Derivadas de Funções Complexas

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Relembrando
- começamos a ver funções de variável complexa f(z) e limites.
 
Relembrando
- começamos a ver funções de variável complexa f(z) e limites.
- em particular, o LIMITE DEVE INDEPENDER DO CAMINHO.
x
y
z0
δ
v
u
w= f (z )
w0
ϵ
Plano complexo z Plano complexo w
 
Derivada
De forma análoga a funções de variável real, definimos a derivada de f(z) como
f ' (z )=
df
dz
= lim
Δ z→ 0
Δ f
Δ z
= lim
Δ z→0
f (z+Δ z )− f ( z)
Δ z
 
Derivada
De forma análoga a funções de variável real, definimos a derivada de f(z) como
Δ y
0 δ
f ' (z )=
df
dz
= lim
Δ z→ 0
Δ f
Δ z
= lim
Δ z→0
f (z+Δ z )− f ( z)
Δ z
Como envolve um limite, esse deve independer do caminho...
Δ x
plano complexo Δ z=Δ x+iΔ y
 
Derivada
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→ 0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
(2 z+Δ z)
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
(2 z+Δ z)
Exemplo 1: f (z )=z 2
f ' (z )=2 z
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
(2 z+Δ z)
Exemplo 1: f (z )=z 2
f ' (z )=2 z
Portanto existe a derivada nesse caso.
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
(z+Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
z2+2 z (Δ z)+(Δ z)2−z2
Δ z
= lim
Δ z→0
(2 z+Δ z)
Exemplo 1: f (z )=z 2
f ' (z )=2 z
Portanto existe a derivada nesse caso.
De fato, podemos mostrar analogamente que f ( z)=zn possui derivada e vale f ' (z)=n zn−1
 
Derivada
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→ 0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→ 0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
=1
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
Δ y
0 Δ x
Δ x=0
Δ y→0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
=1
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
Δ y
0 Δ x
Δ x=0
Δ y→0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
=1 f ' (z )= lim
Δ y →0
−iΔ y
iΔ y
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
Δ y
0 Δ x
Δ x=0
Δ y→0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
=1 f ' (z )= lim
Δ y →0
−iΔ y
iΔ y
=−1
 
Derivada
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z̄
Δ z
= lim
Δ z→0
z+Δ z− z
Δ z
= lim
Δ z→0
Δ z
Δ z
= lim
Δ x→0,Δ y→0
Δ x−iΔ y
Δ x+iΔ y
Exemplo 2: f (z )= z̄
Portanto limite não é definido e a derivada não existe nesse caso.
consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0
Δ y
0 Δ x
Δ x=0
Δ y→0
f ' (z )= lim
Δ x →0
Δ x
Δ x
=1 f ' (z )= lim
Δ y →0
−iΔ y
iΔ y
=−1
 
Derivada
Obs: se w1 e w2 possuem derivada definida, então:
d
dz
(w1+w2)=
dw1
dz
+
dw1
dz
d
dz
(w1 w2)=w1
dw2
dz
+
dw1
dz
w2
d
dz
w1[w2(z )]=
dw1
dw2
dw2
dz
 (regra da cadeia)
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v(x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }:
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
=
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
Δ x=0
Δ y→0}:
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
=
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
Δ x=0
Δ y→0}: f ' (z )= limΔ x →0
u (x , y+Δ y )−u(x , y )+i [ v (x , y+Δ y )−v (x , y) ]
iΔ y
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
=
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
Δ x=0
Δ y→0}: f ' (z )= limΔ x →0
u (x , y+Δ y )−u(x , y )+i [ v (x , y+Δ y )−v (x , y) ]
iΔ y
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
=
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
=
1
i
lim
Δ y→0
u (x , y+Δ y )−u(x , y )
Δ y
+ lim
Δ x→ 0
v (x , y+Δ y)−v (x , y)
Δ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
Queremos determinar condições para a existência da derivada de f (z ) .
Tomando f (z )=u(x , y )+ i v (x , y) e Δ z=Δ x+iΔ y , temos:
f ' (z )= lim
Δ z→0
f ( z+Δ z )−f (z )
Δ z
= lim
Δ x→0, Δ y →0
u (x+Δ x , y+Δ y )+i v (x+Δ x , y+Δ y )− [u(x , y )+i v (x , y )]
Δ x+iΔ y
= lim
Δ x→0,Δ y→ 0
u(x+Δ x , y+Δ y)−u( x , y )+i [v ( x+Δ x , y+Δ y)−v (x , y ) ]
Δ x+ iΔ y
como no exemplo passado, consideremos 2 formas distintas de tomar o limite Δ z=Δ x+iΔ y→0 :
Δ y
0 Δ x
Δ x→0
Δ y=0 }: f ' (z )= limΔ x →0
u (x+Δ x , y )−u (x , y)+i [ v (x+Δ x , y )−v (x , y )]
Δ x
Δ x=0
Δ y→0}: f ' (z )= limΔ x →0
u (x , y+Δ y )−u(x , y )+i [ v (x , y+Δ y )−v (x , y) ]
iΔ y
= lim
Δ x→ 0
u(x+Δ x , y)−u( x , y )
Δ x
+ i lim
Δ x →0
v (x+Δ x , y )−v (x , y )
Δ x
=
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
=
1
i
lim
Δ y→0
u (x , y+Δ y )−u(x , y )
Δ y
+ lim
Δ x→0
v (x , y+Δ y)−v (x , y)
Δ y
=−i
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
como deve ser iguais para que derivada exista, temos:
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
=−i
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
como deve ser iguais para que derivada exista, temos:
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
=−i
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ y
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
 
