Questão resolvida - Uma empresa deseja confeccionar um recipiente, sem tampa, em forma de cilindro e com capacidade para 1 litro de determinado líquido Determine as dimensões do recipiente de modo que

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma empresa deseja confeccionar um recipiente, sem tampa, em forma de cilindro e 
com capacidade para 1 litro de determinado líquido. Determine as dimensões do 
recipiente de modo que a quantidade de material usada seja mínima.
 
Resolução:
 
Primeiro, devemos ter em mente que;
 
1 l = 1 dm3
 Agora, é preciso definir uma função que represente a área superfícial da lata;
A = A + AS L b
 
A área lateral A é dada por : A = 2𝜋RhL L
Onde : R é o raio do Cilíndro que contém a lata e h a altura
 
A área da base é dada por : A = 𝜋Rb
2
Assim, a área da superfície da lata fica :
 
A = 2𝜋Rh +𝜋R A = 2𝜋Rh +𝜋RS
2
→ S
2
 
Agora, vamos usar o volume da lata para relacionar R e h;
 
V = A ⋅ h V = 𝜋R ⋅ hb →
2
 
Como o volume da lata deve ser de 1 L ou 1 dm , fica :3
 
1 = 𝜋R ⋅ h h =2 →
1
 𝜋R2
 
Substituindo a expressão encontrada para h em A , temos :S
 
A = 2𝜋R ⋅ +𝜋R A = +𝜋R A =S
1
 𝜋R2
2
→ S
2
 R
2
→ S
2 + 2𝜋R
 R
3
 
Para achar os pontos críticos de A , devemos fazer sua derivada A' , em relação ao raio e igualarS S
 a zero :
 
 
 
A' = A' = A' =S
3 ⋅ 2𝜋R ⋅R- 1 ⋅ 2 +𝜋R
 R
2 3
2
→ S
6𝜋R - 2 -𝜋R
 R
3 3
2
→ S
5𝜋R - 2
 R
3
2
 
= 0 5𝜋R - 2 = 0 5𝜋R = 2 R = R = R =
5𝜋R - 2
 R
3
2
→
3
→
3
→
3
2
5𝜋
→
3
2
5𝜋
→
2
5𝜋
 
R ≅ 0, 50 m
 
Para saber se R ≅ 0, 50 é ponto de máximo ou mínimo, vamos substituir um valor acima R = 1( )
e um valor abaixo R = -1 em A' :( ) S
 
A' 1 = A' 1 = A' 1 ≅ 13, 71 > 0S( )
5𝜋 1 - 2
 1
( )3
( )2
→ S( )
5𝜋- 2
1
→ S( )
 
A' -1 = A' -1 = A' -1 ≅ - 17, 71 < 0S( )
5𝜋 -1 - 2
 -1
( )3
( )2
→ S( )
-5𝜋- 2
1
→ S( )
Com isso, podemos concluir que é coordenada do ponto de mínimo de , pois, R ≅ 0, 50 AS
pelos valores de e percebemos que:A' 1S( ) A' -1S( )
O R mínimo já temos, substituíndo na expressão encontrada para h, fica:
h = h = h ≅ 1, 27 dm
1
 𝜋R2
→
1
 𝜋 0, 50( )2
→
Finalmente, as dimensões do cilíndro que minimizam o custo de produção da lata de óleo 
são, aproximadamente:
 
R = 0, 50 dm = 5, 0 cm e h = 1, 27 dm = 12, 7 cm
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
0, 50
3
(Resposta)