Apostila MATEMÁTICA APLICADA

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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
MateMática aplicada
SUMÁRIO
MATEMÁTICA APLICADA
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul 
do Estado do Espírito Santo, com unidades em 
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova 
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com 
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino 
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto 
grupo de Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram 
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos 
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam 
todas as unidades da Multivix entre as 
melhores do Estado do Espírito Santo e 
entre as 50 melhores do país.
 
MiSSÃO
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a 
credibilidade, segurança e modernidade, visando 
à satisfação dos clientes e colaboradores.
 
ViSÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
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SUMÁRIO
BiBliOteca MUltiViX (dados de publicação na fonte)
As imagens e ilustrações utilizadas nesta apostila foram obtidas no site: http://br.freepik.com
Carvalho, Luiz Alberto de.
 Matemática Aplicada / Luiz Alberto de Carvalho, Juliane Escola (revisora). – Serra : Multivix, 2017.
editORial
FacUldade capiXaBa da SeRRa • MUltiViX
Catalogação: Biblioteca Central Anisio Teixeira – Multivix Serra
2017 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei.
diretor executivo
Tadeu Antônio de Oliveira Penina
diretora acadêmica
Eliene Maria Gava Ferrão Penina
diretor administrativo Financeiro
Fernando Bom Costalonga
diretor Geral
Helber Barcellos da Costa
diretor da educação a distância
Pedro Cunha
Conselho Editorial
Eliene Maria Gava Ferrão Penina (presidente do
Conselho Editorial)
Kessya Penitente Fabiano Costalonga
Carina Sabadim Veloso
Patrícia de Oliveira Penina
Roberta Caldas Simões
Revisão de língua portuguesa
Leandro Siqueira Lima
Revisão técnica
Alexandra Oliveira
Alessandro Ventorin
Graziela Vieira Carneiro
design editorial e controle de produção de conteúdo
Carina Sabadim Veloso
Maico Pagani Roncatto
Ednilson José Roncatto
Aline Ximenes Fragoso
Genivaldo Felix Soares
Multivix educação à distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EAD
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Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte 
do maior grupo educacional de Ensino Superior do 
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a 
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoeiro 
de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia, São 
Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999, no 
mercado capixaba, destaca-se pela oferta de cursos 
de graduação, pós-graduação e extensão de quali-
dade nas quatro áreas do conhecimento: Agrárias, 
Exatas, Humanas e Saúde, tanto na modalidade 
presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do 
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das 
Instituições de Ensino Superior de excelência no 
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e 
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade 
de qualidade mas que precisam superar alguns 
obstáculos. 
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é: 
“Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre 
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a 
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o 
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO 
DA DIREÇÃO 
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina 
diretor executivo do Grupo Multivix
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SUMÁRIO
SUMáRiO
1UNIDADE 1 pROpRiedadeS NUMÉRicaS 12
1.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE 12
1.2 CONJUNTOS 12
1.2.1 TIPOS DE CONJUNTO 13
1.2.2 CONJUNTO VAZIO 14
1.2.3 CONJUNTO UNITÁRIO 14
1.2.4 CONJUNTO FINITO 14
1.2.5 CONJUNTO INFINITO 15
1.2.6 SUBCONJUNTO 15
1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS 15
1.3.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 15
1.3.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 16
1.3.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 16
1.3.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 16
1.3.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 17
1.3.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 17
1.4 ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS 18
1.4.1 UNIÃO DE CONJUNTOS 18
1.4.2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTO 19
1.4.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS 19
1.4.4 CONJUNTO COMPLEMENTAR 20
1.4.5 PRODUTO CARTESIANO 21
1.5 RELAÇÕES 21
1.5.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 22
1.6 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO 23
1.6.1 CLASSE DE EQUIVALÊNCIA 25
1.6.2 PARTIÇÃO 25
1.6.3 CONJUNTO QUOCIENTE 26
1.7 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 27
1.7.1 ADIÇÃO 27
1.7.2 SUBTRAÇÃO 28
1.7.3 MULTIPLICAÇÃO 28
1.7.4 DIVISÃO 29
1.7.5 POTENCIAÇÃO 30
1.7.6 RADICIAÇÃO 31
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1.7.7 PROPRIEDADE COMUTATIVA 31
1.7.8 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 32
1.7.9 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 32
1.7.10 PROPRIEDADE DO ELEMENTO NEUTRO 32
1.7.11 PROPRIEDADE DO ELEMENTO OPOSTO 33
1.7.12 PROPRIEDADE DO ELEMENTO INVERSO 33
1.8 LINGUAGEM ALGÉBRICA 33
1.8.1 SIMBOLOS MATEMÁTICOS 34
1.8.2 ORDEM DAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 34
1.8.3 FATORAÇÃO 35
1.8.4 FATORAÇÃO DE UM NÚMERO 35
1.8.5 FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA 36
1.8.6 FATORES EM AGRUPAMENTO 36
1.8.7 FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 37
1.8.8 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 37
1.9 PROBLEMAS MATEMÁTICOS 38
2 FUNÇÕeS 42
2.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE 42
2.2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 42
2.3 LEI Y = F(X) 45
2.3.1 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DE UM GRÁFICO 46
2.3.2 FUNÇÃO AFIM (OU DO 1º GRAU) 47
2.3.3 ESTUDO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 51
2.3.4 FUNÇÕES INVERSAS 51
2.4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (OU EQUAÇÃO DO 2º GRAU) 54
2.5 FUNÇÃO MODULAR 55
3 FUNÇÕeS eleMeNtaReS 58
3.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE 58
3.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL 58
3.3 FUNÇÃO LOGARITMICA 59
3.4 FUNÇÃO POLINOMIAL 60
3.5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 60
3.5.1 FUNÇÃO SENO 61
3.5.2 FUNÇÃO COSSENO 62
3.5.3 FUNÇÃO TANGENTE 63
3.5.4 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 64
2UNIDADE
3UNIDADE
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SUMÁRIO
4UNIDADE
5UNIDADE
4 ANÁLISE GRÁFICA 66
4.1 APRESENTAÇÃODA UNIDADE 66
4.2 GRÁFICOS 66
4.3 TIPOS DE GRÁFICOS 66
4.3.1 GRÁFICOS DE COLUNAS 66
4.3.2 HISTOGRAMA 67
4.3.3 GRÁFICO DE SETOR OU PIZZA 68
4.3.4 GRÁFICO DE LINHA 68
4.3.5 DISPERSÃO 68
4.3.6 ÁREA 69
4.3.7 RADAR 69
4.3.8 BOXPLOT 70
4.3.9 DADOS MAIS RELEVANTES DE UM GRÁFICO 71
4.4 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 72
4.4.1 ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES 73
4.4.2 RAIZ DE UMA FUNÇÃO E FUNÇÕES CONSTANTE, CRESCENTE E DE-
CRESCENTE 74
4.4.3 FUNÇÃO CONSTANTE 75
4.4.4 FUNÇÃO CRESCENTE 75
4.4.5 FUNÇÃO DECRESCENTE 76
4.4.6 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 77
4.4.7 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL EM UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU 79
4.4.7.1 CONCAVIDADE PARA CIMA 79
4.4.7.2 CONCAVIDADE PARA BAIXO 80
4.4.7.3 INEQUAÇÃO QUOCIENTE E INEQUAÇÃO PRODUTO 80
5 liMiteS 86
5.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE 86
5.2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 86
5.3 DEFINIÇÃO DE LIMITE 87
5.3.1 TEOREMAS 87
5.3.2 DETERMINANDO O LIMITE DE UMA FUNÇÃO 88
5.3.3 LIMITE PELA DIREITA E PELA ESQUERDA 88
5.4 DERIVABILIDADE 89
5.4.1 DEFINIÇÃO 89
5.5 FUNÇÕES NÃO DIFERENCIÁVEIS 89
5.5.1 GRÁFICO DE BICO 90
5.5.2 INFLEXÃO NO GRÁFICO 90
5.5.3 DERIVADA EM FUNÇÃO DO 2º GRAU 91
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6 aplicaÇÕeS Na adMiNiStRaÇÃO 93
6.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE 93
6.2 MATEMÁTICA NO COTIDIANO 93
6.3 CONHECIMENTO MATEMÁTICOS NA ADMINISTRAÇÃO 94
ReFeReNciaS 97
6UNIDADE
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SUMÁRIO
icONOGRaFia
ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
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APRESENTAÇÃO GERAL DA DISCIPLINA
Bem-vindos à disciplina de Matemática aplicada na qual iremos estudar os princípios 
matemáticos utilizados na administração. O principal objetivo será a aquisição dos 
principais conceitos algébricos inerentes à matemática, para posteriormente visuali-
zar a sua aplicação quanto a atuação como administrador.
Para que seu estudo se torne proveitoso e prazeroso, esta disciplina foi organizada 
em 6 unidades, com temas e subtemas que, por sua vez, são subdivididos em tópicos, 
atendendo aos objetivos do processo de ensino-aprendizagem.
De forma geral na disciplina Matemática aplicada, que trata sobre a inerente utiliza-
ção da matemática no ramo da administração, procuraremos compreender sobre 
as propriedades númericas e seus principais conceitos e utilização. Descreveremos o 
que são funções, principalmente os funções de uma variável cuja variável é real. De-
talharemos os estudos de funções elementares, além de suas propriedades e repre-
sentações gráficas. Ao longo da disciplina Matemática aplicada, promoveremos uma 
análise técnica sobre alguns tópicos da matemática que servirão para uma unidade 
final que irá unir todos esses tópicos em situações práticas, finalizando o curso de 
uma maneira a qual seu conteúdo seja completamente aplicável.
