ESTIMACAO TESTE HIPOTESE

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Curso de Administração - UVA 
Estatística Aplicada à Administração – Notas de aulas –Profª 
Marta 
 
 
Numa pesquisa para estudar a preferência do eleitorado a uma semana da eleição presidencial, 
qual o tamanho de uma amostra aleatória simples de eleitores, que garanta, com alta confiança, 
um erro amostral não superior a 2%; 3%; 4% e 5.7%? 
 
Maioria defende fechamento de bares à 1 h em SP*. A maioria absoluta dos 
paulistanos é favorável ao projeto que proíbe o funcionamento na cidade e 
restaurante que não tenham isolamento acústico, seguranças e estacionamento. Foi o 
que disseram 67% dos 630 entrevistados pelo DataFolha na última quinta-feira na 
cidade de São Paulo. A margem de erro é de quatro pontos percentuais, para mais 
ou para menos. Uma das principais explicações para um percentual tão grande de 
apoio à medida é que oitenta por cento da população da cidade não costuma 
freqüentar bares após 1h e, portanto, não se sente prejudicada pela restrição ao 
funcionamento das casas”. 
 
 
56% reprovam lei que fecha bares à 1 hora**. A maioria dos moradores de São 
Paulo é contra o fechamento dos bares à 1 hora. Pesquisa InformEstado feita na 
capital mostra que 56% da população não concorda com o projeto de lei aprovado 
na semana passada pela Câmara Municipal. A resistência à medida vem, 
principalmente, dos jovens de 18 a 29 anos (67,5% contra), dos que têm instrução 
superior (62,85) dos entrevistados. Ele é maior entre as mulheres (45,4% a favor do 
fechamento), os que têm mais de 50 anos (55,1%), o primeiro grau incompleto 
(67,1%) e entre os que recebem até cinco salários mínimos (53,5%)... O 
InformEstado entrevistou 622 pessoas. A margem de erro é de quatro pontos 
percentuais. 
 
*Artigo de José Roberto de Toledo publicado no Jornal Folha de São Paulo em 27/06/99 
** artigo de Marcelo Godoy no Jornal de São Paulo em 27/06/99. 
ESTIMAÇÃO - é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para 
estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, 
qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra 
aleatória. Entre os mais comuns, estão a média e o desvio padrão de uma população e a 
proporção populacional. 
As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros 
populacionais. Assim, uma média amostral é usada como estimativa de uma média 
populacional; um desvio padrão amostral serve de estimativa do desvio padrão da 
população; e a proporção de itens numa amostra, com determinada característica, serve 
para estimar a proporção da população que apresenta aquela característica. Tais 
estimativas chamam-se pontuais, porque originam uma única estimativa do parâmetro. 
Mas já sabemos que a amostragem aleatória apresenta tendência a gerar amostras em 
que a média amostral, por exemplo, não é igual à média da população, embora os dois 
valores em geral sejam próximos. Em virtude da variabilidade amostral, é usual incluir 
uma "estimativa intervalar" para acompanhar a estimativa pontual. Essa nova estimativa 
proporciona um intervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacional. 
Estimativa pontual - estimativa única de um parâmetro populacional 
Estimativa intervalar - dá um intervalo de valores possíveis, no qual se admite 
esteja o parâmetro populacional. 
 
 
Confiança desejada Z Fórmula 
90% 1,65 X ± 1,65 /n 
95% 1,96 X ± 1,96 /n 
99% 2,58 X ± 2,58 /n 
 
 
Intervalo de confiança - dá um intervalo de valores, centrado na estatística 
amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da 
população. Suponhamos que uma amostra aleatória de 100 alunos de certa universidade 
apresente uma renda anual média de R$ 3.800. Como esses dados resultam de apenas 
uma amostra aleatória, e não toda a população de alunos, não há uma maneira segura de 
garantir que essa renda média reflita, de fato, a renda média da população de alunos da 
universidade. Os intervalos de confiança podem ser construídos para qualquer nível de 
probabilidade. O uso do intervalo de confiança de 95% permite obter o cálculo através 
do qual a média populacional é estimada com a certeza de que há 95 possibilidades em 
100 de estar correto; e há possibilidades em 100 de estar errado. Entretanto, mesmo 
usando o intervalo de confiança de 95%, deve-se Ter sempre em mente que a média 
amostral do pesquisador poderia ser uma daquela cinco médias amostrais que caíram 
fora do intervalo estabelecido. 
 
Estimação da média de uma população - é uma distribuição que indica quão 
prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é função da média e do desvio 
padrão da população e do tamanho da amostra. Para cada combinação de média, desvio 
padrão e tamanho da população haverá uma única distribuição amostral. 
Característica 
 A média da distribuição amostral é sempre igual a média populacional;
 O desvio padrão da distribuição amostral decresce quando o tamanho da amostra 
aumenta
 
 
Estimação da proporção numa população- o pesquisador procura obter uma 
estimativa duma proporção populacional a partir de uma outra proporção resultante do 
estudo de uma amostra casual. Uma circunstância em que isso ocorre com frequência é 
a chamada prévia eleitoral, cujos dados sugerem que certa proporção de votos irá para 
determinado partido ou determinado candidato. Quando um pesquisador de opinião 
pública anuncia que 45% dos votos serão a favor de certo candidato, ele o faz com a 
convicção de que não está 100% correto. Em geral, ele tem 95% ou 99% de confiança 
de que sua proporção estimada cai dentro de certa faixa de proporções (por exemplo, 
entre 40% e 50%). 
Estimamos proporções da mesma maneira utilizada para a estimação de 
médias. Todas as estatísticas-inclusive médias e proporções - possuem distribuições 
amostrais próprias. O valor esperado de uma proporção amostral é sempre igual à 
verdadeira proporção da população. Usa-se portanto, a proporção amostral como 
estimativa pontual da verdadeira proporção. 
 