Condições de Cauchy-Riemann
como deve ser iguais para que derivada exista, temos:
∂u
∂ x
+ i
∂ v
∂ x
=−i
∂ u
∂ y
+
∂ v
∂ y
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
(vemos que para que exista derivada u (x , y) e v (x , y ) não são independentes)
 
Condições de Cauchy-Riemann
Exemplo 1: f (z )=z 2
 
Condições de Cauchy-Riemann
Exemplo 1: f (z )=z 2=x2− y2⏟
u (x , y)
+i 2 xy⏟
v(x , y)
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
Exemplo 1: f (z )=z 2=x2− y2⏟
u (x , y)
+i 2 xy⏟
v(x , y)
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 2 x=2x
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
Exemplo 1: f (z )=z 2=x2− y2⏟
u (x , y)
+i 2 xy⏟
v(x , y)
✓
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 2 x=2x
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
⇒ 2 y=2 y
Exemplo 1: f (z )=z 2=x2− y2⏟
u (x , y)
+i 2 xy⏟
v(x , y)
✓
✓
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 2 x=2x
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
⇒ 2 y=2 y
Exemplo 1: f (z )=z 2=x2− y2⏟
u (x , y)
+i 2 xy⏟
v(x , y)
✓
✓
Há derivada!
 
Condições de Cauchy-Riemann
Exemplo 2: f (z )= z̄
 
Condições de Cauchy-Riemann
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y
 
Condições de Cauchy-Riemann
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y ⇒ {u(x , y)=xv (x , y )=− y
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y ⇒ {u(x , y)=xv (x , y )=− y
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 1=−1
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y ⇒ {u(x , y)=xv (x , y )=− y
✗
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 1=−1
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
⇒ 0=0
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y ⇒ {u(x , y)=xv (x , y )=− y
✗
✓
 
Condições de Cauchy-Riemann
portanto:
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
⇒ 1=−1
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
⇒ 0=0
Exemplo 2: f (z )= z̄=x−i y ⇒ {u(x , y)=xv (x , y )=− y
✗
✓
Não há derivada!
 
Calculando f’(z)
Dos resultados anteriores vemos que havendo a derivada ela pode ser 
calculada de diferentes formas:
f ' (z )=
∂ u
∂ x
+i
∂ v
∂ x
=
∂ v
∂ y
−i
∂ u
∂ y
Δ y
0 Δ x
 
Calculando f’(z)Dos resultados anteriores vemos que havendo a derivada ela pode ser 
calculada de diferentes formas:
f ' (z )=
∂ u
∂ x
+i
∂ v
∂ x
=
∂ v
∂ y
−i
∂ u
∂ y
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
 
Calculando f’(z)
Dos resultados anteriores vemos que havendo a derivada ela pode ser 
calculada de diferentes formas:
f ' (z )=
∂ u
∂ x
+i
∂ v
∂ x
=
∂ v
∂ y
−i
∂ u
∂ y
=
∂ u
∂ x
− i
∂u
∂ y
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
 
Calculando f’(z)
Dos resultados anteriores vemos que havendo a derivada ela pode ser 
calculada de diferentes formas:
f ' (z )=
∂ u
∂ x
+i
∂ v
∂ x
=
∂ v
∂ y
−i
∂ u
∂ y
=
∂ u
∂ x
− i
∂u
∂ y
=
∂ v
∂ y
+i
∂ v
∂ x
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
=(∂ u∂ x +i
∂ v
∂ x )(
1
2 )+(
∂u
∂ y
+i
∂ v
∂ y )(
i
2 )
 
Calculando 
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
=(∂ u∂ x +i
∂ v
∂ x )(
1
2 )+(
∂u
∂ y
+i
∂ v
∂ y )(
i
2 )=
1
2 (
∂ u
∂ x
−
∂ v
∂ y )+
i
2 (
∂ v
∂ x
+
∂u
∂ y )
 
Calculando 
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
=(∂ u∂ x +i
∂ v
∂ x )(
1
2 )+(
∂u
∂ y
+i
∂ v
∂ y )(
i
2 )=
1
2 (
∂ u
∂ x
−
∂ v
∂ y )+
i
2 (
∂ v
∂ x
+
∂u
∂ y )
 