• Esperamos que, até o final da disciplina vocês possam:
• Entender sobre os conjuntos numéricos, destacando-se os números reais;
• Resolver funções de um variável;
• Interpretar resultados gráficos;
• Utilizar e contrastar as funções polinomiais, exponencial e logarítmica como fer-
ramenta na administração;
Para tanto, fiquem atentos aos conteúdos disponíveis nesse material e nas outras 
plataformas de conhecimento ofertados.
Imagine que em você é o administrador de uma empresa, e precisa se reunir com os 
seus superiores para apresentar os resultados anuais da empresa. Qual a melhor for-
ma de apresentar esses resultados? Em uma variação sobre os preços da cesta básica 
ao longo do ano, quais os principais valores a serem destacados e como você poderia 
usar esses resultados para os próximos anos? Qual a aplicação de diferentes tipos de 
gráficos, tais como em colunas, de pizza, em linhas ou em áreas?
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Avaliar as diferentes 
formas de representar 
um conjunto 
numérico;
> Conhecer as principais 
propriedades 
numéricas;
> Absorver os 
conteúdos existentes 
nessa unidade 
para utilização nas 
unidades seguites.
UNIDADE 1
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1 PROPRIEDADES 
NUMÉRICAS
1.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade iremos aprender sobre um dos princípais objetos utilizados na ma-
temática que são os números. Os números servem como ponto de partida para os 
próximos conteúdos dessa disciplina pois serão utilizadas em todas as unidades.
1.2 CONJUNTOS
A matemática é uma ciência cuja representação numérica acompanhou sua evolu-
ção ao longo dos anos, de forma que a grande maioria das representações matemá-
ticas são feitas por meio de números. Quando os números estão juntos e possuem al-
guma relação entre eles, estes formam conjuntos. Em outras palavras, conjunto nada 
mais é que um grupo ou uma coleção de itens. Na matemática nos referimos a estes 
itens como elementos os quais são representados por algarismos numéricos, forman-
do assim conjuntos numéricos. Veja os exemplos a seguir.
{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} é um conjunto não numéri-
co.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} é um conjunto numérico.
é o conjunto dos números pares de 0 até o 14.
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SUMÁRIO
Normalmente os conjuntos são representados por colchetes com seus elementos 
separados por vírgulas ou dentro de uma figura oval como no exemplo acima cha-
mada de diagrama de Venn. A forma mais comum de se representar conjuntos é 
através de letras maiúsculas (A, B, C, D...), já os elementos são representados com 
letras minúsculas (a, b, c, d...).
Uma dos conceitos importantes a serem utilizados no estudo de conjuntos é deno-
minado relação de pertinência, na qual é de afirmação se um determinado elemen-
to pertence ao conjunto em questão. Nessa situação utiliza-se o símbolo ∈ quanto 
o elemento pertence ao conjunto e ∉ se o elemento não pertence ao conjunto. Veja 
os exemplos abaixo.
a. A = {1, 11, 111, 1111, 11111}
 11 ∈ A (pode ser lido como 11 pertence a A)
b. B = {a,b,c d, e, f, g}
 H ∉ não B (pode ser lido como H não pertence a B)
O s conjuntos podem ser representados de acordo com uma propriedade bem 
definida de seus elementos, ou seja, pode-se dizer que um conjuntos são todos os 
elementos que possuam determinada característica. Veja os exemplos abaixo.
a. A = {x | x tem a propriedade α} (pode ser lido como A é o conjunto de todos os 
elementos x, os quais possuam a propriedade α.
b. B = {y | y é dia da semana} (pode ser lido como B é o conjunto formado por todos 
os dias da semana).
c. C = {z│z é país da américa do sul} (pode ser lido como C é o conjunto formado 
por todos os paises da américa do sul).
1.2.1 TIPOS DE CONJUNTO
Os conjuntos possuem diferentes tipos de acordo com os elementos que o com-
põem.
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1.2.2 CONJUNTO VAZIO
O conjunto vazio consiste naquele que não possui nenhum nenhum elemento, 
como seu próprio nome diz. Pode ser representado pelo símbolo Ø ou simplesmen-
te na forma tradicional { }.
Exemplos:
a. A = {x | x, onde x ∙ 0 = 1}
b. B = {y | y é número par que nãoé divisível por 2}
1.2.3 CONJUNTO UNITÁRIO
O conjunto unitário como o próprio nome diz, é aquela que possui apenas um ele-
mento, veja os exemplos abaixo.
a. { 10 }
b. A = {x | x onde x = 1}
c. B = {y | y é seleção de futebol pentacampeã mundial}
1.2.4 CONJUNTO FINITO
O conjunto finito é aquele cuja quantidade de elementos pode ser quantificada, ou 
seja, existe uma quantidade finita de elementos dentro do conjunto. Exemplos:
a. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b. B = {x | x é aluno da Faculdade Multivix}
c. C = Ø
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SUMÁRIO
1.2.5 CONJUNTO INFINITO
O conjunto infinito é aquele que, ao contrário do finito, possuí uma quantidade 
ilimitada de elementos, de forma que ao se realizar a contagem da quantidade de 
elementos essa contagem jamais terminaria.
a. A = {0 , 2 , 4, 6, 8, 10...} neste exemplo, A é o conjunto dos números pares positivos.
b. B = {...-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} neste exemplo, B é o conjunto dos números inteiros. 
1.2.6 SUBCONJUNTO
Denomina-se como subconjunto aquele conjunto o qual todos os seus elementos 
pertencem ao outro conjunto. Os exemplos abaixo deixam isso de forma mais clara.
a. A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6,7}, pode-se afirmar que A é subconjunto de B. Pode-
-se simbolizar como A ⊂ B (Lê-se A está contido em B), ou então B ⊃ A (lê-se B 
contém A).
b. C = {a, e,i ,o ,u} e D = {x | x é letra do alfabeto}, pode-se afirmar que C é subcon-
junto de D já que todos os seus elementos, neste caso as vogais, são letras do al-
fabeto e logo estão dentro do conjunto D. Podendo, como no exemplo anterior, 
simbolizar C ⊂ D ou D ⊃ C.
1.3 CONJUNTOS NUMÉRICOS
Na matemática existem diversos conjuntos numérios cuja utilização é bastante co-
mum.
1.3.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
O conjunto dos números naturais é aquele composto por todos os números inteiros 
positivos, seu simbolo é o ℕ.
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ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…}
Pode-se também fazer uso do conjunto dos números naturais não nulos, cuja sim-
bologia acrescenta-se um asterísco (ℕ*).
1.3.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
O conjunto dos números inteiros como o próprio nome indica, é aquele composto 
por todos os números inteiros, e seu símbolo é Z.
Z = {…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…}
Nesse caso podemos utilizar a denotação de que N ⊂ Z.
1.3.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais é aquele que engloba todos os números inteiros 
mais os números que representam as frações. Seu símbolo é o Q.
Neste caso, ℕ ⊂ ℤ⊂ ℚ.
1.3.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
O conjunto dos números irracionais é aquele em que seus elementos não são reais, 
ou seja, não podem ser descritos como frações, os exemplos mais comuns são as 
raizes não exatas, o número π, entre outros. Seu simbolo é a letra I maiúscula.
I = {√3,√7,π,e…}
Neste caso I ⊄ ℚ, lê-se conjunto dos números irracionais não está contido no conjun-
to dos números racionais.
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1.3.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Por último existe o conjunto que engloba os números racionais e irracionais. Seu 
símbolo é o ℝ.
Existem duas propriedades importantes referentes aos números complexos. Elas 
são:
I. Conjunto completo
O conjunto dos números reais é um conjunto completo, de forma que este possuí 
uma relação com a reta númerica tal que para cada número real, existe apenas um 
único representante na reta numérica. Além disso, a reta numérica não possui ne-
nhum furo, sendo assim qualquer lugar na reta numérica possuí um único número 
que a representa.
II. Conjunto ordenado
O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado, de forma que ao se es-
colher um número real qualquer, na reta numérica, qualquer número a esquerda 
deste é menor do que ele, e qualquer número a direita dele é maior do que ele.
1.3.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conjunto dos números complexos é composto por todos os números reais mais 
os números provenientes de raizes com expoentes pares mas valores numéricos 
negativos. Uma vez que esse tipo de resolução não é possível de ser realizada com o 
uso dos números reais, foi criado os números complexos pela inserção da letra i, de 
forma que i² = -1. Seu simbolo é ℂ.
ℂ = {a+bi | a ,b ∈ ℝ}
Nos números complexos, “a” e “b” são números reais, de forma que a é a parte real 
do número e b a parte que chamamos de imaginária.
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A forma mais clara de verificar as relações existentes entre os diferentes conjuntos 
numéricos é pelo diagrama de Venn.
1.4 ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS
Os conjuntos podem ser submetidos a algumas interações algébricas.
1.4.1 UNIÃO DE CONJUNTOS
Defini-se como união de conjuntos quando soma-se os elementos pertencentes aos 
conjuntos em que se realiza a união. O simbolo da união é ⋃. Logo temos:
A U B ={x | x ∈ A ou x ∈ B}.