 
 
 
 
Estimação 
1) A polícia rodoviária fez recentemente uma pesquisa secreta sobre as 
velocidades desenvolvidas na rodovia no período de 2 às 4 horas da madrugada. No 
período de observação, 100 carros passaram por um aparelho de radar a uma velocidade 
média de 70 mph, com desvio padrão de 15 mph. Construa um intervalo de 98% de 
confiança para a média da população. 
 
2) A tabela seguinte mostra os valores das médias e desvios padrão da renda familiar, 
de uma amostra de 120 famílias, da Cidade de Sobral, extraídas de três localidades 
(bairro). 
 
Localidade 
 
Tamanho da 
amostra 
Renda familiar (sal. Min.) 
Média Desvio padrão 
Centro 40 8,1 4,3 
Junco 42 5,8 2,6 
Sumaré 37 5,0 4,5 
Construa um intervalo de confiança ao nível de 99% de confiança, para a renda 
familiar média de cada localidade, Interprete as estimativas. 
3) A média aritmética dos gastos com livros de uma amostra aleatória simples de 100 
estudantes do primeiro ano de Química é R$ 70,00 com desvio padrão de R$ 15,00. 
Construa um intervalo de 95% de confiança para o gasto médio de todos os estudantes. 
 
4) Uma amostra aleatória de 50 empregados é tomada de uma linha de produção de 500. 
A média aritmética de horas extras trabalhadas por semana é cinco horas com desvio- 
padrão de uma hora. Construa um intervalo de 99% de confiança para a média das horas 
trabalhadas por semana para toda a linha de produção. 
 
5) Seja X a variável aleatória que representa a pressão sangüíneas sistólica em 
indivíduos com idade entre 20 e 25 anos. Essa variável tem distribuição 
aproximadamente normal. Suponha que, com base em uma amostra de 100 indivíduos, 
foi obtida a média de 123 mm de mercúrio e desvio padrão de 8 milímetros de 
mercúrio. Determine o intervalo de 90% de confiança para X. 
 
6) Numa pesquisa mercadológica, deseja-se estimar, dentre os consumidores em 
potencial de uma certa cidade,a proporção de consumidores que passariam a usar certo 
produto, após experimentá-lo pela primeira vez. Para atingir este objetivo, selecionou-se 
uma amostra aleatória simples de n= 200 consumidores potenciais, fornecendo-lhes 
amostras grátis do produto. Depois de um mês, voltou-se a contatar os consumidores da 
amostra, oferecendo-lhes o produto por um certo preço. Trinta por cento da amostra 
decidiu adquirir o produto. Construa uma estimativa intervalar, com nível de confiança 
de 95%. 
 
7) Numa amostra aleatória simples de 120 domicílios, realizadas num certo bairro da 
cidade, observou-se que apenas 33,3% possuíam instalações sanitárias adequadas. 
Considerando que existam 460 domicílios no bairro, encontre um intervalo de 95% de 
confiança para a proporção de domicílios com instalações sanitárias adequadas. 
 
8) Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um supermercado 
revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras. 
Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite? 
Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos que 
compram leite. 
9) De um grupo de 20 alunos de uma sala de aula, escolhidas aleatoriamente, cinco não 
se mostraram satisfeitos com a disciplina de Português. Há 50 alunos nessa sala de aula. 
Construa um intervalo de 90% de confiança para a proporção de alunos 
insatisfeitos. 
 
