primeira lista

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
ÁREA2
1o Semestre de 2005
PRIMEIRA LISTA DE EXERĆICIOS
Os problemas que seguem foram propostos em exerćıcios escolares em peŕıodos anteriores.
Para localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles terá uma sigla do
tipo (n-pq,uv), onde n é 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, é o ano, 80 ≤ pq ≤ 97, e uv pode assumir
os valores, pe (primeiro exerćıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como às vezes acontece
de um professor fazer modificações em uma questão de um exerćıcio escolar, no momento de aplicá-lo,
e, eu não tive acesso a nenhuma dessas mudanças, pode acontecer que alguns desses problemas não
correspondam exatamente ao que foi proposto nas avaliações.
1- ( 1-95,pe) Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, resolvendo o problema
de valor inicial correspondente se necessário.
a) (1 pt) y
′
+ (cotanx)y = 4senx, y(−π/2) = 0.
b) (1 pt) (x2 − 2y2)dx + xydy = 0.
c) (1 pt) (x + 2y−1)dy + ydx = 0.
d) (1 pt) xdy = (y + x2)dx.
2- ( 2-90,pe) (i) Encontre uma solução não nula, y1(x), de y
′ − 2y = 0.
(ii) Encontre todas as funções A(x) de maneira que y(x) = A(x)y1(x) é solução de
y′ − 2y = x2e2x.
3- ( 2-91,pe) Encontre a faḿılia ortogonal da faḿılia de curvas y2 − x = cx.
4- ( 1-90,pe) Encontre a faḿılia ortogonal da faḿılia de curvas y = cex.
5- ( 1-90,pe) Considere o problema de valor inicial
y′ =
x2 + y2
xy
, y(1) = 2.
i) Encontre uma solução para este problema.
ii) Mostre que ele possui solução única.
iii) Determine o intervalo em que a solução encontrada em (i) é válida.
6- ( 1-90,pe) Mostre que todas as soluções da EDO y′ = −xy e
y2
1 + ex2
que cortam o eixo dos y são
limitadas.
1
7- ( 2-91,pe) Mostre que a solução do problema de valor inicial
y′ = (y2 − 1)(y2 − 4), y(0) = 0 satisfaz a desigualdade |y(x)| ≤ 1, para todo x.
8- ( 1-90,pe) Resolva o problema de valor inicial: y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
9- ( 2-94,pe) Escolha duas das EDO’s abaixo e resolva-as.
a) x cos(y/x)y′ = y cos(y/x) + x.
b) (3xy + x2)y′ + y2 + xy = 0.
c) y′ =
x5 − 3y
x
.
10- ( 1-94,pe) Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
1. y′ = 1 + x + y2 + xy2.
2. 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0.
3. (x3y2 + x)y′ + (x2y3 + y) = 0.
4. y′ =
2xy + y2
x2
, x > 0.
5. yy′′ + (y′)2 = 0.
6. xy′′ + y′ = 1.
11- ( 1-94,pe) Dada a equação y′ = 3y
2
3 :
1. Onde o teorema de existência e unicidade é válido?
2. Verifique que as funções u(x) = x3 e v(x) = 0 são soluções da EDO.
3. O problema de valor inicial y′ = 3y
2
3 , y(0) = 0, tem solução única? Compare com o
resultado do item 1.
12- ( 1-94,sc) Escolha e resolva duas das questões abaixo: (Obs. As soluções podem ser dadas
implicitamente.)
(a) Encontre a faḿılia de soluções da EDO y′ = y2 sec x tan x.
(b) Encontre a faḿılia de soluções da EDO y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) Mostre que 3xy + y2 + (xy + x2)y′ = 0 não é uma equação exata e admite x como fator
integrante. Além disso, encontre a faḿılia de soluções da EDO.
13- ( 1-92,pf) Resolva a equação f(x) = 1 +
∫ x
0
tf(t)dt.
14- (2-98,pe) Resolva :
a) sen x cos y dx− cos x sen y dy = 0.
b) (
1
x2
+
3y2
x4
)dx =
2y
x3
dy, y(1) = 1.
c) y′ + xy = x3y3.
2
d) y′′ =
1
2y′
.
e) y′′ + 2y′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = −3.
15- (2-98,pe) Considere a EDO y′ = (y2 − x2) sen(xy) + 1.
a) Quantas soluções y = f(x) desta equação são tais que f(0) = 0? Justifique.
b) Determine se é ou não posśıvel existir uma solução y = f(x) desta EDO tal que
f(−1) = f(1) = 0. Justifique.
16- (2-98,pf) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial
abaixo:
(a) (1, 0 pts) y′ + 2xy = 2xex
2
.
(b) (1, 0 pts) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2.
(c) (1, 0 pts) y
′
=
e−x − ex
3 + 4y
, y(0) = 1.
(d) (1, 0 pts) y
′′
+ 4y = x2.
17- (2-98,sc) Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o
caso:
(a) (1, 0 pts) y′ = y2 sec x tan x.
(b) (1, 0 pts) y′ = 1 + x2 − y2 − x2y2, y < 1.
(c) (1, 0 pts) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
(d) (1, 0 pts) y′′y′ − x = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1.
18- (1995-1)Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas usando o método dos coe-
ficientes a determinar ou o método da variação dos parâmetros:
a) (1,5 pts) y
′′
+ 2y
′
= 3 + 4sen(2x).
b) (1,5 pts) y
′′ − 2y′ + y = ex/(1 + x2).
19- (1995-2)(2,5 pt): Usando o método dos coeficientes indeterminados, ache a solução geral da
EDO y′′ + 4y = 3sen2x.
20- (1995-2)
a) (0,5 pt) Encontre um conjunto fundamental de soluções para a EDO y′′ − 2y′ + y = 0,
b) (1,5 pt) Use o método da variação dos parâmetros para determinar uma solução particular
da EDO
y′′ + 2y′ + y = e−xlnx, x > 0 ,
c) (0,5 pt) Encontre a solução geral da EDO do ı́tem (b).
21- (1984-1) Determine uma solução particular da equação y′′ + 2y′ + y = 3ex.
22- (1994-1) Encontre uma solução particular do problema y′′+y = g(x), para cada uma das escolhas
abaixo para g(x) :
a) g(x) = sen(x).
3
b) g(x) = sec3(x), |x| < π/2.
23- (1984-1) Obtenha a solução geral da equação y′′ + y = csc x, 0 < x < π.
24- (1984-1 Determine a solução geral da equação y′′ + 2y′ + y = ex ln x.
25- (1984-1 Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0.
26- ( 1991-2) Utilize o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral da equação
x2y′′ − 3xy′ + 4y = x3, x > 0.
27- ( ? ?) No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ação de uma força
externa obtemos a equação
y′′ + cy′ + y = sen t.
a) Determine a função y = y(t), que fornece a posição do corpo para t ≥ 0, em regime
estacionário.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude
de y(t) não exceda 4 unidades de comprimento.
28- ( 1994-2) Mostre que 1+x e ex formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea
correspondente a xy′′− (1 + x)y′+ y = x2e2x, x > 0, e, encontre a solução geral da EDO dada.
29- ( 1994-2) Mostre que a substituição x = et transforma a equação x2
d2y
dx2
+ ax
dy
dx
+ by = 0, a e
b constantes e x > 0, em uma equação com coeficientes constantes. Utilize este processo para
resolver a equação x2
d2y
dx2
+ 2x
dy
dx
− 6y = (ln x)2, x > 0.
30- ( 1994-2) Considere as EDO’s : y′′ + 2x−1y′ + y = 2x2 + 12 e y′′ + x−1y′ − 4x−2y = 3x−1.
Obtenha as soluções das EDO’s, a partir das funções : x−1 sen x, x2, x, x−1 cos x.
31- (1998-2) Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para
cada uma das equações não homogêneas abaixo.
(Não é necessário calcular as constantes!!!)
a) y′′ + 2y′ + 5y = x3 sen x.
b) y′′ + 2y′ + 5y = xe−x cos(2x).
c) y′′ + 2y′ + 5y = e−2x.
32- (1998-2) Encontre a solução geral da equação diferencial
y′′ − 2y′ + y = e
x
1 + x2
.
33- ( 1-95,pe) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
a) (1,0 pt) y
′′
+ y
′
= e−x.
b) (1,0 pt) y
′′
+ y(y
′
)3 = 0.
4
c) (1,0 pt) y
′′ − 9y′ + 20y = 0.
d) (1,0 pt)y
′′ − 2y′ + 4y = 0.
34- ( 1-95,pe) Sabendo que y1(x) = x
2 é solução de x2y
′′
+ xy
′ − 4y = 0, determine:
a) Uma solução da equação dada da forma y2(x) = v(x)y1(x), de modo que {y1, y2} seja um
sistema fundamental de soluções.
b) Todas as soluções y da equação que satisfazem y(1) = 0.
35- ( 2-90,pe) Determine a solução da EDO y′′+y′−6y = 0 que satisfaz a lim
x→∞
y(x) = 0 e y(0) = 0.
36- ( 1-90,pe) Para quais valores de r, y(x) = erx é solução da EDO y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0?
37- ( 2-91,pe) Ache a solução geral de y′′ + 2
x
y′ + y = 0, x > 0. Sugestão: Faça y(x) = v(x)/x e
substitua na equação.
38- ( ?-??,pe) Considere a equação diferencial y′′+ cy′+ y = 0, onde c é uma constante, 0 < c < 5.
i) Forneça a solução geral y(x) da equação.
ii) Qual o limite de y(x) quando x tendepara o infinito, para os diversos valores de c no
intervalo citado acima?
39- ( 2-89,pe) Ache os valores de α para os quais a equação
y′′ − α(α− 1)y′ + 1
4
[α(α− 1)2 + 1]y = 0
admite apenas soluções limitadas.
Observação : y(x) é limitada, se existe M > 0 tal que |y(x)| < M , para todo x∈R.
40- ( 2-94,pe) Resolva as EDO’s abaixo:
a) y′′ − 4y′ − 5y = 0.
b) y′′ + 4y′ + 13y = 0.
c) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = (sen x− 6)e−x.
41- ( 2-91,pf) Determine α de modo que todas as soluções da equação
y′′ + (α2 − 1)y′ + αy = 0,
sejam limitadas.
42- (2-98,pe) Resolva a equação diferencial (1− x2)y′′ − xy′ + y = 0, |x| < 1.
Sugestão: Faça a mudança de variável x = cos t.
Observações finais: Estas listas apenas complementam os exerćıcios propostos no livro
texto, e, de modo algum tem o objetivo de substituir os problemas do livro do Boyce & diPrima nem
tampouco sugerir o estilo dos problemas que comporão os nossos exerćıcios escolares.
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