Exemplo:
A = {0,2,4,6,8} e B = {1,3,5,7,9}, logo A U B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Uma das propriedades da união de conjuntos é que se temos C ⊂ A, logo C U A = A. 
Outra propriedade é que A U B = B U A uma vez que a ordem dos elementos não é 
importante dentro de um conjunto, assim como (A U B) U C = A U (B U C). No dia-
grama de Venn abaixo, a parte rachurada representa A U B.
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1.4.2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTO
Defini-se como intersecção entre conjuntos todos os elementos que pertençam aos 
conjuntos em questão. O simbolo da interseção é ∩. Logo temos:
A ∩ B ={x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
A = {1,2,3,4,5} e B = {0,2,4,6,8}, logo A ∩ B = {2,4}
Nas propriedades da interseção de conjunto temos B ⊂ A, logo B ∩ A = A. Semelhan-
te a propriedade da união, na interseção A ∩ B = B ∩ A e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). No 
diagrama abaixo a região rachurada corresponde a A ∩ B.
1.4.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre conjuntos é dada pelos elementos pertencente ao primeiro con-
junto porém que não estão presentes no segundo. 
A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
A = {segunda, terça, quarta, quinta ,sexta, sábado, domingo}
B = {sábado, domingo}
A – B = {segunda, terça, quarta, quinta ,sexta}
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As propriedade da diferença dos conjuntos são: se A ∩ B = Ø então A – B = A; no 
caso de A ≠ B então A – B ≠ B – A; se B ⊂ A então B – A = Ø
1.4.4 CONJUNTO COMPLEMENTAR
Outra relação existente entre conjuntos é a de complemento, ou seja complemen-
tar. O complementar de um conjunto A em relação a B, onde A esta contido em B, 
são todos os elementos de B que não estão em A.
 (lê-se complemento de A em relação a B).
Exemplo
A = {a,b,c,d} B = {a,b,c,d,e,f,g} logo = {e,f,g,}
Para que exista o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto B, é 
necessário que A esteja contido em B, caso contrário dizemos que não existe o com-
plemento.
C = (10,20,30,40,50) D = {40,50,60,70,80} como C ⊄ D logo não existe.
As propriedades do complementar são: . Outra forma de se represen-
tar o complemento é através do uso de ‘ quando já se possui um universo fixado ou 
então pelo superescrito c, por exemplo (A∩B)c que seria o complemento da interse-
ção de A e B.
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SUMÁRIO
1.4.5 PRODUTO CARTESIANO
O produto cartesiano é a relação entretodos os elementos de dois conjuntos, A e B, 
formando pares ordenados, (x,y), de modo que x ∈ A e y ∈ B. Representa-se da forma 
A X B. 
A X B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo:
A = {1,2,3} B = {4,5,6}
A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
A representação de produto cartesiano é feita por meio de gráficos cartesianos ou 
diagramas de venn. Veja o exemplo dessas representações nas figuras abaixo.
 
1.5 RELAÇÕES
Na unidade anterior foi abordado sobre o que são conjuntos, seus diferentes tipos e 
algumas interações sobre eles. Agora será abordado o que são as relações entre con-
juntos. Defini-se como relação (R) entre um conjunto A e B, todos subconjuntos do 
produto cartesiano A X B. Se (x,y) ∈ R, então dizemos que x e y estão relacionados 
(ou associados) através de R.
Na prática, tente imaginar uma sala de aula, em que A é o conjunto de todos os 
meninos da sala e B é o conjunto de todas as meninas. O produto cartesiano A X B 
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é então todos os pares possíveis entre meninos e meninas. Ao se pegar um subcon-
junto desse produto cartesiano, ou seja alguns desses pares formados, então esses 
pares estão relacionados através de R.
Um exemplo mais prático sobre o uso de relações é, imagine que um pesquisador 
deseja avaliar a variação de temperatura durante 10 dias. Os resultados ficaram de 
acordo com a tabela abaixo
Dia Temperatura
1 22
2 23
3 24
4 22
5 25
6 26
7 30
8 29
9 28
10 29
Logo nessa situação o pesquisador obteve a relação dos dias com as temperaturas, 
cujo resultado formou os pares ordenados: R = {(1,22), (2,23), (3,24), (4,22), (5,25), 
(6,26), (7,30), (8,29), (9,28), (10,29)}. Nessa relação o primeiro elemento de cada par 
ordenado representa um elemento do conjunto Dia e o segundo elemento de cada 
par ordenado representa um elemento do conjunto Temperatura.
1.5.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Já as relações de equivalência são aquelas entre elementos de um mesmo conjun-
to, pois essa irá satisfazer três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade. 
Neste caso as relações de equivalência são provenientes de A X A. Veja o exemplo 
abaixo:
A = {1,2,3} 
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A X A = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Reflexividade: x ∈ A, tal que xRx, no exemplo acima (1,1);
Simetria: x,y ∈ A, tal que xRy então existe yRx, no exemplo acima (1,2) e (2,1);
Transitividade: x,y,z ∈ A, se xRy e yRz então xRz, no exemplo acima (1,2) e (2,3) então 
(1,3).
1.6 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Avalie a relação de A e B no diagrama abaixo:
Nessa relação, o conjunto A é denominado conjunto partida (CP) de R e o conjunto 
B é denominado contradomínio (CD) de R. Todos os elementos presentes em CP 
forma o domínio da relação R:
D(R) = {a,b,c,f}
Já os elementos presentes no CD formam a imagem da relação R:
Im(R) = {h,i,j,k,l}
Análises de domínio e imagem são amplamente utilizadas em gráficos cartesianos. 
Veja os exemplos a seguir:
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Neste caso o domínio é dado pelo conjunto das abscissas e a imagem pelo conjun-
to das ordenadas de todos os pontos do gráfico, de acordo com a tabela abaixo:
Domínio Imagem
1 5
3 7
5 9
4 -2
5 -4
8 6
3 2
1 -2
4 0
Um exemplo mais complexo seria um gráfico, conforme abaixo:
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SUMÁRIO
A relação entre A e B é dada pela curva, logo podemos definir da segunte forma:
D(R) = {x ∈ ℝ: -2 ≤ x ≤ 2}
I(R) = {y ℝ: 0 ≤ y ≤ 2}
1.6.1 CLASSE DE EQUIVALÊNCIA
Classe de equivalência de um elemento x módulo de R é o conjunto dado por todos 
os elementos que pertencem a R com x, ou seja (x,a) ∈ R. Matematicamente pode 
ser descrito como:
[x]R = {z:xRz}
 Se dois elementos pertencem a mesma classe de equivalência dizemos que eles 
são equivalentes. 
Exemplo:
A = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}
A1 = {a,b,c,d,e}
A2 = {f,g,h}
A3 = {i,j}
[a]R = {z:aRz} = {a,b,c,d,e} = A1 (pois A1 é o conjuntos que possuí o elemento “a”)
[f]R = {z:fRz} = {f,g,h} = A2
[j]R = {z:jRz} = {i,j} = A3
1.6.2 PARTIÇÃO
Partição de um conjunto A (P(A) ou Part(A)) é definido como os subconjuntos de 
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um conjunto A, que satisfaça as condições:
I. Nenhum dos elementos de P(A) é conjunto vazio;
II. A união de todos os elementos de P(A) é igual a A;
III. A interseção de quaisquer dois elementos de P(A) é igual ao conjunto vazio (nes-
te caso dizemos que são pares disjuntos).
Exemplo
A = {x,y,z}, logo seus subconjuntos são: {x}, {y},{z},{x,y},{x,z},{y,z} e {x,y,z}
B = {{x}, {y,z}}, logo B é partição de A pois nenhum de seus elementos é vazio, {x} U 
{y,z} = A e {x} ∩ {y,z} = Ø.
1.6.3 CONJUNTO QUOCIENTE
Existe um caso específico em que, se existe uma relação R de equivalência sobre o 
conjunto A, então o conjunto {[x]R :x ∈ A} recebe o nome especial de conjunto quo-
ciente. Simbolicamente é expresso por:
A/R = {[x]R :x ∈ A} (lê-se o conjunto quociente de A dado R é o conjunto das classes 
equivalentes de x tais que x pertence ao conjunto A).
Exemplo
a. Seja A o conjunto {1,2,3,4,5,6} e R sua relação {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), 
(2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} sendo 
esta uma relação de equivalência. Determine A/R
Logo A/R = 
b. A relação em A = ℤ dada por: “xRy ⇔ x - y é multiplo de 4” é uma relação de equi-
valência. Determine A/R
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SUMÁRIO
Analogamente:
Observe que .
1.7 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
Já é esperado que o aluno chegue a esse tópico sabendo praticamente tudo o que 
será abortado nesta unidade. Porém isso não reduz a importancia da unidade, uma 
vez que além do aluno recordar vários conceitos e propriedades ele também irá ver 
algumas atuações desse conteúdo em problemas matemáticos. 
As operações matemáticas são regras aplicadas a quantidade de elementos, nor-
malmente representados por números, a qual respeita uma regra lógica. 
1.7.1 ADIÇÃO
A adição é a operação básica matemática, a qual relaciona a quantidade de ele-
mentos, somando-os, resultando em uma soma ou um total. Seu símbolo matemá-
tico é o sinal +. Veja o exemplo:
Paulo tinha 5 balas ●●●●● e ganhou mais 3 ●●●.