Calculando 
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
=(∂ u∂ x +i
∂ v
∂ x )(
1
2 )+(
∂u
∂ y
+i
∂ v
∂ y )(
i
2 )=
1
2 (
∂ u
∂ x
−
∂ v
∂ y )+
i
2 (
∂ v
∂ x
+
∂u
∂ y )=0
 
Calculando 
∂u
∂ x
=
∂ v
∂ y
∂ v
∂ x
=−
∂u
∂ y
d f
d z̄
Seja f (z )=u (x , y)+i v (x , y ) função que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. 
Queremos calcular 
d f
d z̄
.
Para tanto, notamos que tanto x quanto y dependem de z̄ : { x=
z+ z̄
2
y=
z− z̄
2 i
logo: 
d f
d z̄
=
∂ f
∂ x
∂ x
∂ z̄⏟
=
1
2
+
∂ f
∂ y
∂ y
∂ z̄⏟
=−
1
2 i
=(∂ u∂ x +i
∂ v
∂ x )(
1
2 )+(
∂u
∂ y
+i
∂ v
∂ y )(
i
2 )=
1
2 (
∂ u
∂ x
−
∂ v
∂ y )+
i
2 (
∂ v
∂ x
+
∂u
∂ y )=0
Logo, para que a função tenha derivada defininda com relação a z , ela não pode depender de z̄ !
 
Condições de Cauchy-Riemann no forma polar
Para existir f '(z ) de f (z )=u(r ,θ)+i v (r ,θ) é necessário que:
∂u
∂ r
=
1
r
∂ v
∂θ
∂ v
∂ r
=−
1
r
∂ u
∂θ
 
Condições de Cauchy-Riemann no forma polar
Para existir f '(z ) de f (z )=u(r ,θ)+i v (r ,θ) é necessário que:
∂u
∂ r
=
1
r
∂ v
∂θ
∂ v
∂ r
=−
1
r
∂ u
∂θ
Nesse caso, a derivada pode ser calculada de:
f ' (z )=e−iθ (∂u∂ r +i
∂ v
∂ r )
 
Funções analíticas
- f (z ) é analítica em z0 se f '(z ) existe numa vizinhança de z0 .
 
Funções analíticas
- f (z ) é analítica em z0 se f '(z ) existe numa vizinhança de z0 .
- f (z ) é analítica num domínio D se ela é analítica em todos os pontos de D .
 
Funções analíticas
- f (z ) é analítica em z0 se f '(z ) existe numa vizinhança de z0 .
- f (z ) é analítica num domínio D se ela é analítica em todos os pontos de D .
- f (z ) é inteira se ela é analítica em todo o plano complexo.
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
- Exemplos: campo elétrico na eletrostática, campo magnético na magnetostática, 
campo de velocidades de fluido incompressível em escoamento laminar, ... 
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
- Exemplos: campo elétrico na eletrostática, campo magnético na magnetostática, 
campo de velocidades de fluido incompressível em escoamento laminar, ... 
- Para encontrarmos solução, percebemos que
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0 ⇒ A⃗=−∇ϕ
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
- Exemplos: campo elétrico na eletrostática, campo magnético na magnetostática, 
campo de velocidades de fluido incompressível em escoamento laminar, ... 
- Para encontrarmos solução, percebemos que
{
∇⋅A⃗=0 ⇒ ∇⋅(−∇ϕ)=0
∇× A⃗=0 ⇒ A⃗=−∇ϕ
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
- Exemplos: campo elétrico na eletrostática, campo magnético na magnetostática, 
campo de velocidades de fluido incompressível em escoamento laminar, ... 
- Para encontrarmos solução, percebemos que
{
∇⋅A⃗=0 ⇒ ∇⋅(−∇ ϕ)=0
∇× A⃗=0 ⇒ A⃗=−∇ϕ
⇒ ∇
2
ϕ=0
 
Equação de Laplace
- Em física muitos sistemas envolvem campos vetoriais que satisfazem
{
∇⋅A⃗=0
∇× A⃗=0
- Exemplos: campo elétrico na eletrostática, campo magnético na magnetostática, 
campo de velocidades de fluido incompressível em escoamento laminar, ... 
- Para encontrarmos solução, percebemos que
{
∇⋅A⃗=0 ⇒ ∇⋅(−∇ ϕ)=0
∇× A⃗=0 ⇒ A⃗=−∇ϕ
⇒ ∇
2
ϕ=0
- Particularmente, em 2 dimensões e coordenadas cartesianas: 
∂
2
ϕ
∂ x2
+
∂
2
ϕ
∂ y2
=0
 
Próxima aula
- Exploraremos relação entre a Eq. de Laplace em 2 dimensões e funções de variável
complexa
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