Extra 
 
 
1) Uma amostra formada por 18 eixos de aço fabricados pela metalúrgica Thor Ltda. 
apresentou um comprimento médio igual a 1,653 m, com desvio padrão amostral igual a 
0,056 m. Estime qual deve ser o verdadeiro comprimento médio dos eixos fabricados 
pela empresa. Assuma α igual a 5% e população normalmente distribuída. 
2) Procurando diminuir o tempo de atendimento na venda de seu produto na sua loja, um 
administrador procurou estimar o tempo médio que a loja gasta com cada cliente. 
Utilizando uma amostra aleatória de 64 clientes, atendidos em uma semana, obteve um 
tempo médio de atendimento igual a 2,5 minutos por cliente, com desvio padrão de 1,2 
minutos. Pede-se: (a) para α = 5%, estime o intervalo da média populacional; (b) 
determine qual o erro associado a essa estimativa. 
3) Uma empresa de pesquisa mercadológica estava procurando estimar o gasto médio de 
uma amostra de consumidores de determinada bebida alcoólica no fim de semana. Após 
analisar uma amostra aleatória de 100 clientes, encontrou uma média de $ 250,00 e 
desvio padrão de $ 32,00. Determine a estimativa pontual da média da população e 
construa um intervalo de 95% de confiança para média populacional. 
4) Em uma mostra aleatória por 20 comerciantes autônomos de uma região central da 
cidade, revelou-se que a média de rendimentos era igual a $ 200,00, com um desvio 
padrão de $ 45,00. Assumindo uma população normalmente distribuída, pede-se: (a) 
construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média; (b) construa um 
intervalo com 95% de confiança para verdadeira média; (c) estime o erro máximo para 
um intervalo de 99%. 
5) Um analista obtém dados de uma amostra de 225 consumidores de um total de 600 
que adquiriram uma oferta especial. As 225 pessoas gastaram, na loja, uma média de x 
= $ 33,42 com um desvio padrão de S = $ 5,20. Estime, com um intervalo de confiança 
de 95%: (a) o valor médio de compras para todos os 600 clientes; (b) o valor total das 
compras dos 600 clientes. 
6) Uma amostra com 20 dos 85 domicílios de determinada região revelou um consumo 
médio de energia elétrica de 42 kw/h, com um desvio padrão igual a 13 kw/h. Qual deve 
ser o verdadeiro consumo médio de todos os domicílios? Assuma um nível de confiança 
igual a 95% e suponha população normalmente distribuída. 
7) Um grupo de 153 consumidores dos Magazines Mulher Bonita indicou que 89 eram 
do sexo feminino. Qual deve ser a proporção de consumidores mulheres, supondo alfa 
igual a 5%? 
8) Dos rolamentos fabricados pelas Indústrias Timbira Ltda., 82 de um lote formado por 
1.564 peças apresentaram defeitos de fabricação. Supondo que a amostra fosse 
representativa do universo, qual deve ser o número de rolamentos com defeitos na 
produção mensal da empresa, formada por 100.000 unidades? Assuma alfa igual a 2%. 
Trabalhe com intervalos: (a) bilateral (b) unilateral 
9) A tabela seguinte apresenta os dados referentes a uma amostra representativa de 
funcionários da Multilar Equipamentos Ltda. Com base nos números fornecidos, 
encontre, para a população: (a) a proporção de indivíduos do sexo masculino; (b) a 
proporção de indivíduos com mais de 40 anos; (c) a proporção de mulheres com igual 
ou menos de 40 anos em relação ao total de funcionários. Assuma α igual a 3%. 
 
 
Idade Homem Mulher 
Igual 
anos 
ou menor que 40 14 23 
Mais que 40 anos 39 47 
 
10) Numa pesquisa com 150 eleitores, o candidato Fulano de Tal obteve 0,38 da 
preferência dos eleitores. Construa, para um nível de confiança a 95%, o intervalo para 
a proporção de votos a serem recebidos pelo candidato mencionado, supondo que a 
eleição fosse nesse momento. 
11) Em uma amostra de 500 pessoas, 350 mostraram-se dispostas a fazer cursos de 
reciclagem profissional. Calcule o valor da proporção populacional de pessoas que 
gostariam de fazer cursos de reciclagem profissional. Assuma um nível de confiança de 
95%. 
12) Qual seria o tamanho da amostra necessária para estimar o tempo médio para acessar 
a Internet através do provedor Acesso Grátis, sabendo-se que o erro máximo deve ser de 
0,9 min para um nível de confiança de 99% e que o tempo de acesso tem desvio de 3 
min? 
13) Imagine-se que as compras médias por pessoa em um determinado centro comercial 
seja aproximadamente igual a $ 35,00, com um desvio de $ 7,50. Assumindo um erro 
tolerável de 1%, qual deveria ser o tamanho da amostra analisada para poder realizar um 
processo de inferência estatística mais correto? Assuma alfa igual a 5% 
14) Para uma amostra aleatória de 100 domicílios em uma grande metropolitana, o 
número de domicílios nos quais ao menos um adulto se encontra atualmente 
desempregado é igual a 15. Estima a percentagem de domicílios na área nos quais há 
pelos menos um adulto desempregado, utilizando o intervalo de confiança de 90%. 
15) Um auditor analisou 20% de todas as 130 vendas efetuadas pela empresa Atacados 
Preço Bom Ltda. no mês de fevereiro de 2.000. Encontrou uma média igual a $ 
1.575,00 e um desvio padrão igual a $ 285,00. Qual deve ser a verdadeira venda média 
da empresa? Estime um nível de confiança igual a 95% e suponha população 
normalmente distribuída. 
16) Após analisar dez vendas, a empresa Comercial de Doces Saborosos Ltda. encontrou 
uma média igual a $ 56,98 e um desvio padrão igual a $ 3,12. Qual o valor da 
verdadeira média populacional das vendas da empresa? Estime um nível de confiança 
igual a 95% e suponha população normalmente distribuída. 
17) Numa tentativa de melhorar o atendimento do serviço de atendimento ao cliente 
(SAC), os funcionários procuraram estimar o tempo médio que gastam em cada cliente. 
Uma amostra aleatória formada por 60 atendimentos colhida no período de três semanas 
acusou uma média de 30 min. Com desvio padrão de 6 min. Construa o intervalo de 
confiança de 95% para o verdadeiro tempo médio gasto em cada atendimento. 
 