Portanto Paulo agora tem 5 + 3 = 8
●●●●● + ●●● = ●●●●●●●●
Carlos tinha 4 anéis OOOO e comprou mais 2 OO
Portanto Carlos agora tem 4+2 = 6
OOOOOO
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1.7.2 SUBTRAÇÃO
A subtração é uma operação inversa à adição, pois na subtração realiza-se a remo-
ção da quantidade de elementos subtraídos, restando um total sempre menor do 
que a quantidade inicial. Seu símbolo matemático é o sinal -. Veja os exemplos
Amanda tinha 9 balas 000000000 e chupou 6 000000
Portanto Amanda agora possui 9 - 6 = 3
000000000
Ana tinha 5 ovos 00000 e quebrou 1 0
Portanto Ana agora possui 5 – 1 = 4
00000
1.7.3 MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é uma operação matemática que possui relação intrínseca com a 
adição, pois se multiplicar um número A por outro B, é o mesmo que:
Os símbolos da multiplicação podem ser vários, entre os mais comuns estão “x”, “.”, 
“●”, ou simplesmente colocar um número próximo a uma variável,como por exem-
plo “2y” que seria 2●y. Veja exemplos de multiplicação.
José ganhou na loteria 10 reais 2 vezes, logo:
Marcos pagou o liquidificador em 10 vezes de 15 reais, logo:
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Em uma multiplicação “AxB = C”, o primeiro termo “A” é chamado de multiplicando 
e o segundo termo “B” é chamado de multiplicador e o resultado “C” de produto.
1.7.4 DIVISÃO
A divisão é a operação inversa da multiplicação, de forma que quando se tem um 
elemento “A” e quer dividi-lo por “B”, significa que irá realizar o fracionamento de 
A até se obter B conjuntos com a mesma quantidade de elementos. Numa divisão 
o número que será dividido é o dividendo, o número que irá realizar a divisão é o 
divisor, o resultado é o quociente e caso não seja uma divisão exata ainda existe o 
termo resto.
Os símbolos da divisão podem ser os ∟, :, ÷, mas seu uso mais comum é por meio de 
frações dividendo/divisor. Veja os exemplos.
Lucas tinha 9 laranjas ooooooooo, queria dividí-las para três pessoas, logo
9 ÷ 3 = 3
ooo ooo ooo
Luciano possuia 10 lápis IIIIIIIIII, e queria dividí-los para 5 pessoas, logo
10 ÷ 2 = 5
II II II II II
Cláudio tinha 18 diamantes ◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊, e queria dividí-los para os seus 4 
filhos, logo
 ◊◊◊◊ ◊◊◊◊ ◊◊◊◊ ◊◊◊◊ resto ◊◊
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Quando se realiza uma divisão de uma fração por outra, é o mesmo que conservar a 
primeira e multiplicar pela segunda invertida, conforme o exemplo:
OBSERVAÇÃO: Na divisão NUNCA é possível que o valor do divisor seja zero, pois o 
resultado não produz um número real. As equações que envolvem apenas as quatro 
operações aritméticas (adição, subtração, divisão e multiplicação) são denominadas 
equações racionais.
1.7.5 POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma operação matemática que se baseia na quantidade de multi-
plicações realizadas de um número por ele mesmo, ou seja, A elevado a potência B 
é o mesmo que:
Os termos da potenciação AB são a base “A” e o expoente “B”. A potenciação é sim-
bolizada pelo superescrito, ou seja, o número que será o expoente é escrito na parte 
superior da base. Veja alguns exemplos:
102 = 10 x 10 = 100
23 = 2 x 2 x 2 = 8
Vale observar que a potenciação está para a multiplicação assim como a multiplica-
ção está para a adição.
Uma das propriedades da potenciação é a soma dos expoentes quando ocorre a 
multiplicação de mesma base, veja o exemplo:
35 x 38 = 313
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Cabe salientar que todo número possui um expoente, de forma que um número 
cujo não está explicito o expoente significa que seu expoente é 1, pois um número 
elevado a 1 é ele mesmo.
OBSERVAÇÃO: qualquer número elevado ao expoente zero é igual a 1, essa regra 
é para que seja preservada a propriedade acima de mx . my = mx+y, se x = 0 então 
para que m0+y = my = 1. my.
1.7.6 RADICIAÇÃO
Muitas pessoas possuem dificuldade em realizar cálculos de radiciação, porém 
muito se dá devido a não interpretação correta do que é a raiz de um número. Uma 
radiciação nada mais é do que a potenciação fracionada da base “a” pela fra-
ção “1/n”, ou seja deseja se saber o valor de x, tal que xn = a. Quanto não se escreve 
o valor n significa que n = 2, onde denomina-se como “raiz quadrada”. No caso da 
radiciação = x, os termos são “a” radicando, “n” indice e “x” a raiz. O símbolo √ é 
denominado radical. Veja os exemplos:
Para encontrar as respostas para a radiciação de números maiores é necessário rea-
lizar a fatoração do radicando.
1.7.7 PROPRIEDADE COMUTATIVA
Numa adição, a ordem dos termos não altera o resultado:
A + B = B + A
8 + 3 = 11 = 3 + 8
Numa multiplicação essa propriedade também é valida:
A x B = B x A
8 x 3 = 24 = 3 x 8
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1.7.8 PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
Numa adição de três termos, a soma entre os dois primeiros com o terceiro é igual a 
soma do primeiro com a soma dos dois últimos, veja o exemplo
(A + B) + C = A + (B + C)
(1 + 2) + 3 = 6 = 1 + (2 + 3)
Análogamente esta propriedade é válida para a multiplicação, veja o exemplo:
(A x B) x C = A x (B x C)
(1 x 2) x 3 = 6 = 1 x (2 x 3)
1.7.9 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
Uma multiplicação em relação a uma adição, é o mesmo que realizar a multiplica-
ção por cada termo da adição separadamente, veja o exemplo:
A x (B + C) = A x B + A x C
2 x (1 + 3) = 8 = 2 x 1 + 2 x 3
1.7.10 PROPRIEDADE DO ELEMENTO NEUTRO
Na adição o elemento neutro é o zero, pois todo número somado a zero é igual a 
ele mesmo.
A + 0 = A
9 + 0 = 9
Na multiplicação o elemento neutro é o 1, pois todo número multiplicado por 1 é 
ele mesmo. O mesmo vale para a divisão
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A x 1 = A, A ÷ 1 = A
4 x 1 = 4, 4 ÷ 1 = 4
1.7.11 PROPRIEDADE DO ELEMENTO OPOSTO
Na adição, diz-se que o elemento oposto de A é –A, de forma que a adição entre um 
número e seu oposto é igual a zero. 
A + (-A) = 0
5 + (-5) = 0
1.7.12 PROPRIEDADE DO ELEMENTO INVERSO
O inverso de um número A é A-1 = 1/A-1, pois a multiplicação de um número pelo seu 
inverso é sempre igual a 1.
A x 1/A = 1
15 x 1/15 = 1
1.8 LINGUAGEM ALGÉBRICA
Na matemática é comum vermos as expressões algébricas, de forma que nesta 
existem diversos algarismo dos mais diversos tipos, como letras, números e sinais. 
Nas expressões matemáticas tradicionais existem os valores, que são representa-
dos por números, as variáveis representadas por letras onde as mais comuns são x 
e y, simbolos matemáticos, que podem representar operações a serem realizadas 
ou mesmo ter significados específicos e também podem apresentar simbolos de 
ordenação, que modificam a ordem de realização das operações, tais como () ou [ ]. 
Expressões matemáticas podem ser escritas para representar sentenças e proposi-
ções. 
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1.8.1 SIMBOLOS MATEMÁTICOS
Na matemática existem diversos símbolos matemáticos e cada um possui um signi-
ficado, porém alguns deles possuem maior utilização.
Além desses simbolos existem diversos outros, porém os mais usuais são estes o 
quais pessoas que realizam estudos relativos à matemática devem ter o total enten-
dimento e compreensão sobre a representação e significados destes símbolos.
1.8.2 ORDEM DAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS
A matemática possui uma característica peculiar em suas expressões: a ordem de 
realização das mesmas. Em uma frase ou sentença, o que fazemos é a leitura sem-
pre da esquerda para a direita de forma a ir seguindo para a linha de baixo a me-
dida que se finaliza uma linha. Na matemática os cálculos não necessariamente 
seguem essa ordem, uma vez que existem operações e símbolos que requerem que 
parte de uma expressão seja resolvida primeiramente. A ordem de prioridade na 
matemática é:
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1º Parêntesis;
2º Expoentes;
3º Multiplicações e Divisões (na ordem em que aparecem da esquerda para a direi-
ta);
4º Somas e Subtrações (na ordem que aparecem da esquerda para a direita).
