Aula2 1 f_AnaliseMatematica

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Disciplina: TEEE - Linhas de Transmissão 
 Aula 2.1.f - Análise Matemática 
de uma Linha de Transmissão 
2/11 
Teoria da Transmissão da Energia Elétrica: 
Análise Matemática 
   
t
i
xirxx
x
u





 
   
t
u
cxugxx
x
i






Equação diferencial da tensão: 
Equação diferencial da corrente: 
Dividindo por x: 
t
i
ri
x
u





 
t
u
cgu
x
i






Após diferenciações 
cruzadas e arrumações 
 
2
2
2
2
t
u
c
t
u
grcrgu
x
u









 
2
2
2
2
t
i
c
t
i
grcrgi
x
i









Equações das ondas 
Equações da telegrafia 
u(x,t)
g x
x
c x
l xr
i(x,t) i (x+ x,t)
x
u(x+ x,t)
3/11 
Solução das Equações Diferenciais no 
Domínio da Freqüência 
    x
2
xx2
x
2
UjcUjgrcUrg
dx
Ud 


  x
Fasor
x
x
Fasor
x
I tsenIi
U tsenUu


 
 
    x
2
xx2
x
2
IjcIjgrcIrg
dx
Id 


As equações diferenciais no domínio da freqüência ficam: 
Linha de corrente alternada em regime permanente: 
Re-arrumando 
   xx2
x
2
IyzIcjgjr
dx
Id 


   xx2
x
2
UyzUcjgjr
dx
Ud 


Onde: 
   jrz
 cjgy 
4/11 
Análise das Condições de Contorno 
 212
212
AA
yz
1
I
AAU






2x
2x
II
UU




[A] eAeA
yz
1
I
[V] eAeAU
yzx
2
yzx
1x
yzx
2
yzx
1x
















As soluções das equações diferenciais são da forma: 
Usando a referência no terminal receptor, para x=0, vem: 
Substituindo 
Em (19.1) 
(19.1) 
Resolvendo 
O sistema 
2
yzIU
A
2
yzIU
A
22
2
22
1






Substituindo em (19.1), vem: 
[A] e
yz2
yzIU
-e 
yz2
yzIU
I
[V] e
2
yzIU
e
2
yzIU
U
yzx-22yzx22
x
yzx22yzx22
x
















Equações gerais das 
linhas de transmissão 
5/11 
Análise da Equação da Linha de 
Transmissão de Corrente Alternada 
[A] e
yz2
yzIU
e
yz2
yzIU
I
[V] e
2
yzIU
e
2
yzIU
U
yzx22yzx22
x
yzx22yzx22
x

















    jcjgjryz 
xjxxyzx eeee 



Onde: 
xU

xI

- Tensão em um ponto x da linha 
- Corrente em um ponto x da linha 
Definindo o termo “constante de propagação” 
xe 
x
].[ Z
cjg
jr
yz C 


 


cZ

.
c
ZZ 0c
 
[A] e
Z2
ZIU
e
Z2
ZIU
I
[V] e
2
ZIU
e
2
ZIU
U
x
c
c22x
c
c22
x
xc22xc22
x



















Portanto a função senoidal ao longo da linha sofre: 
• Um amortecimento provocado por , =“constante 
de atenuação” 
• Um avanço de na fase, =“constante de fase”. 
O termo Onde “impedância característica”. Na prática r<<jl e g <<j c. 
Portanto As equações da linha ficam 
6/11 
O Comprimento de Onda de uma Linha 
É a distância entre dois pontos mais próximos da onda senoidal, cujas fases de 
oscilação estejam separadas de 2. 
f


Onde: 
- velocidade de propagação da onda de tensão; 
f – freqüência da fonte alimentadora. 
f [Hz]  [km] 
50 6.000 
60 5.000 
4 4 4 4
Para o transmissor
x
U20
U10
“Efeito Ferranti” 
7/11 
Operação da Linha na Potência Natural 
c
2
2c2
Z
U
IZZ


 
[A] eIIe
Z2
ZIZI
e
Z2
ZIZI
I
[V] eUUe
2
Z
Z
U
U
e
2
Z
Z
U
U
U
x
2x
x
c
c2c2x
c
c2c2
x
x
2x
x
c
c
2
2
x
c
c
2
2
x





























xU

• Para , substituindo nas equações da linha: 
xI
 2j
2
j
c
2
2
x
x eZeZ
I
U
I
U  




Observação: desaparecem os segundos termos das equações, os quais estão 
associados a ondas refletidas (transitório de energia). 
• Dividindo por : 
O defasamento entre tensão e corrente só depende do fator de potência da 
carga  a linha se comporta como um circuito puramente resistivo 
(série/paralelo)  não precisa de energia reativa externa para manutenção 
dos seus campos elétricos e magnéticos. A única energia absorvida pela 
linha é a energia ativa destinada a cobrir as perdas por efeito Joule e 
corona/dispersão. 
8/11 
Operação da Linha na Potência Natural 
  















cos
Z
U
PPe
Z
U
ReeIUReP
eIUSeI
eZ
eU
Z
U
I
eZZ ;IUjQPS
c
2
2
c2
j
c
2
2j
222
j
222
j
2j
c
0j
2
c
2
2
j
c2
*
22222





[W]. 
Z
U
PPZZ1cos
0
2
2
0c0c  [kV] em U2
A potência fornecida no terminal receptor será: 
Pc “potência característica”. Em geral  é muito pequeno (entre 1 e 5
o): 
 . kW IU3IU3P 22222  
 
 MW 
Z
U
PP
Z3
U
Z
U
I
0
2
2
02
0
2
0
2
2


 
Para um sistema trifásico: 
Como 
P0 “Potência natural da linha trifásica” 
9/11 
Critério para Escolha da Tensão de 
Transmissão, em Primeira Instância. 
 - kV ZPU 002 
890 
10/11 
Geometria de Feixes não Convencionais – 
Tecnologia LPNE 
 Objetiva minimizar a relação l/c e portanto 
maximizar a potência natural. 
 Restrições: 
 clearances; 
 corona crítico visual; 
 gradiente eletrostático ao nível do solo (5 kV/m); 
 efeitos eletromagnéticos 0,1 mT (mile-Tesla); 
 esforços mecânicos. 
11/11 
Efeitos da Tecnologia LPNE 
P
P0
1
Indutiva
Capac itiva
Potênc ia Reativa
Funç ão da
tec nologia “LPNE”
Ponto operac ional
ótimo
Aumentar P0  
maior P para1
P
P
0

P = potência transmitida 
P0 = potência natural