Testes de hipóteses 
 
 
A Divisão de Comunicações da Harris Corporation, em Melbourne, Flórida, é 
uma grande fabricante de equipamento de rádiocomunicação ponto a ponto. Ela é uma 
empresa de fabricação integrada horizontalmente com uma fábrica de várias aplicações. 
A maioria dos produtos da Harris exige operações de produção de médio a grande 
volume, incluindo montagem de circuitos impressos, montagem do produto final e 
testes. 
Um dos produtos de grande volume da empresa possui uma montagem 
chamada de módulo de RF. Cada módulo de RF consiste de 16 componentes eletrônicos 
soldados a uma forma usinada que compõea superfície chapeada do módulo. Durante 
uma campanha de fabricação, um problema se desenvolveu no processo de soldagem, o 
fluxo de solda sobre o módulo não satisfez o critério de qualidade estabelecido para o 
produto. Depois de considerar uma variedade de fatores que poderiam Ter afetado o 
processo de soldagem, um engenheiro teve a constatação preliminar de que o problema 
de soldagem foi, muito provavelmente, devido ao chapeamento defeituso. 
O engenheiro questionou-se se a proporção de chapeamentos defeituosos 
no estoque da Harris excedeu aquele estabelecido pelas especificações de projeto do 
fornecedor. Com  indicando a proporção de chapeamento defeituosos no estoque da 
Harris e o indicando a proporção de chapeamentos defeituosos estabelecida pelas 
especificações de projeto do fornecedor, as seguintes hipóteses foram formuladas. 
Ho:   o 
H1: p  o 
 
Ho indica que o estoque da Harris tem uma proporção de chapeamento 
defeituosa menor ou igual àquela estabelecida pelas especificações de projeto. Tal 
proporção seria julgada aceitável e o engenheiro necessitaria procurar por outras causas 
do problema de soldagem. No entanto, H1 indica que o estoque da Harris tem uma 
proporção de chapeamentos defeituosos maior do que aquela estabelecida pelas 
especificações de projeto. Naquele caso, excessivos chapeamentos defeituosos bem 
poderiam ser a causa do problema de soldagem, e ações seriam tomadas para se 
determinar por que a proporção defeituosa no estoque é tão alta. 
Testes feitos na amostra dos chapeamentos do estoque da Harris 
resultaram na rejeição de Ho. A conclusão foi de que H1 era verdadeiro e que a 
proporção dos chapeamentos defeituosos no estoque excedia aquela estabelecida pelas 
especificações de projeto do fornecedor. Investigação posterior da área de estoque levou 
à conclusão de que o problema subjacente era contaminação nas prateleiras durante a 
estocagem. Alterando-se o meio ambiente da estocagem, o engenheiro foi capaz de 
resolver o problema 
Nesta apostila você aprenderá como formular hipóteses sobre a média e a 
proporção da população. 
O teste de hipótese estatístico é o mais generalizado instrumento de 
indução estatística, tendo aplicações em variados setores das ciências naturais e sociais. 
Dado um problema de pesquisa, o pesquisador precisa saber escrever a 
chamada hipótese de trabalho ou hipótese nula. Esta hipótese é, basicamente uma 
negação daquilo que o pesquisador deseja provar. 
Hipótese nula - tornou-se habitual em análise estatística começar pelo 
teste da chamada hipótese nula - que, em termos bem simples, afirma terem duas 
amostrar sido extraídas da mesma população. De acordo com a hipótese nula, qualquer 
diferença observada entre as amostras é considerada como uma ocorrência casual, mero 
resultado de erro amostral. Portanto, uma diferença entre duas médias amostrais não 
representa, à luz da hipótese nula, uma verdadeira diferença entre as médias 
populacionais. 
A hipótese nula é em geral (embora não necessariamente) estabelecida 
com a esperança de que possa ser rejeitada. 
Quando os dados mostrarem evidência suficiente de que a hipótese nula 
(Ho) é falsa, o teste a rejeita, aceitando em seu lugar a chamada hipótese alternativa 
(H1). 
Hipótese alternativa - é, em geral, aquilo que o pesquisador quer provar, ou seja, 
a própria hipótese de pesquisa, considerando a forma do planejamento e execução da 
pesquisa. 
É comum Ho ser apresentada em termos de igualdade de parâmetros 
populacionais, enquanto H1 em forma de desigualdades (maior, menor ou diferente) 
 
 
 Resumo das formas para as hipóteses Nula e Alternativa 
Seja o denotado o valor numérico específico que está sendo considerado nas 
hipóteses nula e alternativa. Em geral, um teste de hipótese ao redor dos valores de uma 
média de população  precisa tomar uma das seguintes três formas: 
 
 
Ho:   o Ho:   o Ho:  = o 
H1:   o H1:  o Ho:   o 
Em muitas situações, a escolha de Ho e H1 não é óbvia e é necessário 
julgamento para selecionar a forma apropriada. No entanto, como as formas acima 
mostram, a parte da igualdade da expressão (tanto ,  ou =) sempre aparecerá na 
hipótese nula. Ao selecionar a forma apropriada de Ho e H1 tenha em mente que a 
hipótese alternativa é que o teste está tentando estabelecer. 
 
Para melhor compreender a formulação das hipóteses procure resolver os 
exercícios abaixo: 
 
 
 
 
Exercício 
 
 
1. o gerente do Hotel Vila Real estabeleceu que a quantia média gasta pelos hospedes 
em um fim de semana é de R$ 400,00 ou menos. Um membro do corpo de 
funcionários de contabilidade do hotel notou que as despesas totais para os hóspedes 
de fim de semana têm aumentado nos últimos meses. O contador usará uma amostra 
de contas de hóspedes de fim de semana para testar a afirmação do gerente. 
 
a) que forma de hipóteses deve ser usada para testar a afirmação do gerente? Explique. 
 
 
Ho:   400 Ho:   400 Ho:  = 400 
H1:   400 H1:   400 Ho:   400 
b) que conclusão é apropriada quando Ho não pode ser rejeitada? 
c) Que conclusão é apropriada quando Ho pode ser rejeitada? 
 
