LISTA PARA AVALIAÇÃO DE CONTROLE DE SISTEMAS

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LISTA PARA AVALIAÇÃO DE CONTROLE DE SISTEMAS – A1
DISCENTES: MARCOS DANIEL DO NASCIMENTO SILVA (RA: 1282022390) e JOÃO AUGUSTO DE MEDEIROS LIMA (RA: 1281919701).
1. Sabendo que e , temos:
a. . 
Daí, obtém-se:
b. . 
Daí, obtém-se:
c. . 
Daí, obtém-se:
2. 
a. Sabendo que , temos:
.
Daí, obtém-se:
b. Sabendo que a forma padrão das funções de transferência de primeira ordem é . Do item anterior, obtemos: b1 = 0,5; a0 = 1 e a1 = 0,25. A reposta ao degrau de sistemas de primeira ordem é dada por:
Aplicando os valores de b1, a0 e a1, têm-se: 
Para t = t0 = 0, a resposta y(t) ao degrau unitário é: 
c. A constante de tempo τ é dada por: 
O tempo de subida tR é dado por: 
O tempo de acomodação da planta ts é dado por: 
d. A constante estática da planta é dada por: 
3. A função de transferência de malha fechada é dada por: . Desse modo, sabendo que e , temos:
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 8;
den = s^2+14*s+24;
Gs = num/den;
step(Gs);grid on;
4. Sabe-se que uma função de transferência de primeira ordem pode ser escrita como: . Pelo gráfico, pode-se determinar a constante de tempo por meio do seguinte raciocínio: . Assim, obtemos: . Para uma amplitude de 1,9, temos t = 2 segundos. Logo, a constante de tempo τ é igual a 2 segundos. O gráfico também nos permite determinar o ganho estático da planta: . Desse modo, como não há atraso (θ é nulo), a função de transferência da planta é dada por: .
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 3;
den = 2*s+1;
Gs = num/den;
step(Gs);grid on;
5. Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior, pelo gráfico do comportamento da função de transferência, temos:
.
Para uma amplitude de 13,8, temos t = 9 segundos. Como o sinal de entrada passou a ter efeito em t = 5 s, a constante de tempo é: . Uma vez que o sinal de entrada foi aplicado em t = 2 segundos, mas surtiu efeito apenas em t = 5 segundos, temos um atraso θ de 3 segundos. Podemos ainda determinar graficamente o ganho estático da planta: . Desse modo, a função de transferência da planta é representada da seguinte forma:
.
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 0.3;
den = 4*s+1;
Gs = num*exp(-3*s)/den;
step(Gs);grid on;
6. Para determinar a resposta mais rápida, deve-se analisar o coeficiente de amortecimento da planta (ζ) considerando a representação usual de funções de segunda ordem: .
a. 
b. 
c. 
Nota-se que todas as funções de transferência possuem a mesma frequência de oscilação natural: . Agora, obtém-se o coeficiente de amortecimento de cada uma das plantas:
Para o item a), temos: . Nesse caso, têm-se um sistema superamortecido. Para o item b), temos: . Nesse caso, têm-se um sistema subamortecido (apresenta sobressinal). Para o item c), temos: . Nesse caso, têm-se um sistema criticamente amortecido.
Sabe-se que um sistema criticamente amortecido tem a resposta mais rápida, logo, a função de transferência do item c) apresenta a resposta mais rápida sem sobressinal quando submetida a uma entrada do tipo degrau unitária.
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 100;
den1 = s^2+40*s+100;
Gs1 = num/den1;
den2 = s^2+5*s+100;
Gs2 = num/den2;
den3 = s^2+20*s+100;
Gs3 = num/den3;
step(Gs1,'r',Gs2,'b+',Gs3,'g*');grid on;
7. Sabendo o sistema descrito é subamortecido (0<ζ<1), temos:
Como o valor do tempo de subida é dado (tR=1,05), pode-se obter o valor de ωn: 
Uma vez que o sobressinal máximo (Mp=16%) também é fornecido, pode-se encontrar o coeficiente de amortecimento do sistema:
A representação usual de funções de segunda ordem é dada por . Daí, temos: 
8. Sabendo que o RA do discente “Marcos Daniel do Nascimento Silva” é 1282022990, a constante A da função de transferência é igual a 0 (zero). Para que o sistema seja o mais rápido possível sem sobressinal, ele deve ser do tipo criticamente amortecido (ζ=1). A função de transferência de malha fechada é dada por: . Desse modo, sabendo que e , temos:
Considerando a representação usual de funções de segunda ordem e ζ=1, temos: . Conclui-se ainda que .
Logo, 
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 0.3;
den = 4*s+1;
Gs = num*exp(-3*s)/den;
step(Gs);grid on;
9. Considerando um sistema cuja equação característica é , aplica-se o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz:
	s4
	1
	12
	0
	s3
	6
	8+8Kc
	0
	s2
	b1
	b2
	b3
	s1
	c1
	c2
	c3
	s0
	d1
	d2
	d3
	
