ANALISE E RESPOSTA AO DEGRAU DA FUNCAO DE TRANSFERENCIA DA COMBINACAO MOTOR CARGA

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE E RESPOSTA AO DEGRAU DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DA 
COMBINAÇÃO MOTOR-CARGA COM EXCITAÇÃO INDEPENDENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DE CASO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
ARTUR SILVA SOARES 
LEONARDO GOMES DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE E RESPOSTA AO DEGRAU DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DA 
COMBINAÇÃO MOTOR-CARGA COM EXCITAÇÃO INDEPENDENTE 
 
 
 
 
 
Estudo de caso apresentado à disciplina 
de Sistemas de Controle 1, do curso de 
Engenharia Elétrica da Universidade 
Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR, 
como requisito parcial para a obtenção da 
nota semestral. 
 
Orientador: Rodrigo da Ponte Caun 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APUCARANA 
2022 
 
 
SUMÁRIO 
1 MATERIAIS E MÉTODOS .....................................................................03 
2 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...........................................................07 
2.1 Funções de transferência ....................................................................07 
2.2 Análise dos parâmetros das funções de transferência ....................12 
2.2.1 Parâmetros da função de transferência em malha aberta ......................13 
2.2.2 Parâmetros da função de transferência em malha fechada ...................14 
2.3 Simulações obtidas através das funções de transferência ..............15 
2.3.1 Simulações no MATLAB .........................................................................15 
2.3.2 Simulações no SIMULINK ......................................................................17 
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................19 
REFERÊNCIAS ......................................................................................22 
ANEXO A - Código desenvolvido no MATLAB ..................................23 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
O presente trabalho possui o intuito de realizar a modelagem matemática 
de uma combinação motor-carga com excitação independente em malha aberta e 
fechada através da aproximação linear de um motor real, aos quais os “efeitos de 
segunda ordem, como histerese e a queda de tensão nas escovas, serão 
desprezados.” (DORF e BISHOP, 2018). 
Para realizar a validação da modelagem da função transferência 
juntamente com a resposta ao degrau foi utilizado o MATLAB em forma de script afim 
de se obter as respostas em malha aberta e malha fechada. Em seguida, agregando 
o estudo de caso, foi simulado o sistema completo através do SIMULINK, utilizando 
assim uma interface gráfica para a melhor visualização do diagrama de blocos. 
Segue abaixo o diagrama de blocos em malha aberta e fechada, utilizando 
um degrau de entrada, projetado através do SIMULINK: 
 
Figura 1 – Diagramas de blocos projetados 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Na Figura 1 percebe-se a presença de dois sistemas, um em malha aberta 
(sistema superior em tom avermelhado) e outro em malha fechada (sistema inferior 
em tom azulado) a qual possui a força contra eletromotriz do motor atuando na 
realimentação do sistema. Ademais, há a entrada degrau (à esquerda em verde) e a 
saída de comparação entre a resposta das duas malhas (à direita em amarelo). 
Os valores das variáveis presentes na simulação estão no script do 
MATLAB, fazendo assim com que os sistemas fiquem de maneira genérica e os 
valores possam ser facilmente alterados sem que sejam modificados diretamente nos 
blocos, deixando assim o diagrama de maneira mais didática sobre quais variáveis 
estão relacionadas em cada bloco. 
4 
 
Os valores adquiridos e utilizados para a simulação podem ser visualizados 
na Figura 2. 
 
Figura 2 – Valores utilizado nas simulações 
 
Fonte: Adaptado de DORF e BISHOP (2018, p. 80) 
 
Onde Km é a constante do torque do motor; Ra a resistência da armadura; 
La a indutância do enrolamento da armadura; J é o momento de inércia; b o atrito 
viscoso e Kce a constante de força contra eletromotriz. 
Vale ressaltar que para o sistema em malha aberta é utilizada a resistência 
do campo Rc e a indutância do campo Lc,, aos quais, para fins de estudo, foram 
utilizados os mesmos valores dos de armadura. 
O propósito da simulação apresentada na Figura 1 é de realizar a 
comparação entre o sistema de malha fechada em relação ao de malha fechada, 
utilizando os valores apresentados, sobre a mesma entrada degrau, possibilitando 
assim a identificação das diferenças entre as duas funções transferências analisadas, 
o desempenho do motor CC para cada malha e os parâmetros de projetos 
encontradas em cada um dos sistemas. 
Como dissera anteriormente, no MATLAB foi realizado a mesma simulação 
do SIMULINK, porém em forma de script, relacionando assim os blocos presente nos 
diagramas e encontrando as respostas ao degrau de cada malha. 
Primeiramente, segue abaixo os parâmetros iniciais presentes no script: 
 
Figura 3 – Parâmetros iniciais do script do MATLAB 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
5 
 
Do qual o tempo de simulação é referente ao período a qual cada função 
transferência será simulada em relação ao degrau de entrada, ou seja, iniciando em 
0 segundos e indo até 30 segundos em passos de 0,05 segundos. 
Em seguida foi realizado a função de transferência do caminho principal de 
cada bloco presente nos diagramas. 
 
Figura 4 – Função transferência do caminho principal dos sistemas 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Prosseguindo o script, há a necessidade de criar duas funções 
representando o sistema em malha aberta, a qual é a junção das funções 
transferências do caminho principal expostas na Figura 4, e o sistema de malha 
fechada que culmina na mesma função da malha aberta, porém com a realimentação 
da força contra eletromotriz. 
Segue abaixo o script referente aos sistemas: 
 
Figura 5 – Funções de transferência de malha aberta e malha fechada 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Para o sistema em malha aberta foi utilizado a função series a qual trata os 
blocos gerados como se estivessem em série, fazendo assim a função transferência 
equivalente, enquanto para a malha fechada foi utilizada a função feedback que 
possui o intuito de gerar a realimentação em uma função transferência. 
6 
 
Por fim, com o propósito de gerar graficamente a resposta ao degrau do 
sistema em malha aberta e malha fechada, foi utilizado o comando subplot, plot e step, 
dos quais respectivamente fazem relação a divisão da posição do gráfico a ser 
plotado, comando para gerar o gráfico e resposta ao degrau das funções de 
transferência. 
 
Figura 6 – Script de plotagem 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
De forma análoga foram realizadas a resposta ao degrau de ambas as 
funções de malha porém com a função de transferência completa de cada uma, 
fazendo assim com que fosse equivalente as manipulações realizadas até o momento. 
 
Figura 7 – Funções de transferência completa dos sistemas 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
 
 
 
 
7 
 
2 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Como já explicitado nos materiais em métodos utilizados para o 
desenvolvimento do trabalho, o presente capítulo possui o intuito de apresentar os 
resultados obtidos, assim como suas validações, equacionamentos e análises acima 
dos sistemas realizados. 
 
2.1 Funções de transferência 
 
Conforme Dorf e Bishop (2018, p. 52) o motor CC realiza a conversão da 
energia elétrica para a energia mecânica rotacional, de forma que o torque presente 
no rotor do motor estará disponível para a utilização em determinada carga a qual se 
deseja utilizar. Ainda apresentam a importância da utilização dos motores CC em 
inúmeras aplicações pelo fato das suas características principais, como torque 
elevado, controle da velocidade e facilidade de implementação em vários métodos de 
controle. 
Segue abaixoa representação elétrica e estrutural de um motor CC: 
 
Figura 8 – Diagrama elétrico e esboço estrutural de um motor CC 
 
Fonte: Dorf e Bishop (2018, p. 53) 
 
Percebe-se através da Figura 8 que ao aplicar uma tensão de entrada Vc 
ao enrolamento do estator atuando no controle da intensidade do campo magnético 
gerado pelo estator, a qual induz o movimento do rotor. 
Realizando a análise utilizando a tensão Vc(t) como a entrada e a posição 
do rotor θ(t) como a saída a serem consideradas para a função transferência, tem-se 
8 
 
que ao aplicar a tensão de entrada uma corrente ic(t) é gerada e começa a circular 
pelo encolamento de campo. 
Como o fluxo de campo no entreferro ϕ(t) é proporcional a esta corrente de 
campo, podemos equacionar da seguinte maneira: 
ϕ(t) = Kc ∙ ic(t) (1) 
 
Quando há uma corrente de armadura ia(t) circulando nos enrolamentos do 
rotor há a interação entre ela e o campo magnético gerado no estator, e com isso há 
o aparecimento do torque, proporcional ao fluxo e a corrente de armadura, sendo 
expresso por: 
 
Tm(t) = K1 ∙ ϕ(t) ∙ ia(t) = K1 ∙ Kf ∙ if(t) ∙ ia(t) (2) 
 
Logo, segue abaixo a conversão da Equação 2 para o domínio da 
frequência considerando o motor controlado pela corrente de campo: 
 
Tm(s) = (K1 ∙ Kf ∙ Ia) ∙ If(s) = Km ∙ If(s) (3) 
 
Onde Ia é a corrente de armadura constante e Km é a constante referente 
aos aspectos construtivos do motor. 
Como o torque do motor é composto pelo torque da carga Tc somado ao 
torque de perturbação Tp ao qual é frequentemente desprezível, ou seja, Tp é nulo, 
pode-se equacionar o torque do motor da seguinte maneira: 
 
Tm(s) = Tc(s) + Tp(s) = Tc(s) (4) 
 
Como o torque do motor é referente apenas ao torque da carga a equação 
3 pode ser alterada da seguinte maneira: 
 
Tm(s) = Tc(s) = Km ∙ Ic(s) (5) 
 
Sendo o torque da carga expresso por: 
 
Tc(s) = J ∙ s
2 ∙ 𝜃(s) + b ∙ s ∙ 𝜃(s) (6) 
9 
 
 
Equacionando a relação entre a corrente de campo com a tensão de 
campo, a qual foi a entrada escolhida para o sistema, há no domínio da frequência o 
seguinte resultado: 
Vc(s) = (Rc + Lcs) ∙ Ic(s) (7) 
 
Isolando a corrente de campo na equação 5: 
 
Ic(s) =
Vc(s)
(Rc+Lcs)
 (8) 
 
Igualando as equações 5 e 6, referentes as duas expressões encontradas 
para o torque da carga, e substituindo a expressão da corrente de campo deduzida 
na equação 8 há a seguinte igualdade: 
 
J ∙ 𝑠2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) = Km
Vc(s)
(Rc+Lcs)
 (9) 
 
Como as variáveis de interesse são a tensão Vc(s) como entrada e a 
posição 𝜃(𝑠) como saída, isolando ambas e arranjando os termos há a possibilidade 
de encontrar a função transferência do sistema em malha aberta. 
 
F. T. M. A. =
𝜃(𝑠)
Vc(s)
=
Km
s∙(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)
 (10) 
 
Gerando assim o seguinte diagrama de blocos em malha aberta: 
 
Figura 9 – Diagrama de blocos em malha aberta 
 
Fonte: Dorf e Bishop (2018, p. 54) 
 
 
10 
 
Nota-se a presença de um bloco integrador (1/s) a qual multiplica a função 
transferência em malha aberta, sabemos da física que a velocidade de dada massa 
pode ser encontrada através da derivada da posição, de forma análoga que para 
encontrar a posição integra-se a velocidade. 
Portanto, analisando o bloco integrador da Figura 9 nota-se que ao retirá-
lo a saída deixa de ser a posição θ(s) e se torna a velocidade ω(s), a qual é um 
parâmetro de melhor análise, pois o seu valor é estabilizado em determinado tempo, 
enquanto para a posição os valores tendem ao infinito. 
Com isso, o diagrama de blocos com a saída sendo a velocidade fica da 
seguinte maneira: 
 
Figura 10 – Diagrama de blocos em malha aberta com velocidade na saída 
 
Fonte: Adaptado de Dorf e Bishop (2018) 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência em malha aberta: 
 
F. T. M. A =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)
 (11) 
 
Logo, com a análise realizada em cima da função de transferência em 
malha aberta, pode-se equacionar em malha fechada utilizando a força contra 
eletromotriz na realimentação do sistema. 
Tratando de um motor CC controlado pela armadura, a variável de controle 
é a corrente de armadura ia, uma vez que, quando ela é constante o torque do rotor 
pode ser representado pela seguinte expressão: 
 
Tm(s) = (K1 ∙ Kc ∙ Ic) ∙ Ia(s) = Km ∙ Ia(s) (12) 
 
De forma que a tensão de armadura Va pode ser obtida pelo seguinte 
equacionamento: 
Va(s) = (Ra + Las) ∙ Ia(s) + Vce(s) (13) 
11 
 
Onde Vce(s) é a tensão que relaciona a força contra eletromotriz de maneira 
proporcional à velocidade do motor, ou seja, obedecendo a seguinte 
proporcionalidade: 
 
Vce(s) = Kce ∙ ω(s) (14) 
 
Isolando a corrente de armadura da equação 13 com a equação 14: 
 
Ia(s) =
Va(s)-Kce∙ω(s) 
Ra+Las
 (15) 
 
De forma análoga ao desenvolvimento em malha fechada, o torque de 
perturbação Tc é nulo, desta forma o torque do motor e da carga sendo expresso como 
equivalentes. 
 
Tm(s) = Tc(s) = J ∙ s
2 ∙ 𝜃(s) + b ∙ s ∙ 𝜃(s) (16) 
 
Igualando as equações 12 e 16 e assumindo ω(s)=sθ(s) obtém-se a 
seguinte relação: 
 
J ∙ 𝑠2 ∙ 𝜃(𝑠) + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃(𝑠) = Km
Va(s)-Kce∙θ(s)∙s 
(Ra+Las)
 (17) 
 
Como as variáveis de interesse são a tensão Va(s) como entrada e a 
posição 𝜃(𝑠) como saída, isolando ambas e arranjando os termos há a possibilidade 
de encontrar a função transferência do sistema em malha fechada. 
 
F. T. M. F. =
𝜃(𝑠)
Va(s)
=
Km
s∙[(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)+(Km∙Kce)]
 (18) 
 
De forma análoga a realizada na função de transferência de malha aberta, 
para encontrar a de malha fechada para que saída seja a velocidade ω(s) é necessário 
tirar o bloco integrador do sistema (1/s), pois a integral da velocidade é a posição, 
obtendo assim o seguinte diagrama de blocos: 
 
 
12 
 
Figura 11 – Diagrama de blocos em malha fechada com velocidade na saída 
 
Fonte: Adaptado de Dorf e Bishop (2018) 
 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência em malha fechada: 
 
F. T. M. F. =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
(Rc+Lcs)∙(J∙s+𝑏)+(Km∙Kce)
 (19) 
 
2.2 Análise dos parâmetros das funções de transferência 
 
Encontrado as funções de transferências em malha aberta e malha 
fechada, há a necessidade de estudar os parâmetros presentes em cada uma delas, 
e isso pode ser feito comparando as funções obtidas com a função de transferência 
de segundo ordem genérica, a qual pode ser visualizada abaixo: 
 
G(s) =
K∙𝜔n
2
s2+2∙𝜀∙𝜔n∙s+𝜔n2
 (20) 
 
Primeiramente, simplificando ambas as funções para ficarem equivalentes 
a função de transferência de segundo grau, obtém-se a seguintes equações: 
 
F. T. M. A =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
Lc∙J
s2+(
Lc∙b+Rc∙J
Lc∙J
)∙s+
Rc∙b
Lc∙J
 (21) 
 
F. T. M. F. =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
Km
𝐿𝑐∙𝐽
𝑠2+(
𝐿𝑐∙𝑏+𝑅𝑐∙𝐽
𝐿𝑐∙𝐽
)∙𝑠+(
𝑅𝑐∙𝑏+Km∙Kce
𝐿𝑐∙𝐽
)
 (22) 
 
13 
 
Desta forma é possível analisar separadamente cada uma das funções de 
transferências, seus parâmetros, características e devidas simulações. 
Ou seja, para esta análise deve ser calculado o fator de amortecimento “ε” 
e a frequência natural “𝜔𝑛”, de forma a visualizar e equacionar os valores do 
sobressinal máximo percentual (overshoot), do tempo de subida e por fim do tempo 
de estabelecimento do sistema analisado. 
 
2.2.1 Parâmetros da função de transferência em malha aberta 
 
Para a função de transferência em malha aberta apresentada na equação 
21, comparando com o sistema de segunda ordem da equação 20, há a possibilidade 
de obter os seguintes equacionamentos: 
 
2 ∙ 𝜀 ∙ 𝜔n = (
Lc∙b+Rc∙J
Lc∙J
) (23) 
 
𝜔n = √
Rc∙b
Lc∙J
 (24) 
 
Inserindo a equação 24 na equação 23: 
 
𝜀 =
(
Lc∙b+Rc∙J
Lc∙J
)
2∙√
Rc∙b
Lc∙J
 (25) 
 
Substituindo os valores das variáveis presente na Figura2, encontra-se: 
 
𝜀 = 1,25 (26) 
 
𝜔n = 0,5 rad/s (27) 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência: 
 
F. T. M. A =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
5
s2+1,25∙s+0,25
 (28) 
 
14 
 
2.2.1 Parâmetros da função de transferência em malha fechada 
 
Dando prosseguimento, para a função de transferência em malha fechada 
apresentada na equação 22, comparando com o sistema de segunda ordem da 
equação 20, há a possibilidade de obter os seguintes equacionamentos: 
 
2 ∙ 𝜀 ∙ 𝜔n = (
Lc∙b+Rc∙J
Lc∙J
) (29) 
 
𝜔n = √
𝑅𝑐∙𝑏+Km∙Kce
𝐿𝑐∙𝐽
 (30) 
 
Inserindo a equação 24 na equação 23: 
 
𝜀 =
(
Lc∙b+Rc∙J
Lc∙J
)
2∙√
𝑅𝑐∙𝑏+Km∙Kce
𝐿𝑐∙𝐽
 (31) 
 
Substituindo os valores das variáveis presente na Figura 2, encontra-se: 
 
𝜀 = 0,721687836 (32) 
 
𝜔n = √0,75 = 0,866025404 rad/s (33) 
 
Gerando assim a seguinte função de transferência: 
 
F. T. M. F. =
𝜔(𝑠)
Vc(s)
=
5
s2+1,25∙s+0,75
 (34) 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
2.3 Simulações obtidas através das funções de transferência 
 
Este subcapítulo possui o intuito de realizar a simulação através das 
funções de transferência de malha aberta e fechada em resposta ao degrau, afim de 
complementar os parâmetros calculados anteriormente. 
Ressalta-se que os scripts utilizados foram os mesmos apresentados no 
primeiro capítulo no presente estudo de caso, sendo citado toda vez que forem 
utilizados para determinada simulação ou análise. 
Foram realizadas as simulações através do software MATLAB através de 
scripts, e da sua extensão SIMULINK, apresentando uma versão gráfica do diagrama 
de blocos apresentado na Figura 1. 
 
2.3.1 Simulações no MATLAB 
 
Para a realização das simulações das funções de transferência de malha 
aberta e malha fechada em resposta ao degrau foi utilizado o script presente na Figura 
6, gerando assim os seguintes gráficos: 
 
Figura 12 – Resposta ao degrau em malha aberta e malha fechada (MATLAB) 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Para melhor visualização, foi simulado individualmente cada função de 
transferência, gerando assim os seguintes gráficos: 
16 
 
Figura 13 – Resposta ao degrau em malha aberta 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Figura 14 – Resposta ao degrau em malha fechada 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
Percebe-se que comparando os dois sistemas há algumas diferenças 
pontuais que podem ser visualizadas apenas observando os gráficos gerados. 
Primeiramente, os tempos de subida e estabelecimento para o sistema em 
malha fechada é menor do que o simulado para a malha aberta. 
17 
 
Outro comportamento constatado na simulação é referente a amplitude de 
cada função transferência, podendo visualizar que para o sistema em malha fechada 
o valor numérico da velocidade de saída é inferior ao do sistema em malha fechada. 
Por fim, um último parâmetro comparado é devido ao sistema em malha 
fechada apresentar overshoot, enquanto que o de malha aberta não apresenta este 
comportamento 
O overshoot, também denominado como sobressinal máximo percentual, 
pode ser calculado através da seguinte equação: 
 
𝑀𝑠𝑠% = 100 ∙ 𝑒
−
𝜀∙𝜋
√1−𝜀2 (35) 
 
Aplicando para os valores de ε e 𝜔𝑛 encontrados para ambas as funções 
de transferência foi encontrado um overshoot de 3,7803% para o sistema em malha 
fechada e de aproximadamente 0% para o de malha aberta. 
Fato que pode ser validado a partir do seguinte script no MATLAB: 
 
Figura 15 – Script e resultado do overshoot dos sistemas 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
2.3.2 Simulações no SIMULINK 
 
Como forma de agregar nas análises pertinentes a comparação entre os 
dois sinais, como apresentado na Figura 1, foram simulados os diagramas de blocos 
no SIMULINK. 
Com o auxílio de um Bus Creator foi possível unir as duas saídas de cada 
sistema, e em seguida com o Scope simular ambas as funções de maneira conjunta, 
podendo assim visualizar as diferenças entre as duas. 
18 
 
Segue abaixo a simulação realizada: 
 
Figura 16 – Simulação de ambas as malhas no SIMULINK 
 
Fonte: Elaborado pelos autores 
 
 
Na simulação foi analisado a fim de comparar com os scripts do MATLAB 
o overshoot da função de transferência em malha fechada, onde pôde constatar que 
dado um ΔY=0,248 rad/s, variação que relaciona o pico da função com o seu valor em 
regime permanente, houve um percentual de overshoot de aproximadamente 3,7181. 
Em comparação com o script do MATLAB é observado um erro de 1,64%, 
a qual pode ser desprezado, pois no script é realizado os cálculos de maneira precisa, 
enquanto para o encontrado no SIMULINK possui a variação provinda dos 
posicionamentos dos cursores, sendo assim, apenas servindo para a validação do 
resultado observado pelo script. 
Ademais, as mesmas análises quantos aos tempos de subida e de 
estabelecimento seguem de forma equivalente as mesmas realizadas no MATLAB, 
de forma a apenas complementar os resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Através do presente trabalho foi possível identificar e analisar o 
comportamento de ambas as funções transferências propostas pelo estudo de caso, 
de forma que com equacionamentos e simulações fosse possível realizar o 
entendimento sobre as diferenças da utilização dos sistemas em malha aberta ou 
malha fechada, na aplicação do acionamento em um motor CC, relacionadas aos seus 
desempenhos individuais. 
As funções de transferências estudadas são enquadradas como sistemas 
de segunda ordem, entretanto cada um dos modelos matemáticos possui suas 
peculiaridades e características atribuídas por seus parâmetros de projetos. 
No decorrer do trabalho foram calculados os parâmetros de projetos de 
ambas as funções de transferências simuladas, onde foram obtidos os valores de 
ε=1,25 e 𝜔𝑛=0,5 rad/s para o sistema em malha aberta e aproximadamente ε=0,72 e 
𝜔𝑛=0,87 rad/s para o sistema em malha fechada. 
Além desses parâmetros implicarem no desempenho do sistema, assim como 
para os equacionamentos dos parâmetros de performance, ao analisar o fator de 
amortecimento pode-se identificar algumas características de cada sistema. 
Para a função de transferência de malha aberta a qual possui 𝜀 ≥ 1, trata-se 
de um sistema superamortecido, que em sua característica não possui componente 
imaginário, sendo assim correspondendo a dois polos reais de dois sistemas de 
primeira ordem e um polo na origem proveniente da entrada degrau, ao qual a reposta 
transitória é dada pela composição de ambas as respostas de cada sistema de 
primeira ordem. 
Por esta características, o sistema de malha aberta acaba não apresentando 
overshoot, podendo assim visualizar dada uma entrada degrau uma resposta estável 
e monótona. 
Em contrapartida, para o sistema de malha fechada o fator de amortecimento 
pertence ao intervalo 0 ≤ 𝜀 ≤ 1 implicando na classificação de um sistema 
subamortecido, a qual apresenta um polo na origem proveniente da entrada do degrau 
unitário e dois polos complexos, ou seja, possuindo parte real e imaginária que são 
provenientes do sistema. 
20 
 
Esse tipo de sistema apresenta um comportamento estável e oscilatório em 
sua resposta até que entre em regime permanente, como pode ser observado na 
simulação em malha fechada a qual houve a formação de um overshoot. 
Ademais, o sistema em malha aberta representa um sistema ideal do 
acionamento de um motor CC, utilizando o seu controle através da corrente gerada 
em seu campo e não possuindo nenhuma força ou parâmetro físico que atrapalhe seu 
desempenho. 
Porém, para o sistema de malha fechada por possuir em sua realimentação 
a força contra eletromotriz ele torna o sistema um pouco mais real do que o de malha 
aberta, onde mesmo desprezando os efeitos da histerese e da queda de tensão nas 
escovas há a possibilidade de vermos como esta força afeta a velocidade do rotor. 
Vale ressaltarque o seu controle é realizado pela armadura, sendo mais específico 
utilizando a corrente de armadura como variável de controle. 
Como expresso anteriormente, o sistema utilizado em malha fechada 
apresenta uma melhor aproximação a um modelo real do que do sistema em malha 
aberta, e isso influencia diretamente em suas características de simulação. 
No sistema de malha fechada o tempo de subida e de estabelecimento 
acontecem de maneira mais rápida que o de malha aberta, sendo assim possuindo 
uma resposta mais rápida em relação a certa entrada aplicada, ocasionando a 
estabilidade do sistema em um tempo inferior ao de malha fechada. 
Entretanto, o sistema de malha fechada por ser um sistema subamortecido 
possui um overshoot, o que deve-se tomar muita atenção ao projetar controladores 
ou trabalhar com parâmetros diferentes dos simulados, pois trata-se de um dos 
indicativos da estabilidade relativa do sistema, uma vez que, quanto maior seu valor 
menor será a estabilidade relativa, e com isso mais próximo o sistema estará da 
instabilidade, porém como a overshoot foi de aproximadamente 3,78% o projeto pode-
se dizer aceitável, visto em que várias aplicações de sistemas de controle acabam 
trabalhando com percentual de sobressinal em um intervalo até 10% ou 15%. 
Para o sistema em malha aberta não há este parâmetro, fazendo com que, 
apesar do seu tempo até entrar em regime, não haja variações em sua estabilidade 
relativa, ocasionando que por mais que seja um sistema mais lento, seja seguro em 
termos de estabilidade 
Um último ponto observado foi a influência da força contra eletromotriz no 
valor da velocidade do rotor, uma vez que no sistema em malha aberta para a entrada 
21 
 
degrau há uma saída de velocidade de aproximadamente 190 RPM, para a malha 
fechada esse valor fica em torno de 64 RPM. 
Ou seja, ao implementar a força contra eletromotriz que atua de forma 
contrária ao giro do rotor, a velocidade irá diminuir conforme essa força limita o ganho 
de velocidade, sendo assim, o sistema de malha fechada apresentar de maneira mais 
real o quanto esta força atua em determinado modelo de motor CC. 
De modo geral, olhando para o desempenho de cada sistema, o de malha 
aberta sobressai quando há a necessidade de adquirir o máximo de ganho possível 
da saída e que não haja oscilações em seu acionamento, mesmo que o tempo até 
que entre em regime seja maior. Porém, atuando sem parâmetros reais em sua 
aplicação, a precisão e confiabilidade deste tipo de sistema é inferior ao de malha 
fechada. 
Logo, o de malha fechada de sobressai por apresentar a variável da força 
contra eletromotriz do rotor, representando um modelo mais real do que o de malha 
fechada, além de sua resposta e tempo para o regime serem inferiores. 
Porém, em seu acionamento há a presença de algumas oscilações que ao 
decorrer do trabalho foram explicitados que devem ser monitoradas e analisadas para 
que o sistema não se torne instável. Além disto, a força contra eletromotriz limita o 
ganho de velocidade do sistema. 
Geralmente, sistemas em malha aberta são utilizados para operações dos 
quais possuem certa facilidade de funcionamento, além de necessitar de menos 
proteção e operar de forma rápida e com baixo custo. 
Já para sistemas em malha fechada são utilizados quando há a necessidade 
de sistemas mais robustos e precisos, dos quais há o fornecimento da saída 
necessária avaliando a entrada, gerando assim o sinal de erro a fim agregar na 
otimização do sistema. Porém, geralmente os sistemas de controle de malha fechada 
são mais caros e exigem mais manutenções. 
Contudo, o desenvolvimento do presente trabalho possibilitou de forma 
detalhada que fosse realizado o estudo de caso acima do acionamento do motor CC, 
trabalhando com multidisciplinaridade e desenvolvimento do raciocínio crítico e 
analítico, de forma a realizar as simulações e obter o entendimento das características 
e causas relacionadas aos sistemas de segunda ordem, possibilitando assim aos 
discentes a aplicação dos conceitos e metodologias adquiridos durante a disciplina de 
Sistemas de Controle 1 à situações de aplicabilidade reais. 
22 
 
REFERÊNCIAS 
 
ASSUNÇÃO, Edvaldo.; TEIXEIRA, Marcelo C. M. Controle linear: Sinais contínuos 
e discretos no tempo. São Paulo. Universidade Estadual Paulista, 2018. 
DORF, Richard C.; BISHOP, Robert H. Sistemas de Controle Modernos, 13ª edição. 
Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. E-book. ISBN 9788521635147. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635147/. Acesso em: 09 
out. 2022 
FONSECA, Henrique M. Modelagem e controle da posição angular de um motor 
CC acoplado a uma haste flexível. Universidade Federal de Ouro Preto, 2014. 
OGATA, Katsuhiko et al. Modern control engineering. Upper Saddle River, NJ: 
Prentice hall, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
ANEXO A 
 
clc 
clear all 
close all 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Valores utilizados para as variáveis % 
%----------------------------------------------------------% 
Km=10; Ra=1; La=1; 
J=2; b=0.5; Kce=0.1; 
 
%Obs: Assumindo Rc=Ra e Lc=La 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Tempo de simulação % 
%----------------------------------------------------------% 
t=[0:0.05:30]; 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Diagrama de blocos % 
%----------------------------------------------------------% 
%Bloco 1 
num1=[1]; den1=[J b]; sys1=tf(num1,den1); 
 
%Bloco 2 
num2=[Km]; den2=[1]; sys2=tf(num2,den2); 
 
%Bloco 3 
num3=[1]; den3=[La Ra]; sys3=tf(num3,den3); 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Funções de transferência % 
%----------------------------------------------------------% 
%Malha aberta 
sysa=series(sys1,sys2); 
sys_ma=series(sysa,sys3) 
 
%Malha fechada 
sys_mf=feedback(sys_ma,Kce) 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Funções de transferência - Completa % 
%----------------------------------------------------------% 
sys_ma_completa=series(tf([Km],[J*La]), ... 
 tf([1],[1 ((Ra/La)+(b/J)) ((Ra*b)/(J*La))])) 
sys_mf_completa=series(tf([Km],[J*La]), ... 
 tf([1],[1 ((Ra/La)+(b/J)) (((Ra*b)+(Kce*Km))/(J*La))])) 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Overshoot das funções de transferência % 
%----------------------------------------------------------% 
%Overshoot para malha aberta 
[y3,t3]=step(sys_ma,t); 
erro_ma=1-y3(length(t3)); 
overshoot_ma=max(y3)-y3(length(t3)); 
percentual_overshoot_ma=(overshoot_ma/y3(length(t3)))*100 
 
%overshoot para malha fechada 
[y2,t2]=step(sys_mf,t); 
erro_mf=1-y2(length(t2)); 
overshoot_mf=max(y2)-y2(length(t2)); 
percentual_overshoot_mf=(overshoot_mf/y2(length(t2)))*100 
 
%----------------------------------------------------------% 
% Simulação - Plot % 
%----------------------------------------------------------% 
subplot(2,2,[1,2]); 
[y,t1]=step(sys_ma,t); 
plot(t,y,'r','LineWidth',2) 
xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Velocidade - w (rad/s)'); grid 
title('Resposta ao degrau do sistema em malha aberta') 
 
subplot(2,2,[3,4]); 
[y,t3]=step(sys_mf,t); 
plot(t,y,'g','LineWidth',2) 
xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Velocidade - w (rad/s)'); grid 
title('Resposta ao degrau do sistema em malha fechada')