Portanto devemos atentar em expressões que podem a principio parecer identicas, 
porém produzem resultados bastante diferentes. Veja o exemplo:
(2+3)² - (18/5 + 1) = 5² - (5,6+ 1) = 25 - 6,6 = 18,4
2 + (3² - 18/5) + 1 = 2 + (9 – 18/5) + 1 = 2 + (9 – 5,6) + 1 = 2 + 3,4 + 1 = 6,4
(2 + 3 – (18/5 + 1))² = (5 – (5,6 + 1))² = (5 – 6,6)² = (-1,6)² = 2,56
1.8.3 FATORAÇÃO
A fatoração é uma operação matemática bastante útil e em muito dos casos im-
prescindível para resolver uma equação matemática. Podemos defini-la como 
sendo uma simplificação das operações presentes na equação ou como a decom-
posição de um número em uma mutiplicação de fatores. Existem diversos tipos de 
fatoração, sendo que apenas os principais e mais utilizados serão apresentados a 
seguir.
1.8.4 FATORAÇÃO DE UM NÚMERO
A fatoração de um número é dada pela divisão deste pelo menor número primo 
possível, onde este processo é repetido até que se obtenha o número 1. Veja o 
exemplo
Fatoração de 162
Menor primo inicial = 2
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162/2 = 81
Menor primo possível = 3
81/3 = 27
Menor primo possível = 3
27/3 = 9
Menor primo possível = 3
9/3 = 3
Menor primo possível = 3
3/3 = 1
A fatoração de 162 é 2.3.3.3.3 = 2.34
1.8.5 FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Esse caso consiste em colocar em evidência um valor que possui relação com mais 
de um dos outros termos da equação, normalmente esse tipo de fatoração existe 
em multiplicações, veja o exemplo a seguir:
ax+bx=x⋅(a+b)
5.2 + 5.3 = 5.(2 + 3)
7.8 – 7.5 = 7.(8 – 5)
1.8.6 FATORES EM AGRUPAMENTO
Este caso é semelhante ao anterior, porém quando sua temos a presença de mais 
de um fator a ser evidênciado. Veja os exemplos.
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ax + bx + ay + by = (x + y)⋅(a + b), pois temos ax + bx + ay + by = x⋅(a + b) + y⋅(a + b) = (x + 
y)⋅(a + b)
2x + 8x + 2y + 8y = x⋅(2 + 8) + y⋅(2 + 8) =(2 + 8)⋅(x + y)
5z + 2z + 5x + 2x = 5z + 5x + 2z + 2x = 5⋅(z + x) + 2⋅(z + x) = (5 + 2)⋅(z + x)
1.8.7 FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS 
QUADRADOS
Também existem fatoração para algumas expressões exponenciais. No caso de dois 
números elevados ao quadrado temos:
a² − b² = (a + b)⋅(a − b)
exemplos:
36x² − 81y² = (6x)² − (9y)² = (6x + 9y)⋅(6x − 9y)
4x² − 9z² = (2x) ² − (3z)² = (2x + 3z)⋅(2x − 3z)
1.8.8 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Esse caso é definido como a simplificação do quadrado da soma de dois termos 
ou o quadrado da diferença de dois termos, portante esse tipo de fatoração possui 
representação tanto na adição quanto na subtração. Observe que ele é o inverso do 
produto notável. Veja os exemplos.
Adição: a² + 2ab + b² = (a + b)² 
Subtração: a² − 2ab + b² = (a − b) ²
9y² − 12y + 4 = (3y) ² − 2⋅3y⋅2 + (2) ² = (3y − 2) ²
16x² + 40x + 25 = (4x) ² − 2⋅4x⋅5 + (5) ² = (4x + 5) ²
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1.9 PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Problemas matemáticos são bastante comuns no dia a dia das pessoas e principal-
mente para estudantes de matemática. Os problemas podem ser definidos como 
situações as quais requer a aplicação de conhecimentos matemáticos para identifi-
cação do valor de uma variável que representa alguma informação ou quantidade. 
Algums pontos são primordiais para a rápida resolução de problemas, são eles:
• Leitura e entendimento do problema;
• Identificação do termo desconhecido que se deseja calcular;
• Estabelecer as equações e operações a serem realizadas;
• Tire a prova do seu resultado.
A melhor forma de estudar problemas é mediante a prática destes, então vamos 
fazer alguns exemplos.
a. Cassio foi na venda e comprou 25 pastéis e pagou R$ 12,50. Quantos reais Cas-
sio pagou por cada pastel?
 Valor de cada pastel = x
 Equação: x . 25 = 12,50
 Solução: x = 12,50/25 = 0,50 reais
b. Maurício pensou em um número. Depois ele pegou esse número e somou 18 
em seguida pegou o resultado e dividiu por 3 e depois multiplicou por 7 e ob-
teve o número 49. Qual o número que Maurício pensou?
 Número que Maurício pensou = x
 Equação: ((x + 18)/3)x7 = 49
 Solução = ((x + 18)/3) = 49/7 = 7
 ((x + 18) = 7 x 3 = 21
 X = 21 – 18 = 3
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MateMática aplicada
SUMÁRIO
c. Carlos e Rodrigo são irmãos. Sabe-se que Carlos tem o dobro da idade que 
Rodrigo tinha quando Carlos tinha a idade de Rodrigo. Quando Rodrigo tiver a 
idade que Carlos tem agora, a soma da idade dos dois será de 45 anos. Quais são 
as idades de Carlos e Rodrigo?
Pela frase “Sabe-se que Carlos tem o dobro da idade que Rodrigo tinha quando Car-
los tinha a idade de Rodrigo”, temos que Rodrigo tinha x e hoje tem y e Carlos tinha 
y e hoje tem 2x.
Solução: 
A diferença entre as idades é sempre a mesma, logo:
x – y = y - 2x → x = y(2/3)
Logo Rodrigo tinha y(2/3) agora tem y então se passou (1/3)y, de forma que a idade 
de Carlos é y + (1/3)y = y(4/3)
Pela frase “Quando Rodrigo tiver a idade que Carlos tem agora, a soma da idade dos 
dois será de 45 anos.” Conclui-se que:
y + (1/3)y + y(4/3) + (1/3)y = 45
3y = 45 → y = 15
Logo a idade de Rodrigo é 15 e a de Carlos é 20, quando Rodrigo tiver 20 anos Car-
los terá 25 e a soma será 45.
d. A razão entre a idade é Paula e sua mãe Claúdia é de 4 para 5. Porém, a 8 anos 
atrás essa razão era de 8 para 11. Qual a idade de Cláudia e Paula.
 Idade de Paula é p;
 Idade de Cláudia é c
Solução:
A razão entre as idades é 4/5, logo p/c = 4/5 → p = 4c/5
A 8 anos atras a razão era 8/11, logo (p-8)/(c-8) = 8/11 substituindo a equação ante-
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rior temos ((4c/5)-8)/(c-8) = 8/11→ ((4c/5)-8)=(c-8). 8/11 → ((4c/5)-8) = (8c- 64)/11→(4c-
40)/5 = (8c- 64)/11 → 44c – 440 = 40c – 320 → 44c – 40c = 440 – 320 → c = 120/4 = 30
Logo Cláudio tem 30 anos e Paula tem 4.30/5 = 24 anos
e. Em uma competição de atletismo, o 1º colocado e o 2º colocado ganharam 
juntos R$ 30.000,00. Sabe-se que o segundo colocado ganhou R$ 7.500,00 a a 
menos do que o primeiro colocado. Com base nessas informações qual a pre-
miação desses competidores?
 Prêmio do 1º colocado: x 
 Prêmio do 2º colocado: x – 7.500
 Sentença: x + x - 7.500 = 30.000
Solução do problema:
x + x - 7.500 = 30.000
2 · x = 30.000 + 7.500
2 · x = 37.500
x = 37.500/ 2
x = 18.750
Prêmio do 1º colocado: 18.750
Prêmio do 2º colocado: x = 18.750 – 7.500 = 11.250
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MateMática aplicada
SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Identificar domínio e 
imagem de funções;
> Identificar quais os 
principais tipos de 
funções;
> Utilizar funções em 
situações do dia a dia 
e na exemplificação 
de problemas.
UNIDADE 2
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2 FUNÇÕES
2.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade iremos ver a utilização do conhecimento na unidade anterior no que 
se relaciona a funções. Iremos ver como as funções são amplamente trabalhadas em 
situações reais do cotidiano e as relações dessas com conjuntos numéricos.
2.2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Imagine uma pessoa que está utilizando uma motocicleta para fazer uma viagem. O 
ponto de partida da pessoa seria o ponto zero, e a medida que o tempo, em horas, pas-
sa ele terá percorrido uma distância em quilometros por uma velocidade constante.
Tempo (h) Distância (km)
1 90
2 180
3 270
... ...
Percebemos pela tabela que existe uma relação entre o tempo e a distância, pois 
vemos que cada valor de tempo é associado a um valor de distância. Logo podemos 
afirmar quea distância é dada em função do tempo, pois seus valores possuem um 
correspondente com um valor de tempo. Essa situação pode ser expressa pela equa-
ção:
Distância = 90 x tempo, ou d = 90t
Pela equação vemos que fica claro a visão de que para qualquer valor de d existe um 
valor de t correspondente. Se considerarmos que a cidade destino do motociclista 
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SUMÁRIO
está a 540km de distância então podemos encontrar o tempo que ele irá gastar para 
chegar la:
540 = 90t → t = 6h
Esse tipo de relação é comum no nosso dia a dia, apesar de na maioria das vezes não 
pensarmos nessas relações. Veja alguns exemplos abaixo:
a. O preço do pão francês é dados em função da massa, ou seja para cada valor da 
massa (em quilogramas) existe o valor, em reais, que será pago para a aquisição 
do pão;
b. O preço da gasolina, em reais, é dado em função da quantidade, em litros, bom-
beada no tanque de combustível.
c. Ao realizar a medida da temperatura, esta é dada em função do comprimento 
da coluna de mercúrio.
