Matriz identidade: é uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são unitários e os 
demais são nulos. Ela geralmente é representada por 𝐼. 
Exemplo: 𝐼2 = [
1 0
0 1
] 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
• Matriz triangular: ou todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. 
Exemplo: 𝐷 = [
2 −1 0
0 5 5
0 0 8
] 
 
• Matriz nula: todos seus elementos são iguais a 0. 
Exemplo: 𝐸 = [
0 0 0 0
0 0 0 0
] “Matriz nula de ordem 2 × 4 ou 02×4”. 
 
• Matriz linha: apresenta uma única linha. 
Exemplo: 𝐹 = [3 4 
1
2
 0 − 1 − 1] 
 
• Matriz coluna: apresenta uma única coluna. 
Exemplo: 𝐺 = [
2
7
] 
 
• Matriz transposta: seja a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛. Chamamos de matriz transposta de 𝐴 a matriz denotada 
por 𝐴𝑡 , tal que 𝐴𝑡 = (𝑎′𝑖𝑗)𝑛×𝑚. Observe as matrizes a seguir: 
Exemplo: 𝐴 = [
1 2 3
4 5 6
] e 𝐴𝑡 = [
1 4
2 5
3 6
] 
 
De acordo com essas matrizes podemos dizer que, enquanto 𝐴 tem dimensão 2 × 3, 𝐴𝑡 tem dimensão 3 × 2. 
Na prática, trocamos as colunas pelas linhas e as linhas pelas colunas. 
 
Observação: Se uma matriz é idêntica a sua transposta, ela é dita simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios de Fixação 
 
1. Determine a matriz transposta da matriz 𝐴 = [
1
2
 5 − 1 0
3 − 7 5 8 
]. 
 
 
2. Escreva a matriz 𝑀 em que: 
𝑀 = [𝑎𝑖𝑗]2×3 e 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 2𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
𝑖2 + 𝑗2, 𝑠𝑒𝑖 ≥ 𝑗
 
 
 
3. Os amigos: 1 = Adriana; 2 = Breno e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. A matriz 𝑀 mostra 
cada elemento aij representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro. 
Quem mais telefonou? 
𝑀 = [
0 13 10
18 0 6
9 12 0
] 
 
 
4. Os elementos 𝑎𝑖𝑗 da matriz 𝑉 abaixo são tais que 𝑖 indica a quantidade de peças vendidas pelos 
vendedores Ana (1) e Bernardo (2) ao longo dos três turnos de funcionamento da loja, indicados por 𝑗, 
que são: manhã (1), tarde (2) e noite (3) ao longo do mês de dezembro. 
𝑉 = [
64 126 78
45 133 67
] 
 
O gerente da loja propôs que o funcionário que conseguisse vender mais peças naquele mês ganharia 
um bônus no seu salário. Quem ganhou a bonificação? 
 
 
5. Antônio, Bernardo e Cláudia saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi 
dividida: 
𝑆 = [
4 1 4
0 2 0
3 1 5
] , 𝐷 = [
5 5 3
0 3 0
2 1 3
] 
 
A matriz 𝑆 refere-se às despesas de sábado e 𝐷 às de domingo. Cada elemento 𝑎𝑖𝑗 nos dá o número de 
chopes que 𝑖 pagou para 𝑗, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudia o número 3 (𝑎𝑖𝑗 
representa o elemento da linha 𝑖, coluna 𝑗 de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes 
que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudia (primeira linha da matriz 𝑆). 
Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Exercícios de Vestibular 
 
 
1. Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de 
múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz. 
[
 
 
 
 
3
3
2
3
0
 
2
2
2
2
2
 
0
4
2
4
0
 
1
1
3
1
4
 
2
2
2
0
4]
 
 
 
 
 
 
Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas 
pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto as colunas de 1 a 5 indicam 
os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados. 
O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na: 
a) segunda-feira. 
b) terça-feira. 
c) quarta-feira. 
d) quinta-feira. 
e) sexta-feira. 
 
 
2. Num jogo, foram sorteados 6 números para compor uma matriz 𝑀 = (𝑚𝑖𝑗) de ordem 2 × 3. Após o 
sorteio observou se que esses números obedeceram à regra 𝑚𝑖𝑗 = 4𝑖 − 𝑗. Assim, a matriz 𝑀 é igual a: 
a) [
1 2 3
5 6 7
] 
b) [
1 2 3
4 5 6
] 
c) [
3 2 1
7 6 5
] 
d) [
3 2 7
6 11 10
] 
e) [
3 77 2
6 1 5
] 
 
 
3. Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à última 
linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a 
a) 12. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 20. 
e) 23. 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
4. A matriz 𝑀 = [𝑎𝑖𝑗]2×2 tem lei de formação 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗² . Nessas condições, o produto dos elementos da 
diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é: 
a) – 9 
b) – 10 
c) – 3 
d) – 2 
e) – 0 
 