 
2. o gerente de uma revenda de automóveis está considerando um novo plano de bônus 
concebido para aumentar o volume de vendas. Atualmente, o volume médio de 
vendas é de 14 automóveis por mês. O gerente quer realizar uma pesquisa para ver 
se o novo plano de bônus aumentará o volume de vendas. Para coletar dados sobre o 
plano, uma amostra do pessoal de vendas terá permissão de realizar vendas sob o 
novo plano de bônus por um período de um mês. 
a) desenvolva as hipóteses nula e alternativa mais apropriadas para essa situação de 
pesquisa. 
b) Comente a conclusão quando Ho não pode ser rejeitada 
c) Comente a conclusão quando Ho pode ser rejeitada. 
Nível de significância () - de um teste é a probabilidade de uma hipótese 
nula ser rejeitada, quando verdadeira 
 
 
 
 
3. Uma operaçõa de lina de produção foi programa para colocar 320 mg de detergente 
em pó em cada caixa de papelão. Uma amostra de caixas de papelão é 
periodicamente selecionada e pesada para determinar se está ocorrendo 
subenchimento ou sobreenchimento. Se os dados da amostra levarem à conclusão de 
subenchimento ou sobreenchimento, a linha de produção será paralisada e calibrada 
para se obter o enchimento apropriado das caixas. 
a) formule as hipóteses nula e alternativa que auxiliarão a decisão de paralisar e 
calibrar a linha de produção. 
 
 
 
 
Tipos de erros 
 
 
 
 
 
seja: 
Na realização de um teste de hipótese, dois erros podem ser contidos, ou 
 
 
1 - Erro tipo I - é aquele que se comete ao rejeitar uma hipótese que é correta; a 
probabilidade desse erro será simbolizado por  e é definida pelo nível de significância 
exigido no teste. 
 
 
 
2 - Erro tipo II - é aquele que se comete ao aceitar uma hipótese que é incorreta; 
a probabilidade desse erro será simbolizada por . 
 
Esquematicamente, o quadro a seguir mostra as diversas situações que 
podem ocorrer num teste de hipóteses: 
Decisão / Realidade Ho verdadeira H1 falsa 
 
Aceitar Ho 
Decisão correta 
Probabilidade = 1 - 
Erro tipo II 
Probabilidade = 
 
 
Rejeitar Ho 
Erro tipo I 
Probabilidade = 
Decisão correta 
Probabilidade = 1 - 
 
 
 
Na realização de uma pesquisa quando se deseja confirmar ou rejeitar 
alguma hipótese, é comum estabelecer, a priori, o valor da probabilidade tolerável de 
incorrer no erro de rejeitar Ho, quando como nível de significância do teste e é 
designada pela letra . Em pesquisa social é comum adotar o nível de significância de 
5% (0,05) e 1% (0,01). 
Embora a maioria das aplicações de teste de hipóteses esteja atenta à 
probabilidade de se cometer um erro do tipo I, nem sempre estão atentas à probabilidade 
de se cometer um erro do tipo I. Por isso se decidimos aceitar Ho não podemos estar 
com aquela decisão. Por causada incerteza associada com o cometer um erro do tipo II, 
os estatísticos freqüentamente recomendam que usemos a declaração "não rejeitar Ho", 
em vez de "aceitar Ho". Com muitas aplicações de teste de hipóteses tem um objetivo 
de tomada de decisão. A declaração "não rejeitar Ho", embora inconclusiva, 
freqüentemente força as pessoas a se comportarem como se Ho fosse verdadeira. Neste 
caso, precisamos estar cientes do fato de que tal comportamento pode revestir num erro 
do tipo II. 
 
O quadro abaixo dá os valores de z tanto para testes unilaterais como para testes 
bilaterais, a vários níveis de significância. Os valores críticos de z para outros níveis de 
significância podem ser obtidos utilizando-se a tábua de áreas sob a curva normal. 
Níveis de significância 0,10 0,05 0,01 0,005 0,002 
Valores críticos de z para testes unilaterais - - - - - 
 1,28 ou 1,645 ou 2,33 ou 2,58 ou 2,88 ou 
 1,28 1,645 2,33 2,58 2,88 
Valores críticos de z para testes bilaterais - - - - - 
 1,645 e 1,96 e 2,58 e 2,81 e 3,08 e 
 1,645 1,96 2,58 2,81 3,08 
Fonte: SPIEGEL, 1978; 302 
 
 
Exercício 
 
 
1) Os americanos gastam uma média de 8,6 minutos por dia lendo jornais. Um 
pesquisador acredita que os indivíduos nas posições de gerência gastam mais do que o 
tempo médio nacional por dia lendo jornais. Uma amostra dos indivíduos em posições 
de gerenciamento será selecionado pelo pesquisador. Os dados sobre os tempos de 
leitura de jornais serão usados para testas as seguintes hipóteses nula e alternativa 
 
Ho:   8,6 
H1:   8,6 
Qual é o erro do tipo I nessa situação? Quais as conseqüencias de se cometer esse erro? 
 
2) O rótulo em um recipiente de três quartos de suco de laranja indica que o 
suco de laranja contém uma média de uma grama de gordura ou menos. Responda às 
seguintes questões para um teste de hipóteses que poderia ser usado para testar a 
declaração no rótulo. 
a) desenvolva as apropriadas hipóteses nula e alternativa. 
b) Qual é o erro do tipo I nessa situação? Quais são as consequencias de se cometer 
esse erro? 
 