De uma maneira mais formal dizemos que sejam A e B conjuntos diferentes do vazio, 
denomina-se função f a relação de A e B se, e somente se, TODO elemento de A esti-
ver associado através de uma relação com um único elemento de B.
 
Neste ultimo exemplo podemos ver que existe as relações estudadas na unidade an-
terior, de domínio, contradomínio e imagem. Neste caso temos:
D(f) = A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; CD(f) = B = {30,35,40,45,50,55,60};
I(f) = {40}
Note que a imagem são apenas os elementos que estão relacionados por f, já o con-
tradomínio são todos os elementos do conjunto. Ainda neste exemplo dizemos que 
44
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existem as imagens de 40 em relação a função:
40 = f(1) (40 é imagem de 1 através de f);
40 = f(2) (40 é imagem de 2 através de f);
40 = f(3) (40 é imagem de 3 através de f) e assim sucessivamente.
Vale destacar as situações as quais não dizemos que existe uma função.
Neste caso dizemos que g não é função, pois não obedece o requisito de que todo 
elemento de A tenha relação com B, pois os elementos 6 e 12 não estão relacionados.
Já nesta situação dizemos que h não é função, pois os elementos 2 e 4 estão relacio-
nados com mais de um elemento do conjunto B, que neste caso seriam os elementos 
20 e 30 para o 2 e 10 e 20 para o 4. Não confunda os conjuntos para essa situação, ou 
seja, são todos os elementos do domínio que precisam estar associado a um único 
elemento do contradomínio e não o contrário. 
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SUMÁRIO
2.3 LEI Y = F(X)
A partir de agora veremos as situações as quais expressamos algebricamente as fun-
ções na matemática. Ao lembrarmos do plano cartesiano temos dois eixos, x e y, cujos 
nomes são abscissa e ordenada respectivamente. Na existência de um elemento em 
y, do conjunto B, que tenha relação com um elemento x, do conjunto A, através de 
uma função f, dizemos que y = f(x) (lê-se y é igual a f de x ou y é imagem de x através 
de f). Veja o exemplo:
A = [-2, 4] e B = [-6, 12] e a função A → B, onde cada valor x ∈ A, é associado a um único 
f(x), f(x) ∈ B, através da lei f(x) = 3x. por exemplo a imagem do elemento -1:
f(-1) = 3 ● -1 = -3 ⇒ f(-1) = -3; logo (-1,-3) ∈ f
a imagem do elemento 2 através de f é:
f(2) = 3 ● 2 = 6 ⇒ f(2) = 6; logo (2,6) ∈ f
Exercício:
Dada a função f de A em B dada pelo diagrama abaixo, calcule:
a. f(2)
b. f(4)
c. f(6)
d. f(8)
e. f(10)
f. f(12)
g. f(2) + f(10)
h. f(12) - f(6)
i. 2 (f(2) + f(10))
j. 
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Resolução
Sabenos que f(x) indica a imagem do elemento x através de f, portanto temos:
a. (2) = 20
b. f(4) = 10
c. f(6) = 40
d. f(8) = 50
e. f(10) = 30
f. f(12) = 60
g. f(2) + f(10) = 20 + 30 = 50
h. f(12) - f(6) = 60 – 40 = 20
i. 2 ● (f(2) + f(10)) = 2 ● (20+30) = 2 ● 50 = 100
j. 
2.3.1 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DE UM 
GRÁFICO
Matematicamente a maior forma de representar funções se dá pela forma gráfica 
através do plano cartesiano. Consequentemente é extremamente relevânte saber re-
presentar a imagem desses gráficos como comprovação da absorção desses conhe-
cimentos. Vejamos o exemplo abaixo:
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14
y
x
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SUMÁRIO
Observação: O ponto com a “bolinha” vazia exclui aquele valor da curva enquanto a 
“bolinha” cheia inclui o valor.
Este gráfico representa uma função cuja definição é dividida em três partes:
f(x) = (2 ● x) + 1, x ∈ [0,6[, logo sua imagem é [1,13[;
f(x) = 10, x = 6, logo sua imagem é [10];
f(x) = 15 – x, x ∈ ]6,13], logo sua imagem é ]9,2].
Verificamos que a imagem do gráfico é I(f(x)) = [0,13] sendo dividida nas três partes 
acima.
No caso do domínio e do contradomínio da função serem subconjuntos dos números 
reais R (f: ℝ → ℝ) esta função recebe o nome de função real de variável real.
2.3.2 FUNÇÃO AFIM (OU DO 1º GRAU)
Agora iremos estudar uma das funções mais importantes que são as funções afim. 
Inicialmente, Vamos imaginar a seguinte situação, um serralheiro produz 2 metros de 
chapa de metal por minuto. Logo temos a quantidade de chapa de metal em metros 
produzidos em função dos minutos decorridos conforme a tabela e o gráfico:
Tempo (minutos) Chapa (metros)
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6
y
x
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Agora podemos imaginar se fossemos medir a quantidade de chapa de metal pro-
duzida em intervalos menores, nesse caso seria de acordo com os dados abaixo:
Tempo
(minutos)
Chapa
(metros)
0.5 1
1 2
1.5 3
2 4
2.5 5
3 6
3.5 7
4 8
4.5 9
5 10
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
y
x
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SUMÁRIO
E se detalharmos ainda mais esses dados reduzindo o intervalo de medida dos dados 
para 0,2 minutos, teriamos:
Tempo
(minutos)
Chapa
(metros)
 0.2 0.4
0.4 0.8
0.6 1.2
0.8 1.6
1 2
1.2 2.4
1.4 2.8
1.6 3.2
1.8 3.6
2 4
2.2 4.4
2.4 4.8
2.6 5.2
2.8 5.6
3 6
3.2 6.4
3.4 6.8
3.6 7.2
3.8 7.6
4 8
4.2 8.4
4.4 8.8
4.6 9.2
4.8 9.6
5 10
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
y
x
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Com esses últimos dados fica clara que existe um comportamento previsível da situa-
ção, pois se reduzissemos o intervalo de tempo a valores muito pequenos o gráfico 
ficaria conforme o gráfico a seguir.
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
y
x
Vemos que o gráfico acima corresponde a uma reta, e que também que esse caso se 
trata de uma função crescente. Os gráficos que correspondem a uma reta são deno-
minados como função do primeiro grau ou função afim e possuem a lei de associa-
ção y = f(x) de forma peculiar. Definimos como:
Toda reta pode ser definida por uma função f, do tipo f(x) = ax + b, com {a,b} ⊂ ℝ 
e a ≠ 0 cuja denominação é função do primeiro grau ou função afim.
Observação: a partir de agora utilizaremos a notação de dois termos juntos como 
uma multiplicação entre eles, por exemplo onde está escrito “ax” significa que o valor 
de “a” esta multiplicandoo valor de “x”.
Exemplos:
a. y = 5x + 3
b. f(x) = 6x-8
c. y = 3x
d. y = x/2+1
Observação: toda função afim que possuí b = 0 é denominada função linear, um 
exemplo é a função y = 3x.
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SUMÁRIO
2.3.3 ESTUDO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Vimos que uma reta pode ser descrita como uma função do primeiro grau e que 
essa pode ser expressa por uma equação peculiar y = ax + b. A partir de agora iremos 
estudar as principais peculiaridades dessa função.
Raizes da função: A raiz de uma função do 1º grau é encontrada fazendo y = 0, ou seja, 
ax = -b → x = - b/a.
Função crescente: A função será crescente se x2 > x1 → f(x2) > f(x1), portanto teremos 
ax2 + b > ax1 + b ∴ ax2 + b - ax1 – b > 0 ∴ ax2 - ax1 > 0 ∴ a(x2 - x1) > 0. Como x2 > x1 
temos x2 - x1 > 0, logo a(x2 - x1 ) > 0 ⟺ a > 0. Resumindo: uma função do 1º grau da 
forma y = ax + b, é crescente se, e somente se, a > 0.
Função decrescente: Fazendo o raciocínio análogo a função crescente, resumimos 
como: uma função do 1º grau da forma y = ax + b, é decrescente se, e somente se, a < 0.
Função constante: Fazendo o raciocínio análogo as duas últimas situações, resumimos 
como: uma função do 1º grau da forma y = ax + b, é constante se, e somente se, a = 0.
2.3.4 FUNÇÕES INVERSAS
Antes de avaliarmos funções inversas, devemos entender o conceito de relações in-
versas. Consideremos a relação R de A em B.
R = {(1,4),(2,5),(3,5)}
52
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Agora considerando a relação S de B em A, de forma que (x,y) ∈ S ⟺ (y,x) ∈ R, ou seja, 
invertendo os elementos dos pares ordenados de R:
Logo diz-se que as relações R e S são inversas entre si. 
Define-se como relações inversas se existe uma relação R de A em B e uma relação 
S de B em A da forma que (x,y) ∈ S ⟺ (y,x) ∈ R, denomina-se que R e S são inversas 
entre sí. Utiliza-se a indicação “-1” para se referir a uma função inversa, por exemplo R 
= S-1 ou S = R-1.