 
 
5. A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é uma transação financeira de valores entre diferentes 
bancos.Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos 
(1, 2, 3, 4 𝑒 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe esses valores em uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] , em que 1 ≤
𝑖 ≤ 5 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 5, e o elemento 𝑎𝑖𝑗 corresponde ao total proveniente das operações feitas via TED, em 
milhão de real, transferidos do banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 , 
uma vez que TED é uma transferência entre bancos distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise: 
𝐴 =
[
 
 
 
 
0
0
1
0
3
 
2
0
2
2
0
 
0
2
0
2
1
 
2
1
1
0
1
 
2
0
1
0
0]
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior quantia via TED é o banco 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
6. Observe a matriz 𝐴, quadrada e de ordem três. 
𝐴 = (
0,3 0,47 0,6
0,47 0,6 𝑥
0,6 𝑥 0,77
) 
 
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (𝑖 + 𝑗). O valor de 𝑥 é 
igual a: 
a) 0,50 
b) 0,70 
c) 0,77 
d) 0,87 
e) 0,93 
 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
7. Se a matriz 
[
1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3𝑦 − 𝑧 + 2
4 5 −5
𝑦 − 2𝑧 + 3 𝑧 0
] 
 
É simétrica, o valor de 𝑥 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 6 
d) 3 
e) – 5 
 
 
8. (ESPM) A distribuição dos 𝑛 moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz 
[
4 𝑥 5
1 3 𝑦
6 𝑦 𝑥 + 1
] onde cada elemento 𝐴𝑖𝑗 representa a quantidade de moradores do apartamento 𝑗 do 
andar 𝑖. Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 
3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de 𝑛 é: 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
 
 
 
9. (UESC) O fluxo de veículos que circulam pelas ruas de mão dupla 1, 2 e 3 é controlado por um semáforo, 
de tal modo que, cada vez que sinaliza a passagem de veículos, é possível que passem até 12 carros, 
por minuto, de uma rua para outra. Na matriz 𝑆 = [
0 90 36
90 0 75
36 75 0
] , cada termo 𝑆𝐼𝐽 indica o tempo, em 
segundos, que o semáforo fica aberto, num período de 2 minutos, para que haja o fluxo da rua 𝑖 para a 
rua 𝑗. 
Então, o número máximo de automóveis que podem passar da rua 2 para a rua 3, das 8ℎ às 10ℎ de um 
mesmo dia, é: 
a) 1100 
b) 1080 
c) 900 
d) 576 
e) 432 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
10. (PUC-RS) No projeto Sobremesa musical, o Instituto de Cultura Musical da PUC-RS realiza 
apresentações semanais gratuitas para a comunidade universitária. O número de músicos que atuaram 
na apresentação de número 𝑗 do 𝑖-ésimo mês da primeira temporada de 2009 está registrado como 
elemento aij da matriz a seguir: 
[
43
43
43
3
 
12
5
13
5
 
6
5
20
54
 
6
12
13
43
 
5
12
0
43
] 
 
A apresentação na qual atuou o maior número de músicos ocorreu na _______ , semana do ________ 
mês. 
a) Quinta – Segundo 
b) Quarta – Quarto 
c) Quarta – Terceiro 
d) Terceira – Quarto 
e) Primeira – Terceiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-matrizes-definicao-matriz-generica-matriz-transposta
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
Gabarito 
 
Exercícios de Fixação 
 
1. Trocando as linhas e colunas de lugar: 
𝐴𝑡 =
[
 
 
 
 
1
2
3
5 −7
−1
0
5
8 ]
 
 
 
 
 
 
2. 𝑀 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] = [1
2 + 1² 1 + 2 ⋅ 2 1 + 2 ⋅ 3
22 + 1² 22 + 2² 2 + 2 ⋅ 3
] = [
2 5 7
5 8 8
] 
 
3. Breno. 
Como 𝑖 liga para 𝑗, podemos avaliar que elementos do tipo 𝑎1𝑗 (da primeira linha) representam o número 
de ligações que Adriana fez. São então 0 + 13 + 10 = 23 ligações feitas por ela. 
Além disso, elementos do tipo 𝑎2𝑗 (da segunda linha) representam o número de ligações que Breno fez. 
São então 18 + 0 + 6 = 24 ligações feitas por ele. 
 
Por fim, elementos do tipo 𝑎3𝑗 (da terceira linha) representam o número de ligações que Carla fez. São 
então 9 + 12 + 0 = 21 ligações feitas por ela. 
Quem realizou mais ligações foi Breno. 
 
4. Ana. 
Ao somarmos os elementos da primeira linha, obtemos quanto Ana vendeu: 64 + 126 + 78 = 268. Já 
para a segunda linha, temos Bernardo, com 45 + 133 + 67 = 245. Logo, Ana merece a bonificação. 
 
