PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO E POLÍGONOS

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PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
1) Baricentro – Medianas 
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo 
ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que 
conte o vértice é o dobro da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura: - - 
Teorema da base média de um triângulo: Se um segmento tem 
extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, 
então ele é paralelo ao terceiro lado e tem metade do comprimento 
do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: A mediana relativa a hipotenusa de um triângulo 
retângulo é igual a metade da hipotenusa. 
2) Incentro – Bissetrizes internas 
O ponto de encontro 
das bissetrizes internas de 
um triângulo é chamado de 
incentro. Este ponto está a 
igual distância dos lados do 
triângulo. 
 
 
 
3) Circuncentro – Mediatrizes 
O ponto de interseção das 
mediatrizes dos lados de um 
triângulo é o circuncentro do 
triângulo. Este ponto está a igual 
distância dos vértices do triângulo 
e é o centro da circunferência 
circunscrita a ele. 
 
Ortocentro – Altura 
É o ponto de interseção das retas suportes das alturas de um 
triângulo. 
 
 
 
 
 
Teorema da bissetriz interna: Uma bissetriz interna de um 
triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) 
proporcionais aos lados adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Teorema da bissetriz externa: Em um triângulo qualquer, a 
bissetriz externa de um ângulo externo divide o lado oposto em 
segmentos proporcionais aos lados adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS 
Dados vários pontos A, B, C, D, ...., N em ordem e de forma que 
três pontos consecutivos não sejam colineares, a figura formada 
pela reunião dos segmentos chama-se linha 
poligonal aberta e os pontos A e M são os extremos. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Unindo-se os extremos obtemos uma linha poligonal fechada ou 
polígono. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Polígono Convexo e polígono Côncavo 
Um polígono é chamado de convexo quando o segmento que 
liga quaisquer dois pontos no polígono está totalmente dentro dele. 
 
 
 
 
 
 
 
 Os pontos A, B C, ..., N são chamados de vértices do polígono. 
 Os segmentos formados por vértices consecutivos do polígono 
são chamados de lado do polígono. 
 Dois lados que têm um vértice comum são lados consecutivos. 
 Dois lados consecutivos formam um ângulo no interior do 
polígono chamado de ângulo interno. 
 O segmento que tem dois vértices não consecutivos como 
extremos é chamado de diagonal do polígono. 
 A soma dos lados do polígono é chamada de perímetro. 
Gênero de um polígono 
Os polígonos recebem o nome de acordo com a quantidade n de 
lados. 
 
 
 
 
 
 
Número de diagonais de um polígono de n lados ( 
 
 
 
 
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados 
( 
 
 
 
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre 
igual a 3600. 
 
 
 Polígono regular 
Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os 
lados congruentes e todos os ângulos congruentes. 
 Ângulo interno de um polígono regular 
 
 
 
 
 Ângulo externo de um polígono regular 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Sendo o ΔABC retângulo em A e M o ponto médio de BC , calcule 
x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura, Q é o ponto médio de AB . QP é paralelo a BC . 
Sendo AC = 30cm, determine PO . 
 
 
 
 
3. Na figura, sabe-se que  = 900, é bissetriz de 
e que . Determine o ângulo . 
 
 
 
 
4. Na figura, ABCD é retângulo, M é o ponto médio de e o 
triângulo ABM é equilátero. Sendo = 15, calcule AP . 
 
 
 
 
 
5. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um 
quadrado e DCE é um triângulo equilátero. 
 
 
 
 
6. Considere um eneágono regular e calcule: 
a) A soma dos ângulos internos. 
b) A soma dos ângulos externos. 
c) Seu ângulo externo. 
d) Seu ângulo interno. 
 
 
7. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos 
vale 2160º? 
8. Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices 
tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache: 
a) O polígono; 
b) O total de diagonais; 
c) A soma dos ângulos internos; 
d) A soma dos ângulos externos; 
e) A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo. 
9. Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono. 
10. Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono. 
11. Calcule o número de diagonais de um decágono. 
12. Calcule o número de diagonais de um icoságono. 
13. Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo 
do número de lados. 
14. Determine o polígono cujo número de diagonais é o 
quádruplo do número de lados. 
15. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual 
ao triplo do ângulo externo. 
16. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado. 
Determine a medida do ângulo α em cada caso: 
a) b) 
 
 
 
17. Na figura tem-se um octógono regular. Determine a medida 
do ângulo α: 
a) 220 30’ 
b) 300 
c) 450 
d) 600 
e) 900 
18. Num polígono regular ABCD... as retas que contém os lados 
AB e CD formam um ângulo de 60º. Determine que polígono é esse. 
19. A figura seguinte, ABCDE e DEF são polígonos regulares. 
Calcule o ângulo α formado pelos prolongamentos de BC e DF. 
 