Agora o uso desse conceito em funções é o que define as funções inversíveis. Uma 
função f de A em B é invertível se, e somente se, sua relação inversa f-1 de B em A 
também for uma função. Logo diz-se que f e f-1 são funções inversas entre sí. 
A condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que f seja bijeto-
ra. Para uma função ser bijetora ela tem que ser sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Uma função f de A em B é sobrejetora se, somente se, o contradomínio B é igual ao 
conjunto imagem, ou seja, todos os elementos de B possuem pelo menos um corres-
pondente em A.
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SUMÁRIO
Uma função f de A em B é injetora se, somente se, não existe elemento do contrado-
mínio B que possui correspondencia com mais de um elemento do domínio, ou seja, 
nenhum elemento de B possui relação com dois elementos de A.
Portanto o diagrama de uma função bijetora fica conforme a figura abaixo:
Observação: Uma função f que é invertível ⟺ f-1 é função.
Para encontrar a inversa de uma função do primeiro grau basta seguir os seguintes 
procedimentos:
I. Isolar a variável x
II. Substituir x por y e y por x
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Veja o exemplo:
Ache a inversa de y = 3x + 2
1º passo: isolar x 
2º passo: trocar x por y e y por x 
Logo a inversa de y = 3x + 2 é 
2.4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (OU EQUAÇÃO DO 2º 
GRAU)
Uma equação do segudo grau ou também conhecida como função quadrática, é 
aquela que representa uma parábola, cujo formato é resultado da interseção de um 
cone por um plano que o atravesa.
Matematicamente uma função quadrática é aquela que pode ser escrita na forma 
f(x) ou y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, e {a, b, c} ϵ R. Todo gráfico de uma função quadrática 
possui a forma de um parábola, pondendo sua concavidade estar para cima ou para 
baixo de acordo com o sinal de a, se positivo a concavidade é para cima e se for ne-
gativo é para baixo.
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SUMÁRIO
 
Os pontos importantes de uma equação quadrática são: os pontos de interseção 
com o eixo horizontal (abscissa), o vértice e o ponto de interseção com o eixo verti-
cal (ordenada).
A interseção com a abscissa é dado pela fórmula de Bhaskara:
O vértice da parábola é dada por:
A interseção com a ordenada é simplesmente o valor de c, pois na equação é quan-
do o valor de x = 0. Uma observação importante é que, se uma função é quadrática 
de concavidade para cima, ela possui um mínimo que é o seu vértice. Se a concavi-
dade é para cima, ela possui um máximo que também é seu vértice.
2.5 FUNÇÃO MODULAR
Para explicar o que é uma função modula, primeiro precisamos ter o entendimento 
sobre módulo. Definimos como módulo de x, (simbolizado por |x|) a distância entre 
x e a origem de seu eixo. Veja os exemplos
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|6| = distância de 6 até 0 = 6
|3| = distância de 3 até 0 = 3
|-2| = distância de -2 até 0 = 2
|-5| = distância de -5 até 0 = 5
Pelo exemplos verificamos que o módulo de um número positivo é ele mesmo e de 
um número negativo é ele mesmo com sinal trocado. As propriedades dos módulos 
são:
|x| ≥ 0, Ɐ x, x ϵ ℝ;
|x| = 0 ↔ x = 0;
|x| = d ↔ x = ± d;
|x| . |y| = |x.y|, Ɐ {x,y}, {x,y} ϵ ℝ;
|x|n = xn ↔ n é par, Ɐ x, x ϵ ℝ e Ɐ n, n ϵ ℕ;
, Ɐ {x,y}, {x,y} ϵ ℝ; y ≠ 0.
Com esses conceitos, podemos definir então uma função modular. Uma função 
f(x) é modular se f(x) = |x|. Cabe destacar que uma função modular não possui valor 
negativo. Veja o exemplo.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10
f(x) = -3x + 15
0
5
10
15
20
0 2 4 6 8 10
f(x) = |-3x + 15|
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> resolver problemas 
com funções 
exponenciais, 
logaritmicas e 
trigonométricas;
> Saber identificar o 
comportamento das 
funções apresentadas 
nessa unidade;
> Saber representar 
graficamente as 
funções dessa 
unidade.
UNIDADE 3
58
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3 FUNÇÕES ELEMENTARES
3.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade iremos aprender sobre alguns tipos especiais de funções, que são uti-
lizadas em situações mais complexas e que desempenham um papel muito impor-
tante na matemática. 
3.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Denominamos de função exponencial uma função f(x) = ax, onde f:ℝ→ sendo a 
uma constante real positiva diferente de 1. Nesse tipo de função, se a > 1 a função é 
crescente e se a < 1 é decrescente.
0
5
10
15
20
25
30
35
-10 -5 0 5 10
f(x) = 2x
0
5
10
15
20
25
30
35
-10 -5 0 5 10
f(x) = (1/2)x
As propriedades das funções exponenciais são:
ax = ay ⇔ x = y
ax > ay ⇔ x > y, Ɐa, a ϵ ℝ, e a > 1;
ax > ay ⇔ x < y, Ɐa, a ϵ ℝ, e 0 < a < 1;
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SUMÁRIO
3.3 FUNÇÃO LOGARITMICA
Para estudarmos esse tipo de função primeiro devemos lembrar os conceitos de lo-
garitmos e suas propriedades.
Defini-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a
logba = x ⟺ bx = a
Os seus termos são:
 a é o logaritmando;
 b é a base;x é o logaritmo de a na base b.
As propriedades do logaritmo são:
logbb = 1;
logb1 = 0;
logba
y = y.logba;
logbb
x = x;
blogba = a.
logbac = logba + logbc;
;
Agora podemos definir uma função logaritmica como qualquer função f:ℝ → tal 
que f(x) = logbx, com b ϵ e b ≠ 1. A função logaritmica é crescente se b > 1 e des-
crescente se b < 1.
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-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10
f(x) = log x , b = 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
f(x) = log x , b = 0,5
Suas propriedades são:
3.4 FUNÇÃO POLINOMIAL
Chama-se de função polinomial, ou polinomil de grau n toda função da forma:
Podemos perceber por esta fórmula que a função quadrática é um polinômio de 
grau 2 e que a função afim é um polinômio de primeio grau.
3.5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas são funções cujos valores são provenientes do círculo tri-
gonométrico e por isso também chamadas de funções circulares. As principais fun-
ções trigonométricas são:
• Função Seno
• Função Cosseno
• Função Tangente
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SUMÁRIO
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto 
da circunferência. O círculo trigonométrico é um círculo cujo centro está na coorde-
nada (0,0) do plano cartesiano e possui raio de valor igual a 1.
Outra denominação para as funções trigonométrica é de “Funções Periódicas”, por-
que elas possuem um comportamento periódico, de forma a repetir seus valores e 
determinados intervalos. 
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f. 
3.5.1 FUNÇÃO SENO
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Essa função retorna o valor 
de vertical do ponto em que é representado no círculo, logo o a distância do ponto 
até o eixo horizontal. Ela é expressa por: função f(x) = sen x. No círculo trigonométrico, 
o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadran-
tes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
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Consequentemente nos quadrantes 1º e 4º a função é crescente. Já nos demais qua-
drantes é decrescente. O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a ℝ. 
Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: D(sen) = ℝ.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < 
sen x < 1. Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
3.5.2 FUNÇÃO COSSENO
Na função cosseno seu período é 2π. Nessa função retorna o valor de x do ponto no 
círculo trigonométrico, ou seja, a distância do ponto ao eixo vertical. Ela é expressa 
por: função f(x) = cos x. No círculo trigonométrico, seus sinais são positivos nos 1º e 4º 
quadrantes e negativo nos 2º e 3º quadrantes.
Consequentemente no 1º e 2º quadrantes seu sinal é crescente e nos demais é des-
crescente. O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a ℝ. Ou seja, ela 
está definida para todos os valores reais: D(cos) = ℝ.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 
< cos x < 1. Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico dessa função é uma curva chamada de cossenoide:
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SUMÁRIO
3.5.3 FUNÇÃO TANGENTE
A função tangente é uma função cujo período é π. Ela é expressa por: função f(x) = 
tg x. Essa função representa a razão entre a função seno e a função cosseno. No cír-
culo trigonométrico, seus sinais são positivos nos 1º e 3º quadrantes e negativo nos 
demais.
A função tg x é sempre crescente, independente do quadrante do círculo trigonomé-
trico e seu domínio é: D(tan)={x ∈ R|x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se 
x = π/2 + kπ. Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o 
conjunto dos números reais. Em relação à simetria, a função tangente é uma função 
ímpar: tg(-x) = -tg(-x). O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada 
de tangentoide:
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3.5.4 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Existem outras funções trigonométricas cujo o uso são menores, são elas:
cossecante:
 
secante:
 
cotangente:
 
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SUMÁRIO
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos 
que possa:
> Aprender sobre 
diferentes tipos de 
gráficos;
> Conhecer como criar 
gráficos;
> Análisar sobre qual 
gráfico utilizar para 
cada situação.
UNIDADE 4
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4 ANÁLISE GRÁFICA
4.1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Nesta unidade iremos aprender um pouco mais sobre gráficos e também sobre prin-
cipais pontos a serem analisados para os diferentes tipos de gráficos. Também iremos 
aprender sobre qual tipo de gráfico deve ser usado para diferentes situações, de for-
ma que este represente melhor os resultados desejados.