 
Testes unicaudais 
 
 
Examinemos o seguinte caso: o rótulo em um grande recipiente de lata afirma 
que o recipiente contém pelo menos três quilos de uma determinada substância. 
Suponha que queiramos verificar esta afirmação usando o teste de hipóteses. 
n / 
Suponha que uma amostra de 36 recipientes forneça uma média de X = 
2,97 kg e que nós sabemos por estudos prévios que o desvio padrão da população é  = 
0,18. 
A 1ª etapa é desenvolver as hipóteses nula e alternativa. 
Ho:  = 3,0 kg 
H1:  3,0 kg 
 
2ª etapa: selecionar a estatística de teste que será usada para decidir rejeitar ou 
não a hipótese nula. 
Sabemos que sempre que o tamanho da amostra é grande (n  30), a 
distribuição de amostragem de x pode ser aproximada por uma distribuição normal de 
probabilidade. Para testes de hipóteses ao redor da média da população, usaremos Z 
como uma estatística do teste. 
 
3ª etapa: especificar o nível de significância  para o teste: 
 = 1% = 0,01 
4ª etapa: utilizar o nível de significância para desenvolver a regra de rejeição 
que indica os valores da estatística teste que levará à rejeição de Ho. 
 
5ª etapa - Calcular o valor da estatística teste. 
 
 
Z = x - o 
 
 
 
6ª etapa - compara o valor da estatística do teste com o(s) valor (es) crítico 
(tabelado) especificado na regra de rejeição para determinar se Ho deve ser rejeitado. 
Teste de hipótese de grande amostra (n  30) da média da população para um 
teste unicaudal da forma 
Ho:   o 
H1:   o 
Estatística do teste:  conhecido Z = x - o 
n 
 / 
Estatística do teste:  desconhecido Z = x - o 
n 
s / 
Regra de rejeição a um nível de significância de 
Rejeitar Ho se z  - z
Teste de hipótese de grande amostra (n  30) da média da população para um 
teste unicaudal da forma 
Ho:   o 
H1:   o 
Estatística do teste:  conhecido Z = x - o 
n  / 
 
Estatística do teste:  desconhecido Z = x - o 
n s / 
 
 
Regra de rejeição a um nível de significância de 
Rejeitar Ho se z  - z
Teste unicaudais da média da população 
1º caso 
 
2º caso 
 
Uso dos valores de p 
Pequenos valores p levam à rejeição de Ho, enquanto grandes valores p 
indicam que a hipótese nula não pode ser rejeitada, ou seja, p é menor do que o 
nível de significância rejeita-se Ho. 
Uma outra abordagem que pode ser usada para se decidir rejeitar Ho ou não está 
baseada numa probabilidade chamada de uma valor p. se assumirmos que a hipótese 
nula é verdadeira, o valor p é a probabilidade de se obter um resultado de amostra que é 
pelos menos tão improvável quanto aquele que é observado. 
O valor de p pode ser usado para se tomar a decisão em um teste de 
hipótese notando-se que se o valor de p é menor do que o nível de significância , o 
valor da estatística do teste está na região de rejeição. Analogamente, se o valor p, é 
maior ou igual a , o valor da estatística do teste, não está na região de rejeição. 
O valor de p e a corresponde estatística de teste sempre fornecerão a 
mesma conclusão de teste de hipóteses. Quando a região de rejeição está na cauda 
inferior da distribuição de amostragem, o valor p é a área sob a curva menor ou igual à 
estatística. Quando a região de rejeição está na cauda superior da distribuição normal , o 
valor p é a área sob a curva maior ou igual a estatística. 
 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
1) Considere o seguinte teste de hipóteses: 
Ho:   15 
H1:   15 
Uma amostra de 40 fornece uma média de amostra de 16,5 e um desvio padrão de 7. 
Com  = 0,05, qual é o valor crítico para z e qual é a regra de rejeição 
Calcule o valor da estatística de teste z. Qual é a sua conclusão? 
 
2) considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho:   25 
H1:   25 
Uma amostra de 100 é utilizada e o desvio padrão da população é 12. Forneça o 
valor da estatística de teste z e sua conclusão para cada um dos seguintes resultados da 
amostra. Use  = 0,05 
a) x = 22,0 
b) x = 24,0 
c) x = 23,5 
d) x = 22,8 
 
 
3) Os brasileiros que deram entrada na declaração do imposto de renda de 2001 antes de 
30 abril de 2002 tem uma restituição de R$ 1.056,00. Considere a população de 
entregadores de "última hora" que despacharam suas declarações durante os últimos 
cinco dias do período de entrega do imposto de renda (praticamente 25 a 30 de abril). 
 
4) Um pesquisador sugere que uma das razões para que os indivíduos esperem até os 
últimos cinco dias para entregar suas declarações é que em média eles têm uma 
restituição mais baixa do que os primeiro entregadores. Desenvolva hipóteses 
apropriadas tais que a rejeição de Ho confirme a alegação do pesquisador. Para uma 
amostra de 400 indivíduos que entregaram a declaração ente 25 e 30 de abril, a 
restituição média da amostra foi de R$ 910,00 e o desvio padrão da amostra foi de R$ 
1.600. Com  = 0,05, qual é sua conclusão? 
 
 
5) Novos pneus fabricados por uma empresa em Findlay, Ohio, são projetados para 
fornecer uma média de pelos menos 28.000 quilômetros. Testes com 30 pneus 
aleatoriamente selecionados mostrou uma média de amostra de 27.500 quilômetros e 
um desvio padrão da amostra de 1.000 quilometros. Usando um nível de significância 
de 0,05, teste se há evidência suficiente para rejeitar a reivindicação de uma média de 
pelo menos 28.000 quilômetros. 
 
