Questão resolvida - Determine a área máxima de um triângulo retângulo de hipotenusa A 6 cm - problema de otimização - Cálculo I

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• Determine a área máxima de um triângulo retângulo de hipotenusa .A = 6 cm
 
Resolução:
 
A representação desse triângulo retângulo pode ser vista a seguir;
 
 
Pelo teorema de Pitágoras, temos que a hipotenusa ao quadrado é igual a soma do 
quadrado dos catetos, matematicamente, fica;
 
6 = x + y( )2 2 2
 Isolando ;y
 
6 = x + y 36 = x + y x + y = 36 y = 36 - x( )2 2 2 → 2 2 → 2 2 → 2 2
 
y = 36 - x2
 
A área desse triângulo é dada por;
 
A =
xy
2
 
 
6 cm
y
x
(1)
(2)
Substituindo 1 em 2, ficaremos com a área apenas em função de , como visto na sequência:x
 
A x =( )
x
2
36 - x2
Agora, derivamos para, posteriormente, igualar a derivada a e obter os valores de A x( ) 0 x
do(s) ponto(s) crítico(s);
 
"Adequando" a função :
 
A x = = x = x 36 - x( )
x
2
36 - x2 1
2
36 - x2
1
2
2
1
2
 
Derivando e simplificando :
A' x = 36 - x - 36 - x x = 36 - x -( )
1
2
2
1
2 2
-
1
2 2
1
2
2
1
2 x
36 - x
2
2
1
2
 
A' x = = =( )
1
2
36 - x ⋅ 36 - x - x
36 - x
2
1
2 2
1
2 2
2
1
2
1
2
36 - x - x
36 - x
2
+
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
36 - x - x
36 - x
2
1 + 1
2 2
2
1
2
 
A' x = = = =( )
1
2
36 - x - x
36 - x
2
2
2 2
2
1
2
1
2
36 - x - x
36 - x
2
1
2
2
1
2
1
2
36 - x - x
36 - x
2 2
2
1
2
1
2
36 - 2x
36 - x
2
2
1
2
 
A' x = = = =( )
1
2
2 18 - x
36 - x
2
2
1
2
2
2
18 - x
36 - x
2
2
1
2
18 - x
36 - x
2
2
1
2
 
 
 
A' x = 1 ⋅ 36 - x + 36 - x ⋅ -2x x = 36 - x - 36 - x x( )
1
2
2
1
2 1
2
2
-1
1
2
( )
1
2
2
1
2 2
1 - 2
2 2
A' x =( )
18 - x2
36 - x2
 
Depois de derivar e simplificar, agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para ;x
 
= 0 18 - x = 0 ⋅ 18 - x = 0 -x = - 18
18 - x2
36 - x2
→
2 36 - x2 → 2 → 2
 
-x = - 18 ⋅ -1 x = 18 x = ± x = ± x = ±32 ( ) → 2 → 18 → 9 ⋅ 2 → 2
 
O valor negativo não nos interessa, vamos verificar que tipo de ponto crítico se trata o valor
positivo encontradado para x, para isso, vamos substituir um valor anterior a 3 x = 3 e 2 ( )
um valor posterior a 3 x = 5 na derivada e verificar qual o sinal dos valores encontrados;2 ( )
 
x = 3 A' 3 = A' 3 = A' 3 = > 0→ ( )
18 - 3( )2
36 - 3( )2
→ ( )
18 - 9
36 - 9
→ ( )
9
27
 
x = 5 A' 5 = A' 5 = A' 5 = < 0→ ( )
18 - 5( )2
36 - 5( )2
→ ( )
18 - 25
36 - 25
→ ( )
-7
11
 
Onde a função da derivada é negativa; a função decresce e, onde a derivada é positiva, a 
função cresce, assim, podemos montar o seguinte esquema;
Dessa forma, podemos concluir que o encontrado é de um ponto de máximo, substituindo x
este valor em 1, encontramos o de máximo;y
y = y = 318 → 2
 
Conhecendo as coordenadas e dos pontos de máximo, vamos substituir em 2 e x y
 
 
decrescecresc
e
3 2
y = y = y = y =36 - 3 2
2
→ 36 - 3( )2 2
2
→ 36 - 9 ⋅ 2 → 36 - 18
encontrar a área máxima;
 
A = 9 cmmáx
2
 
 
A = A = A =
3 ⋅ 3
2
2 2
→
9
2
2
2
→
9 ⋅ 2
2
(Resposta )