4.2 GRÁFICOS
Os gráficos são ferramentas visuais que servem para expressar dados, que normal-
mente se tratam de resultados. O principal objetivo de se utilizar um gráfico e para 
facilitar o entendimento sobre aqueles dados e principalmente propiciar uma pos-
sibilidade de realizar previsões sobre a situação que eles representam. Cabe-se des-
tacar duas coisas: a primeira delas é que os gráficos normalmente estão ou podem 
ser associados a tabelas, pois estas relacionam duas ou mais variáveis através de um 
padrão; a seguinda é que existem diversos tipos de gráficos, e cada um deles possui 
melhor aplicação em determinada situação.
4.3 TIPOS DE GRÁFICOS
4.3.1 GRÁFICOS DE COLUNAS
O gráfico de colunas é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal. No 
eixo horizontal são construídas as colunas que representam a variação dos dados em 
questão, de forma que quanto maior é uma coluna, maior é a sua magnitude. Os 
gráficos de também podem ser colocados com uma inversão de eixos, sendo nessa 
situação denominados de gráficos de barras. Possuem maior aplicação para represen-
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tação de dados categóricos, tais como nomes de lugares, diferentes produtos ou anos.
4.3.2 HISTOGRAMA
É parecido com o gráfico de colunas em vários aspectos, pois sua construção é prati-
camente igual, mas seu cálculo é feito pela área do retângulo representado no grá-
fico, ou seja, não existe espaço entre as barras. Geralmente não apresenta escala ver-
tical, somente o eixo horizontal que representa a variável analisada. A área pode ser 
calculada em porcentagem. O gráfico é utilizado para amostras grandes e variáveis 
numéricas, possuindo as mesmas aplicações dos gráficos de colunas porém também 
é utilizado para variáveis contínuas que apresentem intervalos de dados importantes.
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4.3.3 GRÁFICO DE SETOR OU PIZZA
Os gráficos de setores, popularmentechamados de gráficos de pizza ou rosca, são 
representados por círculos que são divididos de acordo com a quantificação de cada 
variável que a parte representa. Sua principal utilização é quanto a representação de 
dados percentuais de um fenômeno ou como a representação de frações de um todo.
4.3.4 GRÁFICO DE LINHA
O gráfico de linha é composto por dois eixos, um vertical e outro horizontal, e por 
uma linha que mostra a evolução de um fenômeno ou processo. Normalmente utili-
za esse modelo para representar um fenômeno que varia ao longo de um tempo ou 
período, ou para quando ambas as variáveis são contínuas
4.3.5 DISPERSÃO
Este tipo de gráfico é utilizado para avaliar a relação entre duas variáveis, e na maioria 
das vezes serve como mecanismo para predizer uma relação entre estas variáveis. 
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Possui grande utilização para realizações de regressões, que são métodos estatísticos 
para determinar uma função que relacione as duas variáveis.
4.3.6 ÁREA
Um gráfico de área enfatiza a magnitude da alteração ao longo do tempo. As séries 
são exibidas como um conjunto de pontos conectados por uma linha, com uma área 
preenchida abaixo da linha. Os valores são representados pela altura do ponto me-
dida pelo eixo y. Os rótulos de categoria são exibidos no eixo x. Os gráficos de área 
geralmente são usados para comparar valores ao longo do tempo.
4.3.7 RADAR
Um gráfico de radar, também conhecido como gráfico de aranha ou gráfico de es-
trela devido à sua aparência, plota os valores de cada categoria ao longo de um eixo 
separado que inicia no centro do gráfico e termina no anel externo.
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4.3.8 BOXPLOT
O boxplot é um tipo de gráfico muito utilizado em análises estatísticas, porque repre-
senta um conjunto de dados. Esse fato se dá pela quantidade de informações que 
este gráfico apresenta, de forma q apresentar uma série de informação para a pessoa 
que o visualiza. As informações presentes num boxplot são:
• Limite superior: é o maior valor presente no conjunto de dados;
• 3º Quartil: é o valor o qual abaixo dele se encontra 75% dos dados;
• Mediana: é o valor central da distribuição;
• 1º Quartil: é o valor o qual abaixo dele se encontra 25% dos dados;
• Limite inferior: é o menor valor presente no conjunto de dados;
• Valores discrepantes: são valores que podem ser descartados devido sua irrelevân-
te quantidade de ocorrências ou de importancia para o fenômeno.
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4.3.9 DADOS MAIS RELEVANTES DE UM GRÁFICO
Ao se analisar um gráfico existem alguns aspectos que possuem maior importância 
e que merecem destaque a uma primeira vista. O primeiro deles é o maior valor do 
gráfico. Normalmente gráficos buscam destacar o maior ou os maiores valores de 
forma a apresentar a importância que estes possuem com o fenômeno em sí. Ana-
logamente os valores de mínimo também podem ter essa mesma importância, mas 
essa situação é bastante comum porém não tanto quanto a primeira.
Um dado que pode ser crucial em alguns gráficos, em especial de linha, dispersão é a 
informação contida nos eixos, de forma que além da variável a qual o eixo se refere a 
unidade de medida também é muito importante. Diferentes unidades de grandeza 
usualmente geram interpretações erradas sobre os dados. Imagine um gráfico que 
apresente os valores em milhares de reais ou em milhões de reais, a diferença com 
certeza é significativa.
Outro valor que dependendo da situação é importante é o valor médio. Matemática-
mente o valor médio é o valor esperado para um fenômeno, e pode ser considerado 
como ponto de partida para tomara de decisão de um empreendimento. Imagine 
que as estimativas para retorno financeiro de um fenômeno variam entre 20 e 40 mil 
reais. A partir desses resultados, assumir o valor médio de 30 mil é um valor adequa-
do, uma vez que não se assume uma situação muito pessimista (20 mil) e nem muito 
otimista (40 mil).
Não se deve ignorar também o limite dos dados, sempre se avaliando o limite su-
perior e inferior dos dados expressos nos eixos, de forma que em alguns casos esses 
podem não estar muito bem representados ou até mesmo escolhidos. Se você possui 
dados que variam entre 1,75m e 1,90m o ideal poderia ser colocar o eixo variando de 
1,70m a 1,95m mas em alguns casos poderia ser expresso erradamente variando de 
0,0m e 2,0m o que visualmente muda completamente a capacidade de interpreta-
ção dos dados.
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4.4 ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
Uma das informações relevantes ao se analisar os gráficos de funções é quanto ao 
sinal do elemento imagem e sua variação ao longo da função. Mudanças de sinal 
podem proporcionar mudanças abruptas em cálculos, de forma a levar o aluno a 
resultados muito diferentes dos esperados.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
y
x
O gráfico acima é representação de:
f(x) = -3 ● x + 6, x ∈ [0,6[
f(x) = 5, x = 6
f(x) = x² - (8 ● x), x ∈ ]6,10]
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Vamos agora avaliar a variação do sinal de f(x) ao longo de todo o gráfico.
f(x) > 0 ∀ x, x ∈ [0,2[;
f(x) = 0 ∀ x, x = 2;
f(x) < 0 ∀ x, x ∈ ]2,6[;
f(x) > 0 ∀ x, x = 6;
f(x) < 0 ∀ x, x ∈ ]6,8[;
f(x) = 0 ∀ x, x = 8;
f(x) > 0 ∀ x, x ∈ ]8,10].
Logo vemos uma grande variação do sinal da f(x) para todo o gráfico da função, pois 
ao longo deste vemos que o sinal começa positivo, chega em um momento que seu 
valor é zero, em seguida passa a ser negativo. Depois possui um ponto único cujo va-
lor é positivo novamente (f(6)), em seguida volta a ser negativo até zerar novamente 
e depois finaliza positivo.
4.4.1 ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES
No tópico anterior vimos que uma função pode ser representada por meio de um 
gráfico e que a partir desse podemos fazer uma análise de sua imagem. Neste tópi-
cos, veremos gráficos e analisaremos se os mesmo são representações do funções. 
Vamos análisar o gráfico abaixo:
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
y
x
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Neste gráfico temos a relação R de A = [1,2,3,4] com B = [2,3,4,5,6]. Avaliando as rela-
ções, temos que esse exemplo não representa uma função, pois uma função é defini-
da como “denomina-se função f a relação de A e B se, e somente se, TODO elemento 
de A estiver associado através de uma relação com um único elemento de B”, neste 
caso vemos que o elemento 1 do conjunto A se relaciona mais de uma vez com o 
conjunto B, através dos elementos 2 e 4.
Dessa forma podemos afirma que se existe uma reta perpendicular ao eixo x (ou seja 
paralela ao eixo y) e esta reta interceptar uma relação R em mais de um ponto, então 
R não é uma função. Veja outros exemplos:
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
4.4.2 RAIZ DE UMA FUNÇÃO E FUNÇÕES CONSTANTE, 
CRESCENTE E DECRESCENTE
A partir de agora iremos estudar três diferentes classificações para funções. Mas antes 
disso vamos definir o que é a raiz de uma função. Raiz de uma função real de variável 
real é todo o número s, do domínio da função, de forma que f(s) = 0. Veja nos exem-
plos:
a. Sendo f(x) = 6X – 18, sabe-se que sua raiz é 3, pois f(3) = 6 ⋅ 3 – 18 = 0
b.