Testes bicaudais da media da população 
 
 
Os testes bicaudais diferem dos testes unicaudais, uma vez que a região de 
rejeição está colocada tanto na cauda inferior como na cauda superior da distribuição 
Teste de hipótese de grande amostra (n  30) da média da população para um 
teste unicaudal da forma 
Ho:  = o 
H1:   o 
Estatística do teste:  conhecido Z = x - o 
 / n 
Estatística do teste:  desconhecido Z = x - o 
s / n 
normal. Vamos introduzir um exemplo para mostrar como e porque os testes bicaudaissão realizados. 
Imagine que uma empresa desenvolve um novo processo de fabricação de bolas 
de golfe tendo uma distância média de alcance e de rolagem de 280 metros. 
A empresa sabe que se o novo processo sair do ajuste pode produzir bolas para 
as quais a distância média seja menor ou maior do que 280 m. 
Como parte do controle de qualidade, um inspetor seleciona uma amostra de 
golfe da linha de produção e as submete a testes que são equivalentes àqueles realizados 
pela associação de golfe. Não tendo razões para duvidar de que o processo de fabricação 
esteja funcionando corretamente, estabelecemos as seguintes hipóteses nula e 
alternativa. 
Ho:  = 280 kg 
H1:   280 kg 
Como sempre, partimos da hipóteses tentativa de que a hipótese nula seja 
verdadeira. Uma região de rejeição precisa ser estabelecida para a estatística do teste Z. 
Queremos rejeitar a afirmação de que  = 280 quando o valor de Z indica que a média 
da população é menor ou maior que 280 m. Assim Ho deve ser rejeitada para valores da 
estatística de teste tanto na cauda inferior como na cauda superior da distribuição 
amostral. Como resultado, o teste é chamado de teste de hipótese bicaudal. 
Com teste de hipóteses bicaudais, sempre determinaremos a região de rejeição 
colocando uma área ou probabilidade de /2 em cada uma das caudas da distribuição. 
 
 
 
 
 O valor p para um teste bicaudal é simplesmente dobrar a área encontrada 
na extremidade da distribuição, a regra prévia para rejeitar Ho se o valor p   pode ser 
usada para todos os testes de hipóteses. 
 
 
Exercício 
1) Considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho:  = 10 kg 
H1:   10 kg 
Uma amostra de 36 fornece uma média da amostra de 11 e desvio padrão da 
amostra de 2,5. Com  = 0,05 qual é a regra de rejeição? 
Calcule o valor da estatística do teste Z. Qual é a sua conclusão? 
 
 
2) Considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho:  = 15 kg 
H1:   15 kg 
Uma amostra de 50 fornece uma média da amostra de 14,2 e desvio padrão da 
amostra de 5. 
a) com  =0,02, qual é a regra de rejeição? 
b) Calcule o valor da estatística do teste Z. 
c) Qual é a sua conclusão? 
 
3) O Departamento de Análise Econômica no Departamento de Comércio dos 
Estados Unidos relatou que a renda anual de um residente da Carolina do Norte é de 
US$ 18.688. Um pesquisador do estado da Carolina do Sul quer testar Ho = 18.688; 
onde  é a renda anual de residente da Carolina do Sul.Qual é a conclusão apropriada 
se uma amostra de 400 residentes da Carolina do Sul apresenta uma renda média anula 
de US$ 16.860 e um desvio padrão da amostra de U$$ 14.624? Use um nível de 
significância de 0,05 
Regra de rejeição a um nível de significância de 
Rejeitar Ho se z  - z/2 ou se z  z/2 
n 
 
 
 
 
 
 
O caso da pequena amostra 
 
 
 
Considere que o tamanho da amostra seja pequeno (n 30) e que o desvio padrão 
da amostra s seja usado para estimar o desvio padrão da população . Se é também 
razoável considerar que a população tem uma distribuição normal de probabilidade, a 
distribuição t pode ser usada para fazer inferência sobre o valor da média da população. 
Nesse caso, a estatística do teste é: 
 
t = x - o 
s / 
 
Essa distribuição do teste tem uma distribuição t com n-1 graus de liberdade. 
 
 
 A regra usual se aplica: se o valor p é menor do que o nível de significância 
, a hipótese nula pode ser rejeitada. Infelizmente, o formato da tabela de distribuição t 
fornecida na maioria dos livros de estatística não apresenta detalhes suficientes para 
determinar o valor exato do valor p para o teste. 
Resumindo 
Ho:   o 
H1:   o 
dará origem a um teste unicaudal à esquerda 
Ho:   o 
H1:  o 
dará origem a um teste unicaudal à direita 
Ho:  = o 
H1:   o 
dará origem a um teste bicaudal 
Exercício 
 
 
1) Considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho:   5 
H1:   5 
Uma amostra de 26 fornece uma média de amostra de 11 e o desvio padrão da 
amostra de 3. 
a) com  = 0,05 qual é a regra de rejeição? 
b) Calcule o valor da estatística do teste t. Qual é a sua conclusão? 
 
2) Considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho:  = 20 kg 
H1:   20 kg 
Os dados de uma amostra de seis itens são 18, 20, 16, 19, 17, 18 
a) calcule a média da amostra 
b) calcule o desvio padrão da amostra 
c) com  = 0,05 qual é a regra de rejeição? 
d) Calcule o valor da estatística do teste t. Qual é a sua conclusão? 
 