5. Cláudia. 
Como 𝑖 paga chope para 𝑗, o elemento correspondente a 𝑗 é que bebe a cerveja. Assim, elementos do tipo 
𝑎𝑖1 representam quantos chopes Antônio bebeu. Esses elementos são os da primeira coluna das 
matrizes. Isto é, Antônio bebeu 4 + 0 + 3 + 5 + 0 + 2 = 14 chopes. Os da segunda coluna somam em 1 +
2 + 1 + 5 + 3 + 1 = 13 e representam quanto Berbardo bebeu. Cláudia bebeu o equivalente à soma das 
terceiras colunas, ou seja, 4 + 0 + 5 + 3 + 0 + 3 = 15 chopes, sendo a que mais bebeu. 
 
 
Exercícios de Vestibular 
 
1. A 
Seja 𝑎𝑖𝑗 cada elemento da matriz dada, em que 𝑖 e 𝑗 denotam respectivamente a linha e a coluna em que 
𝑎𝑖𝑗 se encontram. Como cada dia da semana corresponde a uma coluna, temos: 
Soma dos elementos da primeira coluna: 3 + 3 + 2 + 3 + 0 = 11 
Soma dos elementos da segunda coluna: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 
Soma dos elementos da terceira coluna: 0 + 4 + 2 + 4 + 0 = 10 
Soma dos elementos da quarta coluna: 1 + 1 + 3 + 1 + 4 = 10 
Soma dos elementos da quinta coluna: 2 + 2 + 2 + 0 + 4 = 10 
Portanto, o teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na segunda-feira. 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
2. C 
𝑀 = [
𝑚11 𝑚12 𝑚13
𝑚21 𝑚22 𝑚23
] = [
4 ⋅ 1 − 1 4 ⋅ 1 − 2 4 ⋅ 1 − 3
4 ⋅ 2 − 1 4 ⋅ 2 − 2 4 ⋅ 2 − 3
] = [
3 2 1
7 6 5
] 
 
3. A 
Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5 ⋅ 6 = 30 elementos, conforme exemplo a seguir: 
 
Para obtermos os elementos internos devemos excluir a primeira e última linhas, e a primeira e última 
colunas, resultando uma nova matriz com 3 linhas, 4 colunas e, portanto, 12 elementos. 
 
4. C 
𝑀 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) = (1 + 1² 1 + 2²
2 + 1² 2 + 2²
) = (
2 5
3 6
) 
 
Portanto, 2 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3 = −3. 
 
5. A 
Seja 𝑎𝑖𝑗 cada elemento da matriz dada, em que 𝑖 e 𝑗 denotam respectivamente a linha e a coluna. 
Como o total de transferência corresponde a uma linha, temos: 
Soma dos elementos da primeira linha: 0 + 2 + 0 + 2 + 2 = 6 
Soma dos elementos da segunda linha: 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3 
Soma dos elementos da terceira linha: 1 + 2 + 0 + 1 + 1 = 5 
Soma dos elementos da quarta linha: 0 + 2 + 2 + 0 + 0 = 4 
Soma dos elementos da quinta linha: 3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5 
 
Portanto, o banco pedido é o de número 1. 
 
6. B 
Temos que 𝑥 representa o elemento na 2ª linha e 3ª coluna e o elemento na 3ª linha e 2ª coluna. Usando 
a lei de formaçãoe sabendo que 𝑎11 = log(1 + 1) = log 2 ≃ 0,3, tem-se que: 
𝑥 = 𝑎23 = 𝑎32 = log(2 + 3) = log 5 = log (
10
2
) = log 10 − log 2 ≃ 1 − 0,3 = 0,7 
 
7. C 
Se a matriz é simétrica, temos que: 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 
3𝑦 − 𝑧 + 2 = 𝑦 − 2𝑧 + 3
𝑧 = −5 
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑦 = −𝑧 + 1 
𝑧 = −5 
→ 𝑥 = 6, 𝑦 = 3, 𝑧 = −5 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Matemática 
 
8. C 
Nos apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas, logo, 5 + 𝑦 + 𝑥 + 1 = 12 → 𝑥 + 𝑦 = 6. Sendo 
assim, o valor de 𝑁 é 
 
4 + 1 + 6 + 𝑥 + +3 + 𝑦 + 5 + 𝑦 + 𝑥 + 1 = 4 + 1 + 6 + 6 + 63 + 5 + 6 + 1 = 32 
 
9. C 
Se a cada minuto podem passar até 12 carros, temos que em 75 (𝑠23) segundos podem passar até 
75 𝑠 ∙12 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠
60 𝑠
= 15 carros. 
 
Como de 8ℎ às 10ℎ existem 
120
5
= 60 períodos de 2 minutos, segue que podem passar até 15 ∙ 60 = 900 
automóveis no período considerado. 
 
10. D 
O maior número de músicos (54) aparece na quarta linha e na terceira coluna. Como 𝑖 indica o mês e 𝑗 a 
semana, esta apresentação ocorreu no quarto mês e na terceira semana.