Daí, temos:
Segundo o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para que o sistema seja estável, os coeficientes b1, c1 e d1 devem ser positivos, portanto:
 (I)
 (II)
De (I), obtemos:
De (II), obtém-se:
A partir de (I), (II) e (III), pode-se concluir que para que o sistema seja estável o valor de K deve estar no intervalo .
10. Para que um sistema seja estável, todos os seus pólos devem ter parte real negativa, ou seja, localizados no semi-plano aberto da esquerda do plano-s. Desse modo, analisando o denominador da função de transferência, têm-se:
a) Pólos: -1 e 2. Há um pólo no SPE e outro no SPD, logo, o sistema é instável.
b) Pólos: -10 e 1. Há um pólo no SPE e outro no SPD, logo, o sistema é instável.
c) Pólos: -3, -2 e 1. Há dois pólos no SPE e outro no SPD, logo, o sistema é instável.
d) Pólos: -2 e -1. Há dois no SPD, logo, o sistema é estável.
11. A função de transferência de malha fechada é dada por: . Desse modo, sabendo que e , temos:
Agora, aplica-se o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz:
	s4
	1
	12
	K
	s3
	3
	K-16
	
	s2
	b1
	b2
	b3
	s1
	c1
	c2
	c3
	s0
	d1
	d2
	d3
Daí, temos:
Segundo o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para que o sistema seja estável, os coeficientes b1, c1 e d1 devem ser positivos, portanto:
 (I)
 (II)
 (III)
De (I), obtemos:
De (II), obtém-se:
De (III), obtemos:
A partir de (I), (II) e (III), pode-se concluir que para que o sistema seja estável o valor de K deve estar no intervalo .
12. Sabendo que a representação usual de funções de segunda ordem é , a partir da função de transferência dada, , obtemos a frequência de oscilação natural do sistema e o coeficiente de amortecimento, respectivamente:
	Agora, pode-se também determinar o tempo de acomodação do sistema:
Representação gráfica no MATLAB:
clc; clear;
s = tf('s');
num = 1;
den = s^2+2*s+4;
Gs = num/den;
step(Gs);grid on;
13. Dada a tabulação obtida pelo Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, vista a seguir, podemos determinar as faixas de K para que o sistema seja estável:
	s3
	1
	41
	s2
	10
	8K
	s1
	-(4K-205)/5
	0
	s0
	8K
	0
Segundo o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, para que o sistema seja estável, os coeficientes b1 e c1 devem ser positivos, portanto:
 (I)
 (II)
De (I), obtemos:
De (II), obtém-se:
A partir de (I) e (II), pode-se concluir que para que o sistema seja estável o valor de K deve estar no intervalo .
14. A forma que a equação enunciada corresponde ao controlador PID paralelo, também chamada de forma desacoplada, constituída da soma entre as parcelas proporcional, integral e derivativa do erro, como visto na figura a seguir: