LISTA DE EXERCÍCIOS - POLIEDROS E PRISMAS

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1. (Enem) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes 
nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o 
canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do 
poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces. 
 
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das 
faces do troféu? 
a) 6 
b) 8 
c) 14 
d) 24 
e) 30 
 
2. (Uece) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número 
de arestas deste poliedro é 
a) 100. 
b) 120. 
c) 90. 
d) 80. 
 
3. (Uece) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágonos e 12 pentágonos. O 
número de vértices deste polígono 
a) 90. 
b) 72. 
c) 60. 
d) 56. 
 
4. (Enem 2ª aplicação) Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em 
uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, 
o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados 
correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos 
tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
 
Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica 
cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a 
a) 9, 20 e 13. 
b) 3, 24 e 13. 
c) 7,15 e 12. 
d) 10,16 e 5. 
e) 11,16 e 5. 
 
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5. (Upe) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, 
assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
e) 6 
 
6. (Enem PPL) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas 
congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas 
incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por 
exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos 
objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler 
V A F 2,− + = em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, 
respectivamente. 
 
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação 
entre o número de vértices e o número de faces? 
a) 2V 4F 4− = 
b) 2V 2F 4− = 
c) 2V F 4− = 
d) 2V F 4+ = 
e) 2V 5F 4+ = 
 
7. (Enem) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de 
resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como 
mostrado na figura. 
 
 
 
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume 
fosse de 2 400 cm3? 
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. 
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. 
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. 
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. 
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 
 
8. (Enem) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de 
cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo 
medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos 
chocolates que têm o formato de cubo é igual a 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
 
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9. (Enem) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para 
tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse 
produto para cada 1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de 
uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e 
comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é 
mantido a 50 cm da borda da piscina. 
 
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a 
atender às suas especificações técnicas é 
a) 11,25. 
b) 27,00. 
c) 28,80. 
d) 32,25. 
e) 49,50. 
 
10. (Famema) Um recipiente transparente possui o formato de um prisma reto de altura 15 cm 
e base quadrada, cujo lado mede 6 cm. Esse recipiente está sobre uma mesa com tampo 
horizontal e contém água até a altura de 10 cm, conforme a figura. 
 
 
 
Se o recipiente for virado e apoiado na mesa sobre uma de suas faces não quadradas, a altura 
da água dentro dele passará a ser de 
a) 4 cm. 
b) 3,5 cm. 
c) 3 cm. 
d) 2,5 cm. 
e) 2 cm. 
 
 
11. (Ufpr) A piscina usada nas competições de natação das Olimpíadas Rio 2016 possui as 
medidas oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de largura e 3 metros de 
profundidade. Supondo que essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, qual 
dos valores abaixo mais se aproxima da capacidade máxima de água que essa piscina pode 
conter? 
a) 37.500 litros. 
b) 375.000 litros. 
c) 3.750.000 litros. 
d) 37.500.000 litros. 
e) 375.000.000 litros. 
 
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12. (Enem) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de 
papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à 
disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito: 
 
- Caixa 1: 86 cm 86 cm 86 cm  
- Caixa 2: 75 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 3: 85 cm 82 cm 90 cm  
- Caixa 4: 82 cm 95 cm 82 cm  
- Caixa 5: 80 cm 95 cm 85 cm  
 
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço 
livre em seu interior. 
 
A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
13. (Enem) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. 
Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 
1
,
8
 
preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou 
reduzir a largura. 
 
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é 
a) 
1
8
 
b) 
7
8
 
c) 
8
7
 
d) 
8
9
 
e) 
9
8
 
 
14. (Upe-ssa 2) Qual é a capacidade, em litros, de uma cisterna que tem a forma da figura 
abaixo? 
 
 
a) 43,2 10 
b) 35,2 10 
c) 36,4 10 
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d) 49,6 10 
e) 410,5 10 
 
15. (Enem) Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando 
concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a 
laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 
3 32 m , 5 m e 310 m de concreto. 
 
 
 
Qual a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre 
de obras deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje? 
a) Dez caminhões com capacidade máxima de 310 m . 
b) Cinco caminhões com capacidade máxima de 310 m . 
c) Um caminhão com capacidade máxima de 35 m . 
d) Dez caminhões com capacidade máxima de 32 m . 
e) Um caminhão com capacidade máxima de 32 m . 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1:[C] 
 
Após os cortes, o poliedro P resultante é um sólido com + =6 8 14 faces. Portanto, a resposta 
é 14. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se V 32.= Por conseguinte, sendo F e A, 
respectivamente, o número de faces e o número de arestas, pelo Teorema de Euler, vem 
V F A 2 32 F A 2 F A 30.+ = +  + = +  = − 
 
Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, temos 3F 2A= e, portanto, 
3(A 30) 2A A 90.− =  = 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
F: número de faces 
A: número de arestas 
V: número de vértices 
 
20 6 12 5
A 90
2
 + 
= = 
 
F = 32 
V = 2 + A – F 
V = 2 + 90 – 32 
V = 60. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Uma pirâmide quadrangular possui 5 faces, 8 arestas e 5 vértices. Após os cortes, tais 
quantidades serão acrescidas em 4, 12 e 8 unidades, respectivamente. 
Portanto, a joia ficará com 9 faces, 20 arestas e 13 vértices. 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
A = (8.3)/2 = 12 e F = 8 
 
Logo, V – A + F = 2 
V – 12 + 8 = 2 
V = 6 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Poliedro de faces triangulares 
3F
A
2
 = 
3F F
V A F 2 V F 2 V 2 2V F 4
2 2
− + =  − + =  − =  − = 
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Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
O nível da água subiria 
2400
2cm,
40 30
=

 fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm− + = de altura. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Sendo a a aresta do cubo, temos: 
a3 = 4.18.3 
a3 = 216 
a = 6 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Calculando: 
3
produto
V 3 5 (1,7 0,5) 18 m 18.000 L
V 18 1,5 27 mL
=   − = =
=  =
 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Se h é a altura da água com o recipiente virado, então 
15 6 h 6 6 10 h 4 cm.  =    = 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Sabendo que 31m 1.000 L,= podemos concluir que a resposta é 
50 25 3 1000 3.750.000 L.   = 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
A caixa escolhida deve ser a número 3, pois se somarmos as diferenças de cada uma das 
dimensões tem-se: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Caixa 1 86 80 86 80 86 80 18
Caixa 2 não cabe 75 80
Caixa 3 85 80 82 80 90 80 17
Caixa 4 82 80 95 80 82 80 19
Caixa 5 80 80 95 80 85 80 20
 − + − + − =
  
 − + − + − =
 − + − + − =
 − + − + − =
 
 
Ou ainda pode-se calcular por volume: 
Caixa 1 86 86 86 636056
Caixa 2 não cabe 75 80
Caixa 3 85 82 90 627300 menor volume
Caixa 4 82 95 82 638780
Caixa 5 80 95 85 646000
   =
  
   = 
   =
   =
 
 
Resposta da questão 13: 
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 [D] 
 
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta original. Logo, 
segue que o volume da porta original é igual a x y z.  
 
Aumentando-se em 
1
8
 a altura da porta e preservando a espessura, deve-se ter, a fim de 
manter o custo com o material, 
 
1 1
9x 8z
y z x y z z ,
8 9
  =    = 
 
com 1z sendo a largura da nova porta. 
 
Portanto, a razão pedida é 1
z 8
.
z 9
= 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Desde que a base do prisma é um triângulo retângulo de hipotenusa 10 m e cateto 8 m, é fácil 
ver que tal triângulo é semelhante ao triângulo retângulo pitagórico de lados 5 m, 4 me 3 m. 
Logo, o outro cateto da base do prisma mede 6 m. 
Sabendo que 3 31m 1000dm= e que 31dm 1L,= temos 
3
3
4
1
6 8 4 96 m
2
96000dm
9,6 10 L.
   =
=
= 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Desde que a área exibida no projeto pode ser dividida em três retângulos de dimensões 
8 m 8 m, 3 m 7 m  e 3 m 5 m, podemos concluir que o volume da laje é dado por 
30,05 (8 8 3 7 3 5) 5 m .  +  +  = 
 
Portanto, segue que um caminhão com capacidade máxima de 35 m será suficiente.