Lista - EDL de 2 ordem

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande
Unidade Acadêmica de Ciências Exatas e da Natureza
Centro de Formação de Professores
Disciplina: Equações Diferenciais Lineares
Professora: Pammella Queiroz de Souza
2ª Lista
Nome: Matŕıcula:
Q1. Determine os valores de r para os quais a EDO dada tenha soluçoes da forma y(x) = erx:
a. y′ + 2y = 0 , b. y′′ + y′ − 6y = 0 , c. y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0 .
Q2. Determine os valores de r para os quais a EDO dada tenha soluções da forma y(x) = xr para x > 0:
a. x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 , b. x2y′′ − 4xy′ + 4y = 0 .
Q3. Encontre a solução geral das seguintes EDO’s abaixo:
a. y′′ + 2y′ − 3y = 0 e. y′′ + 3y′ + 2y = 0
b. 6y′′ − y′ − y = 0 f. 2y′′ − 3y′ + y = 0
c. y′′ + 5y = 0 g. 4y′′ − 9y = 0
d. y′′ − 9y′ + 9y = 0 h. y′′ − 2y′ − 2y = 0
Q4. Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
a. y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1 y′(0) = 1
b. y′′ + 4y′ + 3y = 0, y(0) = 2 y′(0) = −1
c. 6y′′ − 5y′ + y = 0 y(0) = 4 y′(0) = 0
d. y′′ + 3y′ = 0 y(0) − 2 y′(0) = 3
e. y′′ + 5y′ + 3y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0
f. 2y′′ + y′ − 4y = 0 y(0) = 0 y′(0) = 1
g. y′′ + 8y′ − 9y = 0 y(1) = 1 y′(1) = 0
h. 4y′′ − y = 0 y(−2) = 1 y′(−2) = −1
i. y′′ − y = 0 y(0) = 0 y′(0) = −1
Q5. Encontre o Wronskiano para o par de funções:
a. cos t, sin t
1
b. e−2t, te−2t
c. x, xex
d. cos2 θ, 1 + cos 2θ
Q6. Se W (f, g) é o Wronskiano de f e g, e se u = 2f − g, v = f + 2g, encontre o W (u, v) de u e v em
função de W (f, g).
Q07. Se o Wronskiano de f e g é t cos t− sin t e se u = f + 3g, v = f − g, encontre W (u, v).
Q08. Verifique se as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem o conjunto
fundamental de soluções?
a. y′′ + 4y = 0, y1(t) = cos 2t, y2(t) = sin 2t
b. y′′ − 2y′ + y = 0, y1(t) = et, y2(t) = et
c. x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, y1(x) = x, y2(x) = xex
Q09. Encontre a solução do p.v.i. dado
a. y′′ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
b. y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
c. y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(π/2) = 0, y′(π/2) = 2
d. y′′ + y = 0, y(π/3) = 2, y′(π/3) = −4
e. y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(π/4) = 2, y′(π/4) = −2
f. 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
g. y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
h. 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2
i. y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
Q10. Considere o p.v.i 
4y′′ + 4y′ + y = 0
y(0) = 1
y′(0) = 2
a. Resolva o p.v.i.
b. Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de máximo.
c. Mude a segunda condição inicial para y′(0) = b > 0 e encontre a solução em função de b.
d. Encontre as coordenadas do ponto máximo (tM , yM ) em função de b.
Q11. Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO
a. t2y′′ − 4ty′ + 6y = 0, t > 0, y1(t) = t2
2
b. t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0, y1(t) = t
c. t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0, y1(t) = t
−1
d. t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0, t > 0, y1(t) = t
e. xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0, y1(x) = sinx2
Q12. Encontre a solução do p.v.i.
a. y′′ + y′ − 2y = 2t, y(0) = 0, y′(0) = 1
b. y′′ + 4y′ = t2 + 3et, y(0) = 0, y′(0) = 2
c. y′′ − 2y′ + y = tet + 4, y(0) = 1, y′(0) = 1
d. y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t, y(0) = 1, y′(0) = 0
e. y′′ + 4y = 3 sin 2t, y(0) = 2, y′(0) = −1
3