 
 
 
 
 
20. Num polígono regular ABCD ... a diagonal AC forma com o 
lado BC um ângulo de 200. Calcule o gênero e o número de 
diagonais desse polígono. 
21. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. 
Calcule o número de diagonais deste polígono. 
22. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação 
 , onde a é o número de lados do polígono. Qual é o nome 
desse polígono? 
23. Qual o polígono convexo em que de um mesmo vértice 
traçam-se 12 diagonais? 
24. Qual o gênero de um polígono regular cujo ângulo externo 
mede 400? 
25. Num polígono regular convexo ABCDE..., o ângulo 
mede 200. Determine o número de lados do polígono. 
26. ABCDE... é um polígono regular convexo de 2cm de lado. As 
diagonais cortam-se formando um ângulo de 180. Calcule o 
perímetro desse polígono. 
27. (CAP-UFRJ) Se ABCDE é um pentágono regular convexo, 
calcule a medida do ângulo formado pelas diagonais AC e AD. 
28. Determine a medida do menor ângulo formado pelas 
bissetrizes externas relativas aos vértices B e C de um triângulo ABC, 
sabendo que o ângulo  mede 760. 
29. Determine o número de diagonais de um polígono regular 
convexo cujo ângulo externo vale 240. 
30. Determine o número de lados de um polígono convexo regular 
cujo ângulo interno é o quíntuplo do externo. 
 
GABARITO 
1. a) x = 400 e y = 200 ; b) x = 4 e y = 36 ; c) x = 300 e y = 150 ; d) x = 
500 e y = 700 // 2. PO = 5 // 3. 540 // 4. 10 // 5. 750 e 150 
// 6. a) 12600 ; b) 3600 ; c) 400 ; d) 1400 // 7. dodecágono // 
8. a) dodecágono ; b) 54 ; c) 18000 ; d) 3600 ; e) ai = 150
0 e ae = 30
0 
// 9. 14400 // 10. 32400 // 11. 35 // 12. 170 // 13. 
eneágono // 14. undecágono // 15. octógono // 16. a) 180 ; 
b) 180 // 17. A // 18. hexágono // 19. 240 // 20. eneágono; 
d = 27 // 21. 54 // 22. pentágono // 23. pentadecágono // 
24. eneágono // 25. 18 // 26. 40 cm // 27. 360 // 28. 
520 // 29. 90 // 30. 12 
 
QUADRILÁTEROS 
Definição: É todo polígono que possui quatro lados. 
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 3600. 
Propriedades das bissetrizes 
1) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos 
consecutivos de um quadrilátero é igual a semissoma dos outros 
dois ângulos internos. 
2) O ângulo formadopelas bissetrizes de dois ângulos externos e 
consecutivos de um quadrilátero é igual a semissoma dos dois 
ângulos internos adjacentes a eles. 
 
 
PARALELOGRAMO 
É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. 
 
 
Propriedades do paralelogramo 
1) Os lados opostos são congruentes; 
2) Os ângulos opostos são congruentes; 
3) Dois ângulos adjacentes são sempre suplementares; 
4) As diagonais cortam-se ao meio 
Principais paralelogramos 
1) Retângulo: Possui os quatro ângulos retos. 
 
 
As diagonais do retângulo são congruentes. 
2) Losango: Possui os quatro lados congruentes. 
 
 
 
As diagonais do losango são perpendiculares e são bissetrizes dos 
ângulos internos. 
3) Quadrado: Tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos 
retos. 
 
 
 
O quadrado é um retângulo e um losango 
TRAPÉZIO 
Definição: É o quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos. 
Os lados paralelos são chamados de bases do trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 
Em todo trapézio ABCD temos de bases BC e AD, como na figura, 
temos 
Tipos de trapézio: 
1) Escaleno: Os lados não paralelos não são congruentes. 
2) Isósceles: Os lados não paralelos são congruentes. 
Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes. 
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 
3) Retângulo: Possui dois ângulos internos retos. 
 