 
 
3) Em fevereiro de 1995, o custo médio para um vôo doméstico com passagens de ida 
e volta com desconto foi de R$ 258,00. Uma amostra aleatória dos preços de 15 
passagens de ida e volta com desconto durante o mês de março forneceu os 
seguintes dados. 
 
10 
 
60 
 
55 
 
00 
 
10 
 
30 
 
50 
 
65 
 
80 
 
90 
 
40 
 
85 
 
50 
 
60 
 
65 
 
a) qual é o preço médio da passagem de ida e volta com desconto em março? 
b) Qual é o desvio padrão? 
d) Usando com  = 0,05 teste se o preço da passagem de ida e volta com desconto 
aumentou em março. Qual é a sua conclusão? 
 
4) A família média alta brasileira gasta R$ 90 por dia. Considere que uma amostra de 
25 famílias em Fortalezal, Ce. mostrou um gasto médio diário da amostra de R$ 
84,50 com um desvio padrão da amostra de R$ 14,50 
a) teste Ho:  = 90 e H1:  90 para ver se a média da população em Fortaleza difere 
da média do Brasil. Use um nível de significância de 0,05. 
b) Qual é a sua conclusão? 
 
Testes de uma proporção da população 
 
Com p denotando a proporção da população e po denotando um valor hipotético 
específico para a proporção da população, as três formas para um teste de uma 
proporção da população são como segue: 
 
 
Ho: p po Ho: p  po Ho: p = po 
H1: p  po H1:p  po Ho: p  po 
 
 
 
 
As duas primeiras formas são testes unicaudais, enquanto a terceira forma é um 
teste bicaudal. A forma específica usada depende da aplicação. 
Os testes de hipóteses da proporção da população são baseados na 
diferença entre a proporção da amostra p e a hipotética proporção da população po. O 
método usado para conduzir os testes é análogo ao procedimento usado para os testes de 
hipóteses de uma média da população. A única diferença é que usamos a proporção da 
amostra p e seu desvio padrão p no desenvolvimento da estatística do teste. 
 
 
 
Exercício 
1) considere o seguinte teste de hipóteses; 
Ho: p  0,50 
H1: p  0,50 
Uma amostra de 200 forneceu uma proporção da amostra de p = 0,57 
a) com  = 0,05 qual é a regra de rejeição 
b) calcule o valor da estatística do teste z. qual é a sua conclusão? 
 
2) Considere o seguinte teste de hipóteses. 
Ho p= 0,20 
H1 p  0,20 
Uma amostra de 400 forneceu uma proporção da amostra de p = 0,175 
a) com  = 0,05 qual é a regra de rejeição 
b) calcule o valor da estatística do teste z. qual é a sua conclusão? 
 
 
3) Um estudo realizado pelo Sebrae mostrou que 64% dos clientes de supermercados 
acreditam que as marcas do supermercados são tão boas quanto as marcas locais em 
termos de qualidade de produto. Para investigar se este resultado se aplica ao seu 
próprio produto, o fabricante de um ketchup de marca local perguntou a 100 clientes 
de supermercados se eles acreditavam que a marca do supermercado era tão boa 
quanto a marca local. Use o quanto de que 52 dos clientes na amostra indicaram 
que a marca do supermercado era tão boa quanto a marca local para testar Ho: p  
0,64 e H1: p  0,64. Use um nível de significância de 0,05. Qual é sua conclusão? 
 
4) O Departamento de Águas de Honolulu sugeriu a adoção de uma regra por 
solicitação dos restaurantes da Ilha de Oahu para economizar água. Um gerente do 
restaurante estabeleceu que 30% dos clientes não bebem água. Por isso, a 
conservação da água viria não somente de água não usada em cada copo, mas 
também da água economizada na lavagem dos copos. Teste: p = 0,30 versus p  
0,30. Considere que uma amostra de 480 clientes mostrouque 128 não bebem água. 
Teste a reivindicação do gerente com um nível de significância de 0,05. Qual é o 
valor p e qual é a sua conclusão? 
 
5) Em um estudo da contaminação de peixes nos rios e lagos da nação, a Agência de 
Proteção ambiental concluiu que 91% dos locais em que se realizaram testes da 
qualidade da água mostraram a presença de PCB, um agente cancerígeno. Suponha 
que um estudo de acompanhamento de 200 rios e lagos em 1998 mostrou a presença 
de PCB em 160 casos. A evidência estatística confirma a conclusão de que a partir 
dos programas de limpeza das águas de 1998 se tenha reduzido a proporção de 
locais com PCB? Use um nível de significância de 0,05. 
 
Apostila elaborada tendo como referência os livros: 
ANDERSON, Denni J. WILLIAMS, Thomas A WILLIAMS, Thomas A. Estatística 
Aplicada à Administração e Economia. 2ª ed. São Paulo : Pioneira, 2002. 
LEVIN, Jack. Estatística aplicada a ciências sociais. 2ª ed. São Paulo : Harbra Ltda, 
1987. 
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. 2ª ed. São Paulo : Ed. 
Harper & Row do Brasil, 1981 
BARBETTA, PEDRO Alberto. Estatística aplicada às Ciências Sociais. 3ª ed. 
rev. Florianópolis : UFSC, 1998. 
SPIEGEL, Murray Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo : McGraww-Hill, 1982.