 
 
 
 
 
Base média do trapézio 
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados 
não paralelos de um trapézio, então ele é paralelo às bases e é igual 
à semissoma das bases. 
Mediana de Euler 
É o segmento que une os pontos médios das diagonais de um 
trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Em um trapézio isósceles, as projeções dos lados não paralelos 
sobre a base maior são iguais à mediana de Euler. 
EXERCÍCIOS 
1. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois 
ângulos adjacentes ao mesmo lado não paralelo de um trapézio. 
2. Em um quadrilátero ABCD . Qual o ângulo 
formado pelas bissetrizes externas dos ângulos e qual o ângulo 
formado pelas bissetrizes internas de ? 
3. Em um retângulo, uma diagonal forma um ângulo de 280 com um 
dos lados. Qual o menor ângulo que as diagonais formam entre si? 
4. Em um paralelogramo, o ângulo agudo está para o obtuso assim 
como 4 está para 5. Calcular os ângulos do paralelogramo. 
5. (UNESP) – Considere as seguintes proposições: 
• todo quadrado é um losango; 
• todo retângulo é um paralelogramo; 
• todo quadrado é um retângulo; 
• todo triângulo eqüilátero é isósceles. 
Pode-se afirmar que 
A) só uma é verdadeira. C) só uma é falsa. 
B) todas são verdadeiras. D) todas são falsas. 
6. (UFMG) – Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. 
Seja R o conjunto de todos os retângulos. 
Seja L o conjunto de todos os losangos. 
Seja Q o conjunto de todos de quadrados. 
Marque a alternativa errada. 
 
 
A) R ⊂ P C) Q – R = ∅ 
B) L ⊂ P D) R ∪ L = P 
7. No paralelogramo ABCD da figura, é o dobro de e AM 
= MB. Se o perímetro de ABCD é 24 cm, então, o lado BC, em 
centímetros, é: 
A) 4 cm 
B) 5 cm 
C) 6 cm 
D) 8 cm 
8. As bissetrizes de dois vértices não opostos de um paralelogramo 
cortam-se formando um ângulo de 
A) 300 B) 450 C) 600 D) 900 
9. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor em graus, de α + β é 
A) 90 
B) 120 
C) 130 
D) 220 
 
 
10. Prolonga-se a diagonal BD de um quadrado ABCD de um 
segmento BE = AB. Calcule o maior ângulo do triângulo CDE 
a) 1000 c) 1220 30’ 
b) 1200 d) 1350 
11. (UMC-SP) Um tapete retangular de 136 cm de largura tem, na 
sua composição, retângulos e losangos, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Os losangos têm seus vértices nos pontos médios dos lados do 
retângulo que os contém e os retângulos têm seus vértices nos 
pontos médios dos lados do losango. A medida do lado AB, em 
centímetros, é: 
A) 17 B) 34 C) 42 D) 51 
12. Observe a figura. 
Nela, ABCD é um quadrado, BC = BE e o ângulo mede 200. 
O valor de x, em graus, é: 
 
 
 
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 
13. (CESGRANRIO) As bases e de um trapézio medem 42cm 
e 112cm, respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo 
PNM, então o lado mede: 
A) 154cm D) 77cm 
B) 133cm E) 70cm 
C) 91cm 
14. (UPE/05) No paralelogramo ABCD, o ponto M é o ponto médio 
do lado . Se mede 12cm, pode-se afirmar que mede: 
A) 6cm 
B) 5cm 
C) 4cm 
D) 8cm 
E) 7cm 
15. Num quadrilátero convexo ABCD, os ângulos e 
 medem 1200 e 800, respectivamente. O valor do ângulo agudo 
formado pelas bissetrizes internas dos outros dois ângulos desse 
quadrilátero, em graus, é: 
a) 100 b) 80 c) 20 d) 40 
16. Observe a figura, nele CFE é um triângulo equilátero e ABCD é 
um losango. Sabendo que GD≡HB e que = 700, então podemos 
afirmar que o valor da diferença é igual a: 
a) 50 
b) 100 
c) 150 
d) 200 
 
17. Num quadrilátero ABCD, os ângulos medem, 
respectivamente, 600 48’ e 210 12’. Calcular o ângulo agudo formado 
pelas bissetrizes internas de . 
18. Calcular o menor ângulo de um paralelogramo, sabendo que a 
diferença de dois ângulos consecutivos é igual a 
 
 
 da soma de todos 
os ângulos internos desse paralelogramo. 
19. Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é a metade da 
soma dos outros três. Calcule os ângulos do trapézio. 
20. Em um trapézio, a base menor é 
 
 
 da base maior e a diferença 
entre elas é 8 cm. A base média mede: 
 
 
GABARITO 
1. 900 // 2. 1000 e 1000 // 3. 560 // 4. 800; 900; 800 e 900 
// 5. B // 6. D // 7. A // 8. D // 9. C // 10. D // 
11. B // 12. B // 13. E // 14. A // 15. C // 16. B // 
17. 410 // 18. 720 // 19. 600 ; 1200 ; 600 e 1200 